Страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте основные свойства тригонометрических функций:

а) их знаки;

б) четность;

в) периодичность.

Обоснуйте их.

2. Назовите наименьший положительный период тригонометрических функций.

а) их знаки;

Знаки тригонометрических функций зависят от того, в какой координатной четверти находится угол. Обоснование этого свойства строится на определении тригонометрических функций через координаты точки на единичной окружности. Пусть углу $\alpha$ соответствует точка $P(x, y)$ на единичной окружности. Тогда по определению $\cos(\alpha) = x$, $\sin(\alpha) = y$, $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$, $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$. Знаки этих функций совпадают со знаками координат $x$ и $y$ в соответствующей четверти.

I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): Координаты $x$ и $y$ положительны. Следовательно, все тригонометрические функции имеют знак «+».

II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): Координата $x$ отрицательна, $y$ положительна. Следовательно, $\sin(\alpha)$ имеет знак «+», а $\cos(\alpha)$, $\tan(\alpha)$, $\cot(\alpha)$ имеют знак «-».

III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): Координаты $x$ и $y$ отрицательны. Следовательно, $\tan(\alpha)$ и $\cot(\alpha)$ имеют знак «+», а $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ имеют знак «-».

IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): Координата $x$ положительна, $y$ отрицательна. Следовательно, $\cos(\alpha)$ имеет знак «+», а $\sin(\alpha)$, $\tan(\alpha)$, $\cot(\alpha)$ имеют знак «-».

Распределение знаков по четвертям наглядно представлено на рисунке:

Ответ: В I четверти все функции положительны. Во II четверти положителен только синус. В III четверти положительны тангенс и котангенс. В IV четверти положителен только косинус.

б) четность;

Свойство четности описывает поведение функции при изменении знака ее аргумента. Функция $f(x)$ является четной, если $f(-x) = f(x)$, и нечетной, если $f(-x) = -f(x)$.

Обоснование: на единичной окружности углы $\alpha$ и $-\alpha$ соответствуют точкам $P(x, y)$ и $P'(x, -y)$, которые симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox).

Косинус: $\cos(\alpha) = x$ и $\cos(-\alpha) = x$. Таким образом, $\cos(-x) = \cos(x)$, следовательно, функция косинус является четной.

Синус: $\sin(\alpha) = y$ и $\sin(-\alpha) = -y$. Таким образом, $\sin(-x) = -\sin(x)$, следовательно, функция синус является нечетной.

Тангенс: $\tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$. Функция тангенс является нечетной.

Котангенс: $\cot(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos(x)}{-\sin(x)} = -\cot(x)$. Функция котангенс является нечетной.

Ответ: Функция $y = \cos(x)$ является четной. Функции $y = \sin(x)$, $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ являются нечетными.

в) периодичность.

Свойство периодичности означает, что значения функции повторяются через определенный интервал, называемый периодом. Функция $f(x)$ является периодической с периодом $T \ne 0$, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Обоснование: поворот точки на единичной окружности на $360^{\circ}$ (или $2\pi$ радиан) возвращает ее в исходное положение. Это означает, что значениям углов $\alpha$ и $\alpha + 2\pi k$ (где $k$ — любое целое число) соответствует одна и та же точка, а значит, и те же значения синуса и косинуса.

Синус и косинус: $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$. Значения этих функций повторяются с периодом $2\pi$.

Тангенс и котангенс: поворот на $180^{\circ}$ (или $\pi$ радиан) переводит точку $P(x, y)$ в диаметрально противоположную точку $P'(-x, -y)$. При этом $\tan(x+\pi) = \frac{-y}{-x} = \frac{y}{x} = \tan(x)$ и $\cot(x+\pi) = \frac{-x}{-y} = \frac{x}{y} = \cot(x)$. Значения этих функций повторяются с периодом $\pi$.

Ответ: Все тригонометрические функции являются периодическими. Для функций синус и косинус периодом является любое число вида $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$. Для функций тангенс и котангенс периодом является любое число вида $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$.

