Номер 4.52, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.52. Найдите знак суммы $\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma$, если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ – углы треугольника.

Для определения знака суммы $S = \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma$, воспользуемся тем, что $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника.

Свойством углов треугольника является то, что их сумма равна $\pi$ радианов: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Также каждый из углов находится в интервале $(0, \pi)$.

Для нахождения знака суммы можно пойти двумя путями.

Способ 1 (основан на свойствах функции синус)

Функция $y = \sin x$ принимает положительные значения на интервале $(0, \pi)$.

Поскольку $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, то $0 < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \pi$ и $0 < \gamma < \pi$.

Следовательно, каждое слагаемое в сумме положительно:

$\sin\alpha > 0$

$\sin\beta > 0$

$\sin\gamma > 0$

Сумма трех положительных чисел всегда является положительным числом, поэтому $S > 0$.

Способ 2 (с помощью тригонометрических преобразований)

Этот метод позволяет получить точное выражение для суммы. Преобразуем исходное выражение.

Применим формулу суммы синусов к первым двум слагаемым:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

Из свойства углов треугольника $\alpha + \beta = \pi - \gamma$. Тогда третье слагаемое можно записать как:

$\sin\gamma = \sin(\pi - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$

Используя формулу синуса двойного угла, $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получим:

$\sin(\alpha + \beta) = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$

Теперь подставим преобразованные части обратно в исходную сумму $S$:

$S = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$

Вынесем общий множитель $2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ за скобки:

$S = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \left[ \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \right]$

К выражению в квадратных скобках применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\alpha-\beta}{2}}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Подставляя результат в выражение для $S$, получаем:

$S = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cdot \left( 2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \right) = 4 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Снова используем соотношение $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, из которого следует $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi - \gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.

Применим формулу приведения: $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$.

Окончательно, получаем тождество для суммы синусов углов треугольника:

$S = \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$

Теперь определим знак полученного выражения. Поскольку $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, каждый из них находится в интервале $(0, \pi)$. Следовательно, их половины $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.

Для любого угла $x$ из интервала $(0, \frac{\pi}{2})$, косинус $\cos x$ является положительной величиной. Таким образом:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) > 0$, $\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) > 0$, $\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) > 0$.

Произведение четырех положительных чисел ($4$ и три косинуса) также является положительным числом. Значит, $S > 0$.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Знак суммы — положительный.