Номер 4.38, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.38. Определите знаки тригонометрических функций углов:

1) $143^{\circ}$;

2) $-243^{\circ}$;

3) $735^{\circ}$;

4) $-735^{\circ}$;

5) $300^{\circ}$;

6) $\frac{3\pi}{5}$;

7) $\frac{4\pi}{3}$;

8) $-0,5$;

9) $4$;

10) $-7,3$.

Для определения знаков тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) необходимо определить, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол. Знак функции зависит от знаков координат ($x$ и $y$) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Синус соответствует координате $y$, косинус — координате $x$.

Знаки функций по четвертям наглядно представлены на рисунке:

• I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$, или от $0$ до $\pi/2$): все функции положительны.
• II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$, или от $\pi/2$ до $\pi$): синус положителен, остальные отрицательны.
• III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$, или от $\pi$ до $3\pi/2$): тангенс и котангенс положительны, остальные отрицательны.
• IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$, или от $3\pi/2$ до $2\pi$): косинус положителен, остальные отрицательны.

Для углов, заданных в радианах без числа $\pi$, используется приближение $\pi \approx 3,14159$.

1) 143°

Угол $143^\circ$ находится в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$ ($90^\circ < 143^\circ < 180^\circ$). Следовательно, этот угол принадлежит II четверти. Во II четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Ответ: $ \sin(143^\circ) > 0 $, $ \cos(143^\circ) < 0 $, $ \tan(143^\circ) < 0 $, $ \cot(143^\circ) < 0 $.

2) -243°

Для отрицательного угла $-243^\circ$ найдем соответствующий ему положительный угол, прибавив $360^\circ$: $-243^\circ + 360^\circ = 117^\circ$. Угол $117^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 117^\circ < 180^\circ$). Знаки функций те же, что и в предыдущем пункте