Страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.20. Найдите синус и косинус:

1) 0;

2) $ \frac{\pi}{2} $.

Для нахождения значений синуса и косинуса для заданных углов воспользуемся тригонометрической (единичной) окружностью. Это окружность с радиусом, равным 1, и с центром в начале координат. Для любой точки $P(x, y)$ на этой окружности, соответствующей углу $\alpha$, её координаты равны значениям косинуса и синуса этого угла: $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$.

1) 0

Чтобы найти синус и косинус угла, равного 0 радиан, мы находим точку на единичной окружности, которая соответствует этому углу. Начало отсчета углов находится на положительной части оси Ox. Таким образом, углу 0 радиан соответствует точка $P$, которая лежит на пересечении окружности с положительным направлением оси Ox. Координаты этой точки — $(1, 0)$.
По определению, косинус — это абсцисса (координата x), а синус — это ордината (координата y) этой точки.
Следовательно, получаем: $\cos(0) = 1$ и $\sin(0) = 0$.
Ответ: $\sin(0) = 0$, $\cos(0) = 1$.

2) $\frac{\pi}{2}$

Чтобы найти синус и косинус угла, равного $\frac{\pi}{2}$ радиан, мы откладываем этот угол от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Угол $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90°) соответствует повороту на четверть окружности. Точка $P$, соответствующая этому углу, будет лежать на пересечении окружности с положительным направлением оси Oy. Координаты этой точки — $(0, 1)$.
Абсцисса этой точки равна 0, а ордината равна 1.
Следовательно, получаем: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Ответ: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

4.21. Существует ли угол α, при котором верны равенства:

1) $ \sin \alpha = \frac{21}{29}, \cos \alpha = \frac{20}{29} $

2) $ \sin \alpha = -\frac{12}{37}, \cos \alpha = \frac{35}{37} $

3) $ \sin \alpha = \frac{1}{3}, \cos \alpha = \frac{2}{5} $

4) $ \sin \alpha = \frac{4}{5}, \cos \alpha = \frac{3}{5}? $

1) Для того чтобы существовал угол $\alpha$, для которого верны данные равенства, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Проверим его выполнение для заданных значений.
Подставим значения $\sin\alpha = \frac{21}{29}$ и $\cos\alpha = \frac{20}{29}$ в тождество:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{21}{29}\right)^2 + \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{21^2}{29^2} + \frac{20^2}{29^2} = \frac{441}{841} + \frac{400}{841} = \frac{441+400}{841} = \frac{841}{841} = 1$.
Тождество выполняется, следовательно, такой угол $\alpha$ существует.
Ответ: существует.

2) Проверим выполнение основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для заданных значений.
Подставим значения $\sin\alpha = -\frac{12}{37}$ и $\cos\alpha = \frac{35}{37}$ в тождество:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{12}{37}\right)^2 + \left(\frac{35}{37}\right)^2 = \frac{144}{1369} + \frac{1225}{1369} = \frac{144+1225}{1369} = \frac{1369}{1369} = 1$.
Тождество выполняется, следовательно, такой угол $\alpha$ существует.
Ответ: существует.

3) Проверим выполнение основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для заданных значений.
Подставим значения $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ и $\cos\alpha = \frac{2}{5}$ в тождество:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{25}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $9 \times 25 = 225$:
$\frac{1 \cdot 25}{9 \cdot 25} + \frac{4 \cdot 9}{25 \cdot 9} = \frac{25}{225} + \frac{36}{225} = \frac{25+36}{225} = \frac{61}{225}$.
Поскольку $\frac{61}{225} \neq 1$, тождество не выполняется. Следовательно, такого угла $\alpha$ не существует.
Ответ: не существует.

4) Проверим выполнение основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для заданных значений.
Подставим значения $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ в тождество:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{16+9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
Тождество выполняется, следовательно, такой угол $\alpha$ существует.
Ответ: существует.

4.22. Может ли значение $\sin\alpha$ при некотором $\alpha$ быть равным:

1) $0,67$;

2) $\frac{12}{11}$;

3) $\frac{4}{\sqrt{15}}$;

4) $\frac{\sqrt{15}}{4}$?

