Страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.46. Определите знаки выражений:

1) $\sin \frac{5\pi}{6} \cdot \cos \frac{2\pi}{5}$;

2) $\tan \frac{5\pi}{4} \cdot \cot \frac{\pi}{6}$;

3) $\cos \frac{5\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{4}$;

4) $\tan \frac{\pi}{8} + \cot \frac{\pi}{8}$.

1) Чтобы определить знак выражения $sin\frac{5\pi}{6} \cdot cos\frac{2\pi}{5}$, найдем знаки каждого множителя.
Угол $\frac{5\pi}{6}$ равен $150^\circ$, что соответствует второй координатной четверти. Синус во второй четверти положителен, значит, $sin\frac{5\pi}{6} > 0$.
Угол $\frac{2\pi}{5}$ равен $72^\circ$, что соответствует первой координатной четверти. Косинус в первой четверти положителен, значит, $cos\frac{2\pi}{5} > 0$.
Произведение двух положительных чисел является положительным числом: $(+) \cdot (+) = (+)$.
Ответ: Знак «плюс».

2) Чтобы определить знак выражения $tg\frac{5\pi}{4} \cdot ctg\frac{\pi}{6}$, найдем знаки каждого множителя.
Угол $\frac{5\pi}{4}$ равен $225^\circ$, что соответствует третьей координатной четверти. Тангенс в третьей четверти положителен, значит, $tg\frac{5\pi}{4} > 0$.
Угол $\frac{\pi}{6}$ равен $30^\circ$, что соответствует первой координатной четверти. Котангенс в первой четверти положителен, значит, $ctg\frac{\pi}{6} > 0$.
Произведение двух положительных чисел является положительным числом: $(+) \cdot (+) = (+)$.
Ответ: Знак «плюс».

3) Чтобы определить знак выражения $cos\frac{5\pi}{7} + cos\frac{3\pi}{4}$, найдем знаки каждого слагаемого.
Угол $\frac{5\pi}{7}$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$. Это вторая координатная четверть. Косинус во второй четверти отрицателен, значит, $cos\frac{5\pi}{7} < 0$.
Угол $\frac{3\pi}{4}$ равен $135^\circ$, что также соответствует второй координатной четверти. Косинус во второй четверти отрицателен, значит, $cos\frac{3\pi}{4} < 0$.
Сумма двух отрицательных чисел является отрицательным числом: $(-) + (-) = (-)$.
Ответ: Знак «минус».

4) Чтобы определить знак выражения $tg\frac{\pi}{8} + ctg\frac{\pi}{8}$, найдем знаки каждого слагаемого.
Угол $\frac{\pi}{8}$ равен $22.5^\circ$, что соответствует первой координатной четверти.
Тангенс в первой четверти положителен, значит, $tg\frac{\pi}{8} > 0$.
Котангенс в первой четверти также положителен, значит, $ctg\frac{\pi}{8} > 0$.
Сумма двух положительных чисел является положительным числом: $(+) + (+) = (+)$.
Ответ: Знак «плюс».

4.47. Исследуйте функции на четность:

1) $y=1-\cos x$;

2) $y=x-\sin x$;

3) $y=x^2-\cos x$;

4) $y=x^3+\sin x$;

5) $y=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$;

6) $y=\frac{\operatorname{tg} x+1}{\operatorname{tg} x-1}$;

7) $y=\frac{x+\sin x}{x-\sin x}$;

8) $y=\frac{x^2-\sin^2 x}{1+\sin^2 x}$;

9) $y=\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$;

10) $y=\cos x \cdot \sin x$;

11) $y=\operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x$;

12) $y=\sin x \cdot \operatorname{ctg}^2 x$.

Для исследования функции $y = f(x)$ на четность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

2. Должно выполняться одно из равенств:

- $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция четная.

- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция нечетная.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, или если область определения несимметрична, функция является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Используем свойства тригонометрических функций: $\cos(-x) = \cos x$ (четная), $\sin(-x) = -\sin x$ (нечетная), $\tan(-x) = -\tan x$ (нечетная), $\cot(-x) = -\cot x$ (нечетная).

1) $y = f(x) = 1 - \cos x$.

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 1 - \cos(-x)$.

