Практическая работа, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Разбейте промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ на две части так, чтобы в каждой из них функция: 1) $y = \sin x$; 2) $y = \cos x$ не меняла свой знак.

Чтобы разбить заданный промежуток на части, в каждой из которых функция сохраняет свой знак, необходимо найти точки, в которых функция равна нулю или не определена. Эти точки являются границами интервалов знакопостоянства. Для тригонометрических функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ область определения — все действительные числа, поэтому достаточно найти их нули на заданном промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Для наглядности можно использовать тригонометрическую окружность, на которой показаны знаки синуса и косинуса по четвертям. Промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ охватывает IV, I и II координатные четверти.

1) y = sin x

Сначала найдем нули функции $y = \sin x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число.

Найдем значения $k$, при которых корень $x$ попадает в наш интервал $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$, то есть $-\frac{\pi}{2} < k\pi < \pi$.

Разделим неравенство на $\pi$: $-\frac{1}{2} < k < 1$.

Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 0$. При $k=0$ получаем корень $x = 0 \cdot \pi = 0$.

Этот корень разбивает исходный промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ на две части: $(-\frac{\pi}{2}; 0)$ и $(0; \pi)$.

Теперь определим знак функции $\sin x$ на каждом из этих промежутков:

• На промежутке $(-\frac{\pi}{2}; 0)$ (IV четверть) функция $\sin x$ принимает отрицательные значения. Например, при $x = -\frac{\pi}{4}$, $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$.
• На промежутке $(0; \pi)$ (I и II четверти) функция $\sin x$ принимает положительные значения. Например, при $x = \frac{\pi}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 > 0$.

Таким образом, промежутками знакопостоянства для функции $y = \sin x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ являются $(-\frac{\pi}{2}; 0)$ и $(0; \pi)$.

Ответ: Промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ разбивается на два промежутка: $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, на котором $\sin x < 0$, и $(0; \pi)$, на котором $\sin x > 0$.

2) y = cos x

Теперь найдем нули функции $y = \cos x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.

Найдем значения $k$, при которых корень $x$ попадает в наш интервал $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$, то есть $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + k\pi < \pi$.

Вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства: $-\pi < k\pi < \frac{\pi}{2}$.

Разделим неравенство на $\pi$: $-1 < k < \frac{1}{2}$.

Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 0$. При $k=0$ получаем корень $x = \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2}$.

Этот корень разбивает исходный промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ на две части: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Теперь определим знак функции $\cos x$ на каждом из этих промежутков:

• На промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ (IV и I четверти) функция $\cos x$ принимает положительные значения. Например, при $x = 0$, $\cos(0) = 1 > 0$.
• На промежутке $(\frac{\pi}{2}; \pi)$ (II четверть) функция $\cos x$ принимает отрицательные значения. Например, при $x = \frac{3\pi}{4}$, $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$.

Таким образом, промежутками знакопостоянства для функции $y = \cos x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ являются $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Ответ: Промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ разбивается на два промежутка: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, на котором $\cos x > 0$, и $(\frac{\pi}{2}; \pi)$, на котором $\cos x < 0$.