Страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.26. Выберите какое-либо значение $m$ так, чтобы $-1 < m < 1$, и постройте угол $\varphi$, удовлетворяющий равенству:

1) $\sin\varphi = m$;

2) $\cos\varphi = m$.

Сколько таких углов $\alpha$ существует? Обоснуйте ответ.

Для решения задачи выберем конкретное значение $m$, удовлетворяющее условию $-1 < m < 1$. Пусть $m = 0.5$.

1) sinφ=m;

Нам нужно построить угол $φ$, для которого $\sin φ = 0.5$. Для построения воспользуемся единичной окружностью в декартовой системе координат.
Синус угла на единичной окружности – это ордината (координата $y$) точки, в которой конечная сторона угла пересекает окружность.
Построим единичную окружность с центром в начале координат (точка O) и радиусом, равным 1. Затем проведем горизонтальную прямую $y = m$, то есть $y = 0.5$.
Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках, $P_1$ и $P_2$, так как $-1 < 0.5 < 1$.
Каждая из этих точек соответствует углу, синус которого равен 0.5.
Угол $φ_1$ – это угол, образованный положительным направлением оси Ox и лучом $OP_1$. Он находится в первой четверти.
Угол $φ_2$ – это угол, образованный положительным направлением оси Ox и лучом $OP_2$. Он находится во второй четверти.
Графическое построение представлено на рисунке:

В вопросе спрашивается о количестве углов $α$, в то время как в условии дано равенство для угла $φ$. Предполагая, что это опечатка и речь идет об угле $φ$, обоснуем ответ.
Так как функция синуса является периодической с периодом $2π$ (или $360°$), то каждому из найденных на окружности решений ($φ_1$ и $φ_2$) соответствует бесконечное множество углов. Если $φ_0$ — одно из решений уравнения $\sin φ = m$, то все решения можно описать двумя сериями формул:
1. $φ = \arcsin(m) + 2πk$, где $k$ — любое целое число. Для $m=0.5$, это $φ = \frac{π}{6} + 2πk$.
2. $φ = π - \arcsin(m) + 2πk$, где $k$ — любое целое число. Для $m=0.5$, это $φ = π - \frac{π}{6} + 2πk = \frac{5π}{6} + 2πk$.
Эти две серии описывают все возможные углы. Таким образом, существует бесконечное множество углов $φ$, удовлетворяющих равенству $\sin φ = m$ для любого $m$ из интервала $(-1, 1)$.
Ответ: Существует бесконечное множество таких углов.

2) cosφ=m;

Аналогично, построим угол $φ$, для которого $\cos φ = 0.5$.
Косинус угла на единичной окружности – это абсцисса (координата $x$) точки, в которой конечная сторона угла пересекает окружность.
Снова построим единичную окружность. Теперь проведем вертикальную прямую $x = m$, то есть $x = 0.5$.
Эта прямая также пересечет единичную окружность в двух точках, $P_3$ и $P_4$, поскольку $-1 < 0.5 < 1$.
Угол $φ_3$ соответствует точке $P_3$ в первой четверти.
Угол $φ_4$ соответствует точке $P_4$ в четвертой четверти.
Графическое построение представлено на рисунке:

Функция косинуса также является периодической с периодом $2π$ (или $360°$). Следовательно, для уравнения $\cos φ = m$ при $-1 < m < 1$ также существует бесконечное множество решений.
Все решения можно описать общей формулой:
$φ = \pm \arccos(m) + 2πk$, где $k$ — любое целое число.
Для нашего примера с $m=0.5$:
$φ = \pm \arccos(0.5) + 2πk = \pm \frac{π}{3} + 2πk$.
Это означает две серии решений: $φ = \frac{π}{3} + 2πk$ и $φ = -\frac{π}{3} + 2πk$.
Таким образом, существует бесконечное множество углов $φ$, удовлетворяющих равенству $\cos φ = m$ для любого $m$ из интервала $(-1, 1)$.
Ответ: Существует бесконечное множество таких углов.

4.27. Упростите выражения:

1) $ \sin^4 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $;

2) $ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $;

3) $ \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} $;

4) $ \frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha - 1} $.

1) $sin⁴α+cos²α+sin²α cos²α$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и вынесем за скобки общий множитель $sin²α$: $sin⁴α+sin²α cos²α+cos²α = sin²α(sin²α+cos²α)+cos²α$.