Так как косинус — четная функция, $\cos(-x) = \cos x$.

Следовательно, $f(-x) = 1 - \cos x = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

2) $y = f(x) = x - \sin x$.

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x) - \sin(-x)$.

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin x$.

Следовательно, $f(-x) = -x - (-\sin x) = -x + \sin x = -(x - \sin x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

3) $y = f(x) = x^2 - \cos x$.

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^2 - \cos(-x)$.

Функция $g(x) = x^2$ является четной ($(-x)^2 = x^2$), и функция $h(x) = \cos x$ является четной ($\cos(-x) = \cos x$).

Следовательно, $f(-x) = x^2 - \cos x = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной (разность двух четных функций).

Ответ: четная.

4) $y = f(x) = x^3 + \sin x$.

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^3 + \sin(-x)$.

Функция $g(x) = x^3$ является нечетной ($(-x)^3 = -x^3$), и функция $h(x) = \sin x$ является нечетной ($\sin(-x) = -\sin x$).

Следовательно, $f(-x) = -x^3 - \sin x = -(x^3 + \sin x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной (сумма двух нечетных функций).

Ответ: нечетная.

5) $y = f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$.

Область определения: $1 + \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq -1 \implies x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1 - \cos(-x)}{1 + \cos(-x)}$.

Так как $\cos(-x) = \cos x$, то $f(-x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

6) $y = f(x) = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1}$.

Область определения: $\tan x$ определен при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $\tan x - 1 \neq 0 \implies \tan x \neq 1 \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{\tan(-x) + 1}{\tan(-x) - 1}$.

Так как $\tan(-x) = -\tan x$, то $f(-x) = \frac{-\tan x + 1}{-\tan x - 1} = \frac{-(\tan x - 1)}{-(\tan x + 1)} = \frac{\tan x - 1}{\tan x + 1}$.

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

7) $y = f(x) = \frac{x + \sin x}{x - \sin x}$.

Область определения: $x - \sin x \neq 0$. Это равенство выполняется только при $x=0$. Таким образом, $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x) + \sin(-x)}{(-x) - \sin(-x)} = \frac{-x - \sin x}{-x + \sin x} = \frac{-(x + \sin x)}{-(x - \sin x)} = \frac{x + \sin x}{x - \sin x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

8) $y = f(x) = \frac{x^2 - \sin^2 x}{1 + \sin^2 x}$.

Область определения: знаменатель $1 + \sin^2 x \ge 1$ всегда, поэтому $D(f) = \mathbb{R}$, область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^2 - \sin^2(-x)}{1 + \sin^2(-x)}$.

Так как $(-x)^2 = x^2$ и $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$, то $f(-x) = \frac{x^2 - \sin^2 x}{1 + \sin^2 x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

9) $y = f(x) = \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$.

Область определения: $1 - \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq 1 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим симметричность области определения. Возьмем точку $x_0 = -\frac{\pi}{2}$. Имеем $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 \neq 1$, значит $x_0$ принадлежит области определения. Однако для точки $-x_0 = \frac{\pi}{2}$ имеем $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, значит $-x_0$ не принадлежит области определения.

Так как область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

10) $y = f(x) = \cos x \cdot \sin x$.

Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \cos(-x) \cdot \sin(-x) = (\cos x) \cdot (-\sin x) = -\cos x \cdot \sin x = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

11) $y = f(x) = \tan x \cdot \sin^2 x$.

Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \tan(-x) \cdot \sin^2(-x)$.

Так как $\tan(-x) = -\tan x$ и $\sin^2(-x) = \sin^2 x$, то $f(-x) = (-\tan x) \cdot (\sin^2 x) = -(\tan x \cdot \sin^2 x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

12) $y = f(x) = \sin x \cdot \cot^2 x$.

Область определения: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sin(-x) \cdot \cot^2(-x)$.