2. Назовите наименьший положительный период тригонометрических функций.

Наименьший положительный период функции (также называемый основным или главным периодом) — это наименьшее положительное число $T$, при прибавлении которого к аргументу значение функции не изменяется.

Исходя из свойства периодичности:

• для функций $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ наименьший положительный период равен $2\pi$.

• для функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ наименьший положительный период равен $\pi$.

Ответ: Наименьший положительный период для синуса и косинуса равен $2\pi$; для тангенса и котангенса — $\pi$.

Практическая работа

Разбейте промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ на две части так, чтобы в каждой из них функция: 1) $y = \sin x$; 2) $y = \cos x$ не меняла свой знак.

Чтобы разбить заданный промежуток на части, в каждой из которых функция сохраняет свой знак, необходимо найти точки, в которых функция равна нулю или не определена. Эти точки являются границами интервалов знакопостоянства. Для тригонометрических функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ область определения — все действительные числа, поэтому достаточно найти их нули на заданном промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Для наглядности можно использовать тригонометрическую окружность, на которой показаны знаки синуса и косинуса по четвертям. Промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ охватывает IV, I и II координатные четверти.

1) y = sin x

Сначала найдем нули функции $y = \sin x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число.

Найдем значения $k$, при которых корень $x$ попадает в наш интервал $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$, то есть $-\frac{\pi}{2} < k\pi < \pi$.

Разделим неравенство на $\pi$: $-\frac{1}{2} < k < 1$.

Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 0$. При $k=0$ получаем корень $x = 0 \cdot \pi = 0$.

Этот корень разбивает исходный промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ на две части: $(-\frac{\pi}{2}; 0)$ и $(0; \pi)$.

Теперь определим знак функции $\sin x$ на каждом из этих промежутков:

• На промежутке $(-\frac{\pi}{2}; 0)$ (IV четверть) функция $\sin x$ принимает отрицательные значения. Например, при $x = -\frac{\pi}{4}$, $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$.
• На промежутке $(0; \pi)$ (I и II четверти) функция $\sin x$ принимает положительные значения. Например, при $x = \frac{\pi}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 > 0$.

Таким образом, промежутками знакопостоянства для функции $y = \sin x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ являются $(-\frac{\pi}{2}; 0)$ и $(0; \pi)$.

Ответ: Промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ разбивается на два промежутка: $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, на котором $\sin x < 0$, и $(0; \pi)$, на котором $\sin x > 0$.

2) y = cos x

Теперь найдем нули функции $y = \cos x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.

Найдем значения $k$, при которых корень $x$ попадает в наш интервал $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$, то есть $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + k\pi < \pi$.

Вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства: $-\pi < k\pi < \frac{\pi}{2}$.

Разделим неравенство на $\pi$: $-1 < k < \frac{1}{2}$.

Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 0$. При $k=0$ получаем корень $x = \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2}$.

Этот корень разбивает исходный промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ на две части: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Теперь определим знак функции $\cos x$ на каждом из этих промежутков:

• На промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ (IV и I четверти) функция $\cos x$ принимает положительные значения. Например, при $x = 0$, $\cos(0) = 1 > 0$.
• На промежутке $(\frac{\pi}{2}; \pi)$ (II четверть) функция $\cos x$ принимает отрицательные значения. Например, при $x = \frac{3\pi}{4}$, $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$.

Таким образом, промежутками знакопостоянства для функции $y = \cos x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ являются $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Ответ: Промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ разбивается на два промежутка: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, на котором $\cos x > 0$, и $(\frac{\pi}{2}; \pi)$, на котором $\cos x < 0$.

4.38. Определите знаки тригонометрических функций углов:

1) $143^{\circ}$;

2) $-243^{\circ}$;

3) $735^{\circ}$;

4) $-735^{\circ}$;

5) $300^{\circ}$;

6) $\frac{3\pi}{5}$;

7) $\frac{4\pi}{3}$;

8) $-0,5$;

9) $4$;

10) $-7,3$.

