Номер 4.43, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.43. Исследуйте функцию на четность:

1) $f(x)=9;$

2) $g(x)=0;$

3) $h(x)=(2-3x)^3+(2+3x)^3;$

4) $f(x)=(5x-2)^4+(5x+2)^4;$

5) $f(x)=(x-6)^9(x+3)^5+(x+6)^9(x-3)^5.$

1) Для того чтобы исследовать функцию на четность, необходимо проверить выполнение условия $f(-x) = f(x)$ (четная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная функция) для всех $x$ из области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля.
Для функции $f(x)=9$ область определения $D(f)=(-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x)=9$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$: $f(-x) = 9$ и $f(x) = 9$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

2) Для функции $g(x)=0$ область определения $D(g)=(-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем значение функции для аргумента $-x$: $g(-x)=0$.
Проверим условие четности: $g(-x) = 0$ и $g(x) = 0$. Так как $g(-x) = g(x)$, функция является четной.
Проверим условие нечетности: $g(-x) = 0$ и $-g(x) = -0 = 0$. Так как $g(-x) = -g(x)$, функция является нечетной.
Функция $g(x)=0$ является единственной функцией, которая одновременно является и четной, и нечетной.
Ответ: четная и нечетная.

3) Для функции $h(x)=(2-3x)^3+(2+3x)^3$ область определения $D(h)=(-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$h(-x)=(2-3(-x))^3+(2+3(-x))^3 = (2+3x)^3+(2-3x)^3$.
Так как сложение коммутативно (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), то:
$h(-x) = (2-3x)^3+(2+3x)^3 = h(x)$.
Поскольку выполняется условие $h(-x)=h(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

4) Для функции $f(x)=(5x-2)^4+(5x+2)^4$ область определения $D(f)=(-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x)=(5(-x)-2)^4+(5(-x)+2)^4 = (-5x-2)^4+(-5x+2)^4$.
Используем свойство четной степени: $(-a)^n=a^n$ при четном $n$. В данном случае $n=4$:
$f(-x)=(-(5x+2))^4+(-(5x-2))^4 = (5x+2)^4+(5x-2)^4$.
Так как сложение коммутативно:
$f(-x) = (5x-2)^4+(5x+2)^4 = f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x)=f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

5) Для функции $f(x)=(x-6)^9(x+3)^5+(x+6)^9(x-3)^5$ область определения $D(f)=(-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x)=((-x)-6)^9((-x)+3)^5+((-x)+6)^9((-x)-3)^5$.
Вынесем $-1$ из каждой скобки:
$f(-x)= (-(x+6))^9(-(x-3))^5+(-(x-6))^9(-(x+3))^5$.
Используем свойство нечетной степени: $(-a)^n=-a^n$ при нечетном $n$. В данном случае показатели степеней $9$ и $5$ нечетные:
$f(-x)= [(-1)(x+6)]^9[(-1)(x-3)]^5+[(-1)(x-6)]^9[(-1)(x+3)]^5$
$f(-x)= [(-1)^9(x+6)^9][(-1)^5(x-3)^5]+[(-1)^9(x-6)^9][(-1)^5(x+3)^5]$
$f(-x)= [-(x+6)^9][-(x-3)^5]+[-(x-6)^9][-(x+3)^5]$
$f(-x)= (x+6)^9(x-3)^5+(x-6)^9(x+3)^5$.
Так как сложение коммутативно:
$f(-x) = (x-6)^9(x+3)^5+(x+6)^9(x-3)^5=f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x)=f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.