Так как $\sin(-x) = -\sin x$ и $\cot^2(-x) = (-\cot x)^2 = \cot^2 x$, то $f(-x) = (-\sin x) \cdot (\cot^2 x) = -(\sin x \cdot \cot^2 x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

4.48. Используя периодичность тригонометрических функций, найдите значения выражений:

1) $ \sin390^\circ; $

2) $ \cos420^\circ; $

3) $ \operatorname{tg}540^\circ; $

4) $ \operatorname{ctg}450^\circ; $

5) $ \operatorname{tg}\frac{7\pi}{3}; $

6) $ \sin\frac{11\pi}{6}; $

7) $ \cos-\frac{9\pi}{4}; $

8) $ \operatorname{ctg}\frac{10\pi}{3}. $

1) Период функции синус равен $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Это означает, что $\sin(x + 360^\circ \cdot k) = \sin(x)$ для любого целого $k$. Представим угол $390^\circ$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $360^\circ$:
$390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$.
Используя свойство периодичности, получаем:
$\sin(390^\circ) = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin(30^\circ)$.
Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Период функции косинус равен $360^\circ$. Используем свойство периодичности $\cos(x + 360^\circ \cdot k) = \cos(x)$. Представим угол $420^\circ$ в виде суммы:
$420^\circ = 360^\circ + 60^\circ$.
Тогда:
$\cos(420^\circ) = \cos(360^\circ + 60^\circ) = \cos(60^\circ)$.
Значение $\cos(60^\circ)$ является табличным: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Период функции тангенс равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Это означает, что $\tg(x + 180^\circ \cdot k) = \tg(x)$. Представим угол $540^\circ$ в виде слагаемых, где одно кратно $180^\circ$:
$540^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ + 0^\circ$.
Следовательно:
$\tg(540^\circ) = \tg(3 \cdot 180^\circ + 0^\circ) = \tg(0^\circ)$.
Значение тангенса $0^\circ$ равно $0$.
Ответ: $0$.

4) Период функции котангенс равен $180^\circ$. Используем свойство $\ctg(x + 180^\circ \cdot k) = \ctg(x)$. Представим угол $450^\circ$:
$450^\circ = 2 \cdot 180^\circ + 90^\circ$.
Следовательно:
$\ctg(450^\circ) = \ctg(2 \cdot 180^\circ + 90^\circ) = \ctg(90^\circ)$.
Значение котангенса $90^\circ$ равно $0$, так как $\ctg(90^\circ) = \frac{\cos(90^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: $0$.

5) Период функции тангенс равен $\pi$. Используем свойство периодичности $\tg(x + \pi \cdot k) = \tg(x)$. Представим угол $\frac{7\pi}{3}$:
$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.
Так как $2\pi$ кратно периоду $\pi$, имеем:
$\tg\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \tg\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \tg\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
Табличное значение $\tg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

6) Период функции синус равен $2\pi$. Используем свойство $\sin(x + 2\pi \cdot k) = \sin(x)$. Представим угол $\frac{11\pi}{6}$:
$\frac{11\pi}{6} = \frac{12\pi - \pi}{6} = \frac{12\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$.
Тогда:
$\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:
$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

7) Период функции косинус равен $2\pi$. Используем свойство $\cos(x + 2\pi \cdot k) = \cos(x)$. Представим угол $\frac{9\pi}{4}$:
$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.
Следовательно:
$\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
Табличное значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

8) Период функции котангенс равен $\pi$. Используем свойство $\ctg(x + \pi \cdot k) = \ctg(x)$. Представим угол $\frac{10\pi}{3}$:
$\frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi + \pi}{3} = \frac{9\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3}$.
Следовательно:
$\ctg\left(\frac{10\pi}{3}\right) = \ctg\left(3\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \ctg\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
Табличное значение $\ctg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4.49. Проверьте справедливость утверждения:

1) $\sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=\sin \frac{\pi}{3}+\sin \frac{\pi}{6}$;

2) $\cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{6}<1$.

1) Проверим справедливость утверждения $sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = sin\frac{\pi}{3} + sin\frac{\pi}{6}$. Для этого вычислим значения левой и правой частей равенства.

Сначала вычислим значение левой части:

$sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{3\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Теперь вычислим значение правой части, используя табличные значения синусов:

$sin\frac{\pi}{3} + sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$.

Сравним полученные результаты. Левая часть равна $1$, а правая часть равна $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$.

Так как $1 \neq \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$, равенство не выполняется.

Ответ: утверждение неверно.