Для определения знаков тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) необходимо определить, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол. Знак функции зависит от знаков координат ($x$ и $y$) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Синус соответствует координате $y$, косинус — координате $x$.

Знаки функций по четвертям наглядно представлены на рисунке:

• I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$, или от $0$ до $\pi/2$): все функции положительны.
• II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$, или от $\pi/2$ до $\pi$): синус положителен, остальные отрицательны.
• III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$, или от $\pi$ до $3\pi/2$): тангенс и котангенс положительны, остальные отрицательны.
• IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$, или от $3\pi/2$ до $2\pi$): косинус положителен, остальные отрицательны.

Для углов, заданных в радианах без числа $\pi$, используется приближение $\pi \approx 3,14159$.

1) 143°

Угол $143^\circ$ находится в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$ ($90^\circ < 143^\circ < 180^\circ$). Следовательно, этот угол принадлежит II четверти. Во II четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Ответ: $ \sin(143^\circ) > 0 $, $ \cos(143^\circ) < 0 $, $ \tan(143^\circ) < 0 $, $ \cot(143^\circ) < 0 $.

2) -243°

Для отрицательного угла $-243^\circ$ найдем соответствующий ему положительный угол, прибавив $360^\circ$: $-243^\circ + 360^\circ = 117^\circ$. Угол $117^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 117^\circ < 180^\circ$). Знаки функций те же, что и в предыдущем пункте.

Ответ: $ \sin(-243^\circ) > 0 $, $ \cos(-243^\circ) < 0 $, $ \tan(-243^\circ) < 0 $, $ \cot(-243^\circ) < 0 $.

3) 735°

Угол $735^\circ$ больше полного оборота ($360^\circ$). Найдем эквивалентный угол в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$, вычитая полные обороты: $735^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 15^\circ$. Таким образом, угол $735^\circ$ соответствует углу $15^\circ$. Угол $15^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 15^\circ < 90^\circ$), где все тригонометрические функции положительны.

Ответ: $ \sin(735^\circ) > 0 $, $ \cos(735^\circ) > 0 $, $ \tan(735^\circ) > 0 $, $ \cot(735^\circ) > 0 $.

4) -735°

Найдем эквивалентный положительный угол, прибавляя полные обороты: $-735^\circ + 3 \cdot 360^\circ = -735^\circ + 1080^\circ = 345^\circ$. Угол $345^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 345^\circ < 360^\circ$). В IV четверти косинус положителен, а остальные функции отрицательны.

Ответ: $ \sin(-735^\circ) < 0 $, $ \cos(-735^\circ) > 0 $, $ \tan(-735^\circ) < 0 $, $ \cot(-735^\circ) < 0 $.

5) 300°

Угол $300^\circ$ находится в IV четверти, так как $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$. В IV четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

Ответ: $ \sin(300^\circ) < 0 $, $ \cos(300^\circ) > 0 $, $ \tan(300^\circ) < 0 $, $ \cot(300^\circ) < 0 $.

6) $\frac{3\pi}{5}$

Сравним угол с границами четвертей в радианах: $\pi/2$ и $\pi$. $\pi/2 = 2.5\pi/5$, $\pi = 5\pi/5$. Так как $\frac{2.5\pi}{5} < \frac{3\pi}{5} < \frac{5\pi}{5}$, угол $\frac{3\pi}{5}$ находится во II четверти. Во II четверти синус положителен, остальные функции отрицательны.

Ответ: $ \sin(\frac{3\pi}{5}) > 0 $, $ \cos(\frac{3\pi}{5}) < 0 $, $ \tan(\frac{3\pi}{5}) < 0 $, $ \cot(\frac{3\pi}{5}) < 0 $.

7) $\frac{4\pi}{3}$

Сравним угол с границами четвертей: $\pi$ и $3\pi/2$. $\pi = 3\pi/3$, $3\pi/2 = 4.5\pi/3$. Так как $\frac{3\pi}{3} < \frac{4\pi}{3} < \frac{4.5\pi}{3}$, угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в III четверти. В III четверти тангенс и котангенс положительны, а синус и косинус отрицательны.

