Номер 4.50, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.50. В какой координатной четверти может лежать угол α, если:

1) $|\sin\alpha|=\sin\alpha;$

2) $|\cos\alpha|=-\cos\alpha;$

3) $|\tan\alpha|=-\tan\alpha;$

4) $|\cot\alpha|=\cot\alpha?$

Для решения задачи воспользуемся определением модуля числа и знаками тригонометрических функций по координатным четвертям. Равенство $|x| = x$ выполняется, если $x \ge 0$, а равенство $|x| = -x$ выполняется, если $x \le 0$.

Координатная плоскость разделена на четыре четверти (I, II, III, IV), которые нумеруются против часовой стрелки, начиная с верхней правой:

Вспомним знаки тригонометрических функций. В I четверти все функции положительны. Во II четверти положителен только синус. В III четверти положительны тангенс и котангенс. В IV четверти положителен только косинус. В решении также учитываются случаи, когда функция равна нулю (на границах четвертей).

1) Равенство $|\sin\alpha|=\sin\alpha$ выполняется, когда $\sin\alpha \ge 0$. Синус неотрицателен в I и II координатных четвертях. Ответ: в I или II четверти.

2) Равенство $|\cos\alpha|=-\cos\alpha$ выполняется, когда $\cos\alpha \le 0$. Косинус неположителен во II и III координатных четвертях. Ответ: во II или III четверти.

3) Равенство $|\text{tg}\alpha|=-\text{tg}\alpha$ выполняется, когда $\text{tg}\alpha \le 0$. Тангенс, равный $\sin\alpha / \cos\alpha$, неположителен, когда синус и косинус имеют разные знаки, или когда синус равен нулю (а косинус нет). Это условие соблюдается во II и IV координатных четвертях. Ответ: во II или IV четверти.

4) Равенство $|\text{ctg}\alpha|=\text{ctg}\alpha$ выполняется, когда $\text{ctg}\alpha \ge 0$. Котангенс, равный $\cos\alpha / \sin\alpha$, неотрицателен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки, или когда косинус равен нулю (а синус нет). Это условие соблюдается в I и III координатных четвертях. Ответ: в I или III четверти.