2) Проверим справедливость утверждения $cos\frac{\pi}{3} + cos\frac{\pi}{6} < 1$. Для этого вычислим значение выражения в левой части неравенства.

Используя табличные значения косинусов, получаем:

$cos\frac{\pi}{3} + cos\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$.

Теперь проверим, выполняется ли неравенство $\frac{1 + \sqrt{3}}{2} < 1$.

Умножим обе части неравенства на 2:

$1 + \sqrt{3} < 2$.

Вычтем 1 из обеих частей:

$\sqrt{3} < 1$.

Это неравенство ложно, поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, и $1.732 > 1$.

Следовательно, исходное неравенство неверно.

Ответ: утверждение неверно.

4.50. В какой координатной четверти может лежать угол α, если:

1) $|\sin\alpha|=\sin\alpha;$

2) $|\cos\alpha|=-\cos\alpha;$

3) $|\tan\alpha|=-\tan\alpha;$

4) $|\cot\alpha|=\cot\alpha?$

Для решения задачи воспользуемся определением модуля числа и знаками тригонометрических функций по координатным четвертям. Равенство $|x| = x$ выполняется, если $x \ge 0$, а равенство $|x| = -x$ выполняется, если $x \le 0$.

Координатная плоскость разделена на четыре четверти (I, II, III, IV), которые нумеруются против часовой стрелки, начиная с верхней правой:

Вспомним знаки тригонометрических функций. В I четверти все функции положительны. Во II четверти положителен только синус. В III четверти положительны тангенс и котангенс. В IV четверти положителен только косинус. В решении также учитываются случаи, когда функция равна нулю (на границах четвертей).

1) Равенство $|\sin\alpha|=\sin\alpha$ выполняется, когда $\sin\alpha \ge 0$. Синус неотрицателен в I и II координатных четвертях. Ответ: в I или II четверти.

2) Равенство $|\cos\alpha|=-\cos\alpha$ выполняется, когда $\cos\alpha \le 0$. Косинус неположителен во II и III координатных четвертях. Ответ: во II или III четверти.

3) Равенство $|\text{tg}\alpha|=-\text{tg}\alpha$ выполняется, когда $\text{tg}\alpha \le 0$. Тангенс, равный $\sin\alpha / \cos\alpha$, неположителен, когда синус и косинус имеют разные знаки, или когда синус равен нулю (а косинус нет). Это условие соблюдается во II и IV координатных четвертях. Ответ: во II или IV четверти.

4) Равенство $|\text{ctg}\alpha|=\text{ctg}\alpha$ выполняется, когда $\text{ctg}\alpha \ge 0$. Котангенс, равный $\cos\alpha / \sin\alpha$, неотрицателен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки, или когда косинус равен нулю (а синус нет). Это условие соблюдается в I и III координатных четвертях. Ответ: в I или III четверти.

4.51. Напишите общую формулу для всех углов α, удовлетво-ряющих равенству:

Для нахождения общей формулы для всех углов $ \alpha $, удовлетворяющих данным равенствам, мы будем использовать единичную тригонометрическую окружность. На этой окружности синус угла $ \alpha $ соответствует ординате (координате y), а косинус угла $ \alpha $ — абсциссе (координате x) точки, полученной поворотом начальной точки (1, 0) на угол $ \alpha $.

Уравнение $ \sin\alpha = 1 $ означает, что ордината точки на единичной окружности равна 1. Такая точка на окружности всего одна — это точка с координатами (0, 1). Эта точка соответствует углу поворота $ \frac{\pi}{2} $. Поскольку функция синус имеет период $ 2\pi $, все углы, для которых синус равен 1, можно получить, прибавляя к $ \frac{\pi}{2} $ целое число полных оборотов ($ 2\pi k $).

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Уравнение $ \sin\alpha = 0 $ означает, что ордината точки на единичной окружности равна 0. Таких точек две: (1, 0) и (-1, 0). Точка (1, 0) соответствует углам $ 0, 2\pi, 4\pi, \ldots $, то есть $ 2\pi k $. Точка (-1, 0) соответствует углам $ \pi, 3\pi, 5\pi, \ldots $, то есть $ \pi + 2\pi k $. Объединяя эти два семейства решений, получаем все углы, кратные $ \pi $.