Ответ: $ \sin(\frac{4\pi}{3}) < 0 $, $ \cos(\frac{4\pi}{3}) < 0 $, $ \tan(\frac{4\pi}{3}) > 0 $, $ \cot(\frac{4\pi}{3}) > 0 $.

8) -0,5

Угол задан в радианах. Границы IV четверти для отрицательных углов — от $0$ до $-\pi/2$. Используя $\pi \approx 3.14$, получаем $-\pi/2 \approx -1.57$. Так как $0 > -0.5 > -1.57$, угол $-0.5$ радиан находится в IV четверти. В IV четверти косинус положителен, а остальные функции отрицательны.

Ответ: $ \sin(-0.5) < 0 $, $ \cos(-0.5) > 0 $, $ \tan(-0.5) < 0 $, $ \cot(-0.5) < 0 $.

9) 4

Угол задан в радианах. Сравним с границами четвертей: $\pi \approx 3.14$ и $3\pi/2 \approx 4.71$. Так как $3.14 < 4 < 4.71$, то есть $\pi < 4 < 3\pi/2$, угол $4$ радиана находится в III четверти. В III четверти тангенс и котангенс положительны, синус и косинус отрицательны.

Ответ: $ \sin(4) < 0 $, $ \cos(4) < 0 $, $ \tan(4) > 0 $, $ \cot(4) > 0 $.

10) -7,3

Угол задан в радианах. Найдем эквивалентный положительный угол, прибавив два полных оборота ($4\pi$): $2\pi \approx 6.28$, $4\pi \approx 12.57$. Эквивалентный угол: $-7.3 + 4\pi \approx -7.3 + 12.57 = 5.27$. Сравним этот угол с границами IV четверти: $3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$. Так как $4.71 < 5.27 < 6.28$, то есть $3\pi/2 < 5.27 < 2\pi$, угол находится в IV четверти. В IV четверти косинус положителен.

Ответ: $ \sin(-7.3) < 0 $, $ \cos(-7.3) > 0 $, $ \tan(-7.3) < 0 $, $ \cot(-7.3) < 0 $.

4.39. Определите знаки выражений:

1) $ \sin 300^\circ \cdot \cos 200^\circ $;

2) $ \sin 193^\circ \cdot \operatorname{tg} 202^\circ $;

3) $ \cos 40^\circ \cdot \sin 120^\circ \cdot \operatorname{tg} 150^\circ $;

4) $ \operatorname{tg} 97^\circ \cdot \operatorname{ctg} 197^\circ \cdot \cos 297^\circ $;

5) $ \sin \frac{3\pi}{5} \cdot \cos \frac{4\pi}{3} $;

6) $ \operatorname{tg} \frac{5\pi}{3} \cdot \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{6} $;

7) $ \cos 8 \cdot \cos 5 \cdot \operatorname{tg} 1 $;

8) $ \operatorname{tg} 5 \cdot \operatorname{ctg} 3 \cdot \sin 2 $;

9) $ \operatorname{ctg} (-3) \cdot \cos (-5) $.

1) Чтобы определить знак выражения $sin300^\circ \cdot cos200^\circ$, найдем знаки каждого из сомножителей. Угол $300^\circ$ принадлежит IV четверти ($270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$), где синус отрицателен, то есть $sin300^\circ < 0$. Угол $200^\circ$ принадлежит III четверти ($180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$), где косинус отрицателен, то есть $cos200^\circ < 0$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $(-) \cdot (-) = (+)$. Ответ: знак плюс (+).