Значение функции синус для любого угла $\alpha$ всегда находится в промежутке от -1 до 1 включительно. Это означает, что для любого $\alpha$ должно выполняться неравенство: $-1 \le \sin\alpha \le 1$. Чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить, попадает ли каждое из предложенных чисел в этот промежуток.

1) 0,67

Проверим, удовлетворяет ли число 0,67 условию $-1 \le 0,67 \le 1$.

Поскольку $-1 < 0,67$ и $0,67 < 1$, неравенство выполняется. Значит, значение $\sin\alpha$ может быть равно 0,67.

Ответ: да, может.

2) $\frac{12}{11}$

Проверим, удовлетворяет ли число $\frac{12}{11}$ условию $-1 \le \frac{12}{11} \le 1$.

Преобразуем дробь: $\frac{12}{11} = 1\frac{1}{11}$.

Так как $1\frac{1}{11} > 1$, это значение выходит за пределы допустимого диапазона для синуса.

Ответ: нет, не может.

3) $\frac{4}{\sqrt{15}}$

Проверим, удовлетворяет ли число $\frac{4}{\sqrt{15}}$ условию $-1 \le \frac{4}{\sqrt{15}} \le 1$.

Для сравнения этого положительного числа с 1, можно сравнить их квадраты.

$(\frac{4}{\sqrt{15}})^2 = \frac{16}{15}$

Поскольку $\frac{16}{15} > 1$, то и $\frac{4}{\sqrt{15}} > 1$. Это значение выходит за пределы допустимого диапазона для синуса.

Ответ: нет, не может.

4) $\frac{\sqrt{15}}{4}$

Проверим, удовлетворяет ли число $\frac{\sqrt{15}}{4}$ условию $-1 \le \frac{\sqrt{15}}{4} \le 1$.

Для сравнения этого положительного числа с 1, сравним квадраты числителя и знаменателя.

$(\sqrt{15})^2 = 15$

$4^2 = 16$

Так как $15 < 16$, то $\sqrt{15} < 4$, следовательно, дробь $\frac{\sqrt{15}}{4} < 1$.

Поскольку $0 < \frac{\sqrt{15}}{4} < 1$, это значение попадает в допустимый диапазон для синуса.

Ответ: да, может.

4.23. Существует ли угол $ \alpha $, при котором $ \cos \alpha $ равен:

1) $ \sqrt{2} $;

2) $ \frac{1}{\sqrt{2}} $;

3) $ \frac{1+\sqrt{3}}{2} $;

4) $ \frac{1-\sqrt{3}}{2} $?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо вспомнить основное свойство тригонометрической функции косинус. Область значений функции $y = \cos \alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого существующего угла $\alpha$, значение его косинуса должно удовлетворять неравенству:
$-1 \le \cos \alpha \le 1$.
Проверим каждое из предложенных значений на соответствие этому условию.

1) $\sqrt{2}$
Оценим значение $\sqrt{2}$. Поскольку $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, то $1 < \sqrt{2} < 2$. Более точное значение: $\sqrt{2} \approx 1.414$.
Сравниваем это значение с областью значений косинуса: $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$.
Значение $\sqrt{2}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Ответ: нет, не существует.

2) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Чтобы удобнее было оценить это значение, избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Приближенное значение: $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.414}{2} = 0.707$.
Сравниваем это значение с областью значений косинуса: $-1 \le \frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$.
Значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Например, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: да, существует.

3) $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
Оценим значение $\sqrt{3}$. Поскольку $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. Более точное значение: $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Теперь оценим все выражение: $\frac{1+\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1+1.732}{2} = \frac{2.732}{2} = 1.366$.
Сравниваем это значение с областью значений косинуса: $\frac{1+\sqrt{3}}{2} \approx 1.366 > 1$.
Значение $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Ответ: нет, не существует.

4) $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
Используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Оценим выражение: $\frac{1-\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1-1.732}{2} = \frac{-0.732}{2} = -0.366$.
Сравниваем это значение с областью значений косинуса: $-1 \le -0.366 \le 1$.
Значение $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Ответ: да, существует.