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Уравнение $ \sin\alpha = -1 $ означает, что ордината точки на единичной окружности равна -1. Такая точка на окружности одна — это точка с координатами (0, -1). Эта точка соответствует углу поворота $ \frac{3\pi}{2} $ или, что то же самое, $ -\frac{\pi}{2} $. Период функции синус равен $ 2\pi $, поэтому все решения получаются добавлением к $ -\frac{\pi}{2} $ целого числа полных оборотов.

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ (или $ \alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $).

Уравнение $ \cos\alpha = 1 $ означает, что абсцисса точки на единичной окружности равна 1. Такая точка на окружности всего одна — это точка с координатами (1, 0). Эта точка соответствует углу поворота $ 0 $. Поскольку функция косинус имеет период $ 2\pi $, все углы, для которых косинус равен 1, можно получить, прибавляя к $ 0 $ целое число полных оборотов ($ 2\pi k $).

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Уравнение $ \cos\alpha = 0 $ означает, что абсцисса точки на единичной окружности равна 0. Таких точек две: (0, 1) и (0, -1). Точка (0, 1) соответствует углу $ \frac{\pi}{2} $. Точка (0, -1) соответствует углу $ \frac{3\pi}{2} $. Эти точки расположены на окружности на расстоянии $ \pi $ друг от друга. Поэтому все решения можно описать одной формулой, взяв первую точку $ \frac{\pi}{2} $ и добавляя к ней целое число полуоборотов ($ \pi k $).

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Уравнение $ \cos\alpha = -1 $ означает, что абсцисса точки на единичной окружности равна -1. Такая точка на окружности одна — это точка с координатами (-1, 0). Эта точка соответствует углу поворота $ \pi $. Период функции косинус равен $ 2\pi $, поэтому все решения получаются добавлением к $ \pi $ целого числа полных оборотов.

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

4.52. Найдите знак суммы $\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma$, если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ – углы треугольника.

Для определения знака суммы $S = \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma$, воспользуемся тем, что $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника.

Свойством углов треугольника является то, что их сумма равна $\pi$ радианов: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Также каждый из углов находится в интервале $(0, \pi)$.

Для нахождения знака суммы можно пойти двумя путями.

Способ 1 (основан на свойствах функции синус)

Функция $y = \sin x$ принимает положительные значения на интервале $(0, \pi)$.

Поскольку $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, то $0 < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \pi$ и $0 < \gamma < \pi$.

Следовательно, каждое слагаемое в сумме положительно:

$\sin\alpha > 0$

$\sin\beta > 0$

$\sin\gamma > 0$

Сумма трех положительных чисел всегда является положительным числом, поэтому $S > 0$.

Способ 2 (с помощью тригонометрических преобразований)

Этот метод позволяет получить точное выражение для суммы. Преобразуем исходное выражение.

Применим формулу суммы синусов к первым двум слагаемым:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

Из свойства углов треугольника $\alpha + \beta = \pi - \gamma$. Тогда третье слагаемое можно записать как:

$\sin\gamma = \sin(\pi - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$

Используя формулу синуса двойного угла, $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получим:

$\sin(\alpha + \beta) = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$

Теперь подставим преобразованные части обратно в исходную сумму $S$:

$S = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$

Вынесем общий множитель $2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ за скобки:

$S = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \left[ \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \right]$

К выражению в квадратных скобках применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\alpha-\beta}{2}}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Подставляя результат в выражение для $S$, получаем:

$S = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cdot \left( 2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \right) = 4 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Снова используем соотношение $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, из которого следует $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi - \gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.

Применим формулу приведения: $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$.

Окончательно, получаем тождество для суммы синусов углов треугольника:

$S = \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$

Теперь определим знак полученного выражения. Поскольку $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, каждый из них находится в интервале $(0, \pi)$. Следовательно, их половины $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.

Для любого угла $x$ из интервала $(0, \frac{\pi}{2})$, косинус $\cos x$ является положительной величиной. Таким образом:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) > 0$, $\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) > 0$, $\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) > 0$.

Произведение четырех положительных чисел ($4$ и три косинуса) также является положительным числом. Значит, $S > 0$.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Знак суммы — положительный.