Применим основное тригонометрическое тождество $sin²α+cos²α=1$. Выражение в скобках равно 1: $sin²α \cdot 1+cos²α = sin²α+cos²α$.

Снова используем основное тригонометрическое тождество: $sin²α+cos²α=1$.

Ответ: 1

2) $sin⁴α-cos⁴α-sin²α+cos²α$

Представим $sin⁴α-cos⁴α$ как разность квадратов $(sin²α)²-(cos²α)²$: $(sin²α-cos²α)(sin²α+cos²α)$.

Так как $sin²α+cos²α=1$, то $sin⁴α-cos⁴α$ упрощается до $sin²α-cos²α$.

Подставим полученное выражение в исходное: $(sin²α-cos²α)-sin²α+cos²α$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $sin²α-cos²α-sin²α+cos²α = (sin²α-sin²α)+(-cos²α+cos²α) = 0+0=0$.

Ответ: 0

3) $\frac{cos²α}{1-sin²α}$

Из основного тригонометрического тождества $sin²α+cos²α=1$ следует, что $cos²α = 1-sin²α$.

Заменим знаменатель дроби $1-sin²α$ на $cos²α$: $\frac{cos²α}{cos²α}$.

При условии, что $cosα \neq 0$, дробь равна 1.

Ответ: 1

4) $\frac{1-2sin²α}{2cos²α-1}$

Используем формулы косинуса двойного угла: $cos(2α) = 1-2sin²α$ и $cos(2α) = 2cos²α-1$.

Числитель и знаменатель дроби являются разными формами записи $cos(2α)$.

Таким образом, выражение можно переписать как: $\frac{cos(2α)}{cos(2α)}$.

При условии, что $cos(2α) \neq 0$, выражение равно 1.

Ответ: 1

4.28. Вычислите:

1) $2\cos\frac{\pi}{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$;

2) $7\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}$;

3) $2\sin\frac{\pi}{6}\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$;

4) $3\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$;

5) $4\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}$;

6) $12\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}$.

1) Для вычисления выражения $2\cos\frac{\pi}{3}\tg\frac{\pi}{3}$ найдем значения тригонометрических функций из таблицы стандартных углов.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует 60°) равно $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним умножение:
$2 \cdot \cos\frac{\pi}{3} \cdot \tg\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

2) Для вычисления выражения $7\tg\frac{\pi}{6}\ctg\frac{\pi}{6}$ используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и котангенс одного и того же угла: $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{6}$, следовательно, произведение $\tg\frac{\pi}{6}\ctg\frac{\pi}{6} = 1$.
Подставим это значение в выражение:
$7 \cdot (\tg\frac{\pi}{6}\ctg\frac{\pi}{6}) = 7 \cdot 1 = 7$.
Ответ: $7$.

3) Для вычисления выражения $2\sin\frac{\pi}{6}\tg\frac{\pi}{4}$ найдем значения тригонометрических функций.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ (30°) равно $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) равно $\tg\frac{\pi}{4} = 1$.
Подставим найденные значения в выражение:
$2 \cdot \sin\frac{\pi}{6} \cdot \tg\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1$.
Ответ: $1$.

4) Для вычисления выражения $3\tg\frac{\pi}{4}\tg\frac{\pi}{3}$ найдем значения тангенсов.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) равно $\tg\frac{\pi}{4} = 1$.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{3}$ (60°) равно $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Подставим значения в выражение:
$3 \cdot \tg\frac{\pi}{4} \cdot \tg\frac{\pi}{3} = 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$.

5) Для вычисления выражения $4\ctg\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}$ найдем значения тригонометрических функций.
Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) равно $\ctg\frac{\pi}{4} = 1$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ (60°) равно $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим значения и вычислим:
$4 \cdot \ctg\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} = 4 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

6) Для вычисления выражения $12\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}$ можно использовать два способа.
Способ 1: Прямое вычисление.
Найдем значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ (60°).
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Подставим эти значения в выражение:
$12 \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{3} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$.
Способ 2: Использование формулы двойного угла.
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Преобразуем исходное выражение:
$12\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3} = 6 \cdot (2\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}) = 6 \cdot \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 6\sin\frac{2\pi}{3}$.
Значение $\sin\frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Тогда $6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $3\sqrt{3}$.