2) Определим знак выражения $sin193^\circ \cdot tg202^\circ$. Угол $193^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 193^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен: $sin193^\circ < 0$. Угол $202^\circ$ также находится в III четверти ($180^\circ < 202^\circ < 270^\circ$), где тангенс положителен: $tg202^\circ > 0$. Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно: $(-) \cdot (+) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

3) Определим знак выражения $cos40^\circ \cdot sin120^\circ \cdot tg150^\circ$. Угол $40^\circ$ — I четверть ($0^\circ < 40^\circ < 90^\circ$), $cos40^\circ > 0$. Угол $120^\circ$ — II четверть ($90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$), $sin120^\circ > 0$. Угол $150^\circ$ — II четверть ($90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$), $tg150^\circ < 0$. Произведение имеет вид $(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

4) Определим знак выражения $tg97^\circ \cdot ctg197^\circ \cdot cos297^\circ$. Угол $97^\circ$ — II четверть ($90^\circ < 97^\circ < 180^\circ$), $tg97^\circ < 0$. Угол $197^\circ$ — III четверть ($180^\circ < 197^\circ < 270^\circ$), $ctg197^\circ > 0$. Угол $297^\circ$ — IV четверть ($270^\circ < 297^\circ < 360^\circ$), $cos297^\circ > 0$. Произведение имеет вид $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

5) Определим знак выражения $sin\frac{3\pi}{5} \cdot cos\frac{4\pi}{3}$. Угол $\frac{3\pi}{5}$ находится во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi$ ($0.5\pi < 0.6\pi < \pi$), где синус положителен: $sin\frac{3\pi}{5} > 0$. Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в III четверти, так как $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$ ($\pi < 1.33\pi < 1.5\pi$), где косинус отрицателен: $cos\frac{4\pi}{3} < 0$. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно: $(+) \cdot (-) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

6) Определим знак выражения $tg\frac{5\pi}{3} \cdot ctg\frac{7\pi}{6}$. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ ($1.5\pi < 1.66\pi < 2\pi$), где тангенс отрицателен: $tg\frac{5\pi}{3} < 0$. Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в III четверти, так как $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$ ($\pi < 1.16\pi < 1.5\pi$), где котангенс положителен: $ctg\frac{7\pi}{6} > 0$. Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно: $(-) \cdot (+) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

7) Определим знак выражения $cos8 \cdot cos5 \cdot tg1$. Углы даны в радианах. Используем приближение $\pi \approx 3.14$. Тогда $\pi/2 \approx 1.57$, $3\pi/2 \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$, $5\pi/2 \approx 7.85$, $3\pi \approx 9.42$.Угол 1 радиан находится в I четверти ($0 < 1 < 1.57$), $tg1 > 0$.Угол 5 радиан находится в IV четверти ($4.71 < 5 < 6.28$), $cos5 > 0$.Угол 8 радиан находится во II четверти ($7.85 < 8 < 9.42$), $cos8 < 0$.Произведение имеет вид $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

8) Определим знак выражения $tg5 \cdot ctg3 \cdot sin2$. Углы даны в радианах. Используем приближения: $\pi/2 \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$, $3\pi/2 \approx 4.71$.Угол 2 радиана находится во II четверти ($\pi/2 < 2 < \pi$), $sin2 > 0$.Угол 3 радиана находится во II четверти ($\pi/2 < 3 < \pi$), $ctg3 < 0$.Угол 5 радиан находится в IV четверти ($3\pi/2 < 5 < 2\pi$), $tg5 < 0$.Произведение имеет вид $(-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$. Ответ: знак плюс (+).

9) Определим знак выражения $ctg(-3) \cdot cos(-5)$. Воспользуемся свойствами четности функций: котангенс — нечетная функция ($ctg(-x) = -ctgx$), косинус — четная функция ($cos(-x) = cosx$).Выражение преобразуется к виду $-ctg3 \cdot cos5$.Из пункта 8 известно, что угол 3 радиана находится во II четверти, где котангенс отрицателен: $ctg3 < 0$.Из пункта 7 известно, что угол 5 радиан находится в IV четверти, где косинус положителен: $cos5 > 0$.Тогда знак выражения будет $-(-) \cdot (+) = (+)$. Ответ: знак плюс (+).