4.24. Найдите значения выражений:

1) $2\cos60^\circ + \sqrt{3} \cos30^\circ;$

2) $5\sin30^\circ - \cot45^\circ;$

3) $2\sin45^\circ - 4\cos30^\circ;$

4) $6\cot60^\circ - 2\sin60^\circ.$

1) Для того чтобы найти значение выражения $2\cos60^\circ+\sqrt{3}\cos30^\circ$, воспользуемся известными значениями тригонометрических функций для стандартных углов. Значения, которые нам понадобятся:

$\cos60^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$2\cos60^\circ+\sqrt{3}\cos30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Ответ: $2.5$.

2) Для нахождения значения выражения $5\sin30^\circ-\text{ctg}45^\circ$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций:

$\sin30^\circ = \frac{1}{2}$

$\text{ctg}45^\circ = 1$

Подставим эти значения в выражение и произведем расчет:

$5\sin30^\circ-\text{ctg}45^\circ = 5 \cdot \frac{1}{2} - 1 = \frac{5}{2} - 1 = \frac{5}{2} - \frac{2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $1.5$.

3) Для нахождения значения выражения $2\sin45^\circ-4\cos30^\circ$ используем следующие табличные значения:

$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем значения в выражение и упрощаем:

$2\sin45^\circ-4\cos30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} - 2\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{2}-2\sqrt{3}$.

4) Для нахождения значения выражения $6\text{ctg}60^\circ-2\sin60^\circ$ нам потребуются значения:

$\text{ctg}60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим значения и вычислим результат:

$6\text{ctg}60^\circ-2\sin60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

4.25. Используя тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, упростите выражения:

1) $ \sin^2\alpha - 1 $;

2) $ \sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^4\alpha $;

3) $ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 $;

4) $ \cos^2\alpha - \cos^4\alpha + \sin^4\alpha $.

1) Чтобы упростить выражение $sin^2\alpha - 1$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Из этого тождества можно выразить $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$. Умножим обе части на -1:

$-cos^2\alpha = -(1 - sin^2\alpha) = sin^2\alpha - 1$.

Таким образом, исходное выражение равно $-cos^2\alpha$.

Ответ: $-cos^2\alpha$.

2) Рассмотрим выражение $sin^4\alpha+2sin^2\alpha cos^2\alpha+cos^4\alpha$.

Данное выражение является полным квадратом суммы, так как оно соответствует формуле сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a = sin^2\alpha$ и $b = cos^2\alpha$.

Свернем выражение по этой формуле:

$sin^4\alpha+2sin^2\alpha cos^2\alpha+cos^4\alpha = (sin^2\alpha)^2 + 2(sin^2\alpha)(cos^2\alpha) + (cos^2\alpha)^2 = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2$.

Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$(1)^2 = 1$.

Ответ: $1$.

3) Упростим выражение $(sin\alpha + cos\alpha)^2 + (sin\alpha - cos\alpha)^2$.

Для этого раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(sin\alpha + cos\alpha)^2 = sin^2\alpha + 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha$.

$(sin\alpha - cos\alpha)^2 = sin^2\alpha - 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha$.

Сложим полученные выражения:

$(sin^2\alpha + 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha) + (sin^2\alpha - 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha)$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $2sin\alpha cos\alpha$ и $-2sin\alpha cos\alpha$ взаимно уничтожаются:

$sin^2\alpha + cos^2\alpha + sin^2\alpha + cos^2\alpha = 2sin^2\alpha + 2cos^2\alpha$.

Вынесем 2 за скобки:

$2(sin^2\alpha + cos^2\alpha)$.

Используя тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем:

$2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $2$.

4) Упростим выражение $cos^2\alpha - cos^4\alpha + sin^4\alpha$.

В первых двух слагаемых вынесем общий множитель $cos^2\alpha$ за скобки:

$cos^2\alpha(1 - cos^2\alpha) + sin^4\alpha$.

Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ следует, что $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$. Заменим выражение в скобках на $sin^2\alpha$:

$cos^2\alpha \cdot sin^2\alpha + sin^4\alpha$.

Теперь вынесем общий множитель $sin^2\alpha$ за скобки:

$sin^2\alpha(cos^2\alpha + sin^2\alpha)$.

Выражение в скобках, $cos^2\alpha + sin^2\alpha$, равно 1. Следовательно:

$sin^2\alpha \cdot 1 = sin^2\alpha$.

Ответ: $sin^2\alpha$.