4.29. Найдите значения выражений:

1) $ \sin \frac{3\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} - \text{tg} \frac{3\pi}{4} + 1,5\text{ctg} \frac{3\pi}{4}; $

2) $ \text{tg}^2 \frac{2\pi}{3} - \text{ctg}^2 \frac{2\pi}{3} - \frac{10}{3} \sin^2 \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}; $

3) $ 4\cos \frac{5\pi}{6} - \sin \frac{5\pi}{6} + 3\text{tg}^2 \frac{5\pi}{6}; $

4) $ \text{tg} \frac{3\pi}{4} \sin \frac{3\pi}{2} - \text{ctg} \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{6}. $

1) $ \sin\frac{3\pi}{4}\cos\frac{3\pi}{4}-\text{tg}\frac{3\pi}{4}+1,5\text{ctg}\frac{3\pi}{4} $

Для решения этого выражения сначала найдем значения тригонометрических функций для угла $ \frac{3\pi}{4} $. Этот угол находится во второй четверти, поэтому синус будет положительным, а косинус, тангенс и котангенс - отрицательными. Используем формулы приведения:

$ \sin\frac{3\pi}{4} = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos\frac{3\pi}{4} = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \text{tg}\frac{3\pi}{4} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}\frac{\pi}{4} = -1 $

$ \text{ctg}\frac{3\pi}{4} = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{4} = -1 $

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \sin\frac{3\pi}{4}\cos\frac{3\pi}{4}-\text{tg}\frac{3\pi}{4}+1,5\text{ctg}\frac{3\pi}{4} = (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-1) + 1,5 \cdot (-1) = -\frac{2}{4} + 1 - 1,5 = -0,5 + 1 - 1,5 = 0,5 - 1,5 = -1 $.

Ответ: -1.

2) $ \text{tg}^2\frac{2\pi}{3}-\text{ctg}^2\frac{2\pi}{3}-\frac{10}{3}\sin^2\frac{2\pi}{3}+\cos^2\frac{2\pi}{3} $

Найдем значения тригонометрических функций для угла $ \frac{2\pi}{3} $. Этот угол находится во второй четверти.

$ \sin\frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} $

$ \text{tg}\frac{2\pi}{3} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{tg}\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} $

$ \text{ctg}\frac{2\pi}{3} = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Теперь вычислим квадраты этих значений:

$ \sin^2\frac{2\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $

$ \cos^2\frac{2\pi}{3} = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $

$ \text{tg}^2\frac{2\pi}{3} = (-\sqrt{3})^2 = 3 $

$ \text{ctg}^2\frac{2\pi}{3} = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} $

Подставим эти значения в выражение:

$ 3 - \frac{1}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 3 - \frac{1}{3} - \frac{10}{4} + \frac{1}{4} = 3 - \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + \frac{1}{4} $.

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ \frac{3 \cdot 12}{12} - \frac{1 \cdot 4}{12} - \frac{5 \cdot 6}{12} + \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{36 - 4 - 30 + 3}{12} = \frac{5}{12} $.

Ответ: $ \frac{5}{12} $.

3) $ 4\cos\frac{5\pi}{6}\sin\frac{5\pi}{6}+3\text{tg}^2\frac{5\pi}{6} $

Найдем значения тригонометрических функций для угла $ \frac{5\pi}{6} $. Этот угол находится во второй четверти.

$ \cos\frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \sin\frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $

$ \text{tg}\frac{5\pi}{6} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{tg}\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Подставим найденные значения в выражение:

$ 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{4}) + 3 \cdot \frac{1}{3} = -\sqrt{3} + 1 $.

Ответ: $ 1-\sqrt{3} $.

4) $ \text{tg}\frac{3\pi}{4}\sin\frac{3\pi}{2}-\text{ctg}\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{6} $

Найдем значения каждой тригонометрической функции в выражении:

$ \text{tg}\frac{3\pi}{4} = -1 $

$ \sin\frac{3\pi}{2} = -1 $ (значение на единичной окружности в точке (0, -1))

$ \text{ctg}\frac{\pi}{2} = \frac{\cos(\pi/2)}{\sin(\pi/2)} = \frac{0}{1} = 0 $ (значение на единичной окружности в точке (0, 1))

$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим найденные значения в выражение:

$ (-1) \cdot (-1) - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 0 = 1 $.

Ответ: 1.

4.30. Упростите выражения:

1) $(1+\text{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha$;

2) $\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$

3) $\frac{\cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha - \text{tg}^2\alpha}$.

1) $(1 + \text{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha$

Для упрощения данного выражения можно использовать два способа.

Способ 1:

Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Подставим это в исходное выражение:

$(1 + \text{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = 1$.

Данное преобразование верно при условии, что $\cos\alpha \neq 0$, так как иначе $\text{tg}\alpha$ не был бы определен.

Способ 2:

Выразим тангенс через синус и косинус, используя определение $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$(1 + \text{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha = (1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha})\cos^2\alpha$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$(\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha})\cos^2\alpha = (\frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha})\cos^2\alpha$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = 1$.

Ответ: $1$.

2) $\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $\text{ctg}x = \frac{1}{\text{tg}x}$. Заменим котангенсы в знаменателе дроби:

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta} = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta}}$.

Теперь приведем сумму в знаменателе к общему знаменателю:

$\frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta} = \frac{\text{tg}\beta + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}}$.

Чтобы избавиться от "многоэтажности" дроби, разделим числитель на знаменатель, то есть умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$(\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \cdot \frac{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$.

Сократим общий множитель $(\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta)$ (при условии, что он не равен нулю):

$\text{tg}\alpha \text{tg}\beta$.

Ответ: $\text{tg}\alpha \text{tg}\beta$.

3) $\frac{\cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha - \text{tg}^2\alpha}$

Для упрощения данного выражения выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Подставим эти определения в исходное выражение:

$\frac{\cos^2\alpha - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\sin^2\alpha - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}$.

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{\cos^2\alpha(1 - \frac{1}{\sin^2\alpha})}{\sin^2\alpha(1 - \frac{1}{\cos^2\alpha})}$.

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$\frac{\cos^2\alpha(\frac{\sin^2\alpha - 1}{\sin^2\alpha})}{\sin^2\alpha(\frac{\cos^2\alpha - 1}{\cos^2\alpha})}$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следуют равенства: $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$ и $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$.

Подставим эти равенства в наше выражение:

$\frac{\cos^2\alpha(\frac{-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha})}{\sin^2\alpha(\frac{-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha})} = \frac{-\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}{-\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}}$.

Отрицательные знаки в числителе и знаменателе сокращаются. Теперь упростим полученную сложную дробь, умножив числитель на перевернутый знаменатель:

$\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{\cos^4\alpha \cdot \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha \cdot \sin^4\alpha} = \frac{\cos^6\alpha}{\sin^6\alpha}$.

Используя определение котангенса $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, получаем окончательный результат:

$(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^6 = \text{ctg}^6\alpha$.

Ответ: $\text{ctg}^6\alpha$.

4.31. Найдите значение выражения $\sin^2\alpha - \cos\alpha + \sqrt{3} \operatorname{tg}\alpha$ при:

Для того чтобы найти значение выражения $sin^2\alpha - cos\alpha + \sqrt{3}tg\alpha$, необходимо для каждого значения угла $\alpha$ вычислить значения синуса, косинуса и тангенса, а затем подставить их в выражение.

1) φ = 4π/3

Найдём значение выражения при $α = \frac{4π}{3}$.

Сначала вычислим значения тригонометрических функций для данного угла. Угол $\frac{4π}{3}$ находится в третьей четверти.

$sin\left(\frac{4π}{3}\right) = sin\left(π + \frac{π}{3}\right) = -sin\left(\frac{π}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos\left(\frac{4π}{3}\right) = cos\left(π + \frac{π}{3}\right) = -cos\left(\frac{π}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

$tg\left(\frac{4π}{3}\right) = tg\left(π + \frac{π}{3}\right) = tg\left(\frac{π}{3}\right) = \sqrt{3}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$sin^2\left(\frac{4π}{3}\right) - cos\left(\frac{4π}{3}\right) + \sqrt{3}tg\left(\frac{4π}{3}\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} + \frac{12}{4} = \frac{3+2+12}{4} = \frac{17}{4}$.

Ответ: $\frac{17}{4}$.

2) φ = 5π/3

Найдём значение выражения при $α = \frac{5π}{3}$.

Вычислим значения тригонометрических функций. Угол $\frac{5π}{3}$ находится в четвертой четверти.

$sin\left(\frac{5π}{3}\right) = sin\left(2π - \frac{π}{3}\right) = -sin\left(\frac{π}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos\left(\frac{5π}{3}\right) = cos\left(2π - \frac{π}{3}\right) = cos\left(\frac{π}{3}\right) = \frac{1}{2}$

$tg\left(\frac{5π}{3}\right) = tg\left(2π - \frac{π}{3}\right) = -tg\left(\frac{π}{3}\right) = -\sqrt{3}$

Подставим значения в выражение:

$sin^2\left(\frac{5π}{3}\right) - cos\left(\frac{5π}{3}\right) + \sqrt{3}tg\left(\frac{5π}{3}\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - 3 = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} - \frac{12}{4} = \frac{3-2-12}{4} = -\frac{11}{4}$.

Ответ: $-\frac{11}{4}$.

3) φ = 5π/4

Найдём значение выражения при $α = \frac{5π}{4}$.

Вычислим значения тригонометрических функций. Угол $\frac{5π}{4}$ находится в третьей четверти.

$sin\left(\frac{5π}{4}\right) = sin\left(π + \frac{π}{4}\right) = -sin\left(\frac{π}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos\left(\frac{5π}{4}\right) = cos\left(π + \frac{π}{4}\right) = -cos\left(\frac{π}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$tg\left(\frac{5π}{4}\right) = tg\left(π + \frac{π}{4}\right) = tg\left(\frac{π}{4}\right) = 1$

Подставим значения в выражение:

$sin^2\left(\frac{5π}{4}\right) - cos\left(\frac{5π}{4}\right) + \sqrt{3}tg\left(\frac{5π}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} = \frac{1+\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{1+\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}$.

4) φ = 7π/4

Найдём значение выражения при $α = \frac{7π}{4}$.

Вычислим значения тригонометрических функций. Угол $\frac{7π}{4}$ находится в четвертой четверти.

$sin\left(\frac{7π}{4}\right) = sin\left(2π - \frac{π}{4}\right) = -sin\left(\frac{π}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos\left(\frac{7π}{4}\right) = cos\left(2π - \frac{π}{4}\right) = cos\left(\frac{π}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$tg\left(\frac{7π}{4}\right) = tg\left(2π - \frac{π}{4}\right) = -tg\left(\frac{π}{4}\right) = -1$

Подставим значения в выражение:

$sin^2\left(\frac{7π}{4}\right) - cos\left(\frac{7π}{4}\right) + \sqrt{3}tg\left(\frac{7π}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \cdot (-1) = \frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} = \frac{1-\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{1-\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$.

4.32. Найдите значение выражения $\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+2\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)+4\cos x+2\cos \left(x+\frac{3\pi}{4}\right)$ при:

1) $x=\frac{\pi}{4}$;

2) $x=\frac{3\pi}{4}$.

Обозначим данное выражение как $E(x) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) + 4\cos x + 2\cos\left(x + \frac{3\pi}{4}\right)$. Для нахождения его значения при заданных $x$, подставим эти значения в выражение.

1) Найдем значение выражения при $x = \frac{\pi}{4}$:

$E\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) + 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) + 4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}\right)$

Упростим аргументы тригонометрических функций:

$E\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right) + 2\sin(0) + 4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\cos\left(\frac{4\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2\sin(0) + 4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\cos(\pi)$

Подставим известные значения тригонометрических функций: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, $\sin(0) = 0$, $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\pi) = -1$.

$E\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot (-1) = 1 + 0 + 2\sqrt{2} - 2 = 2\sqrt{2} - 1$.

Ответ: $2\sqrt{2} - 1$.

2) Найдем значение выражения при $x = \frac{3\pi}{4}$:

$E\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}\right) + 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}\right) + 4\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + 2\cos\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}\right)$

Упростим аргументы тригонометрических функций:

$E\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{4\pi}{4}\right) + 2\sin\left(-\frac{2\pi}{4}\right) + 4\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + 2\cos\left(\frac{6\pi}{4}\right) = \sin(\pi) + 2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 4\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + 2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$

Подставим известные значения тригонометрических функций: $\sin(\pi) = 0$, $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$.

$E\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 0 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2 \cdot 0 = -2 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $-2 - 2\sqrt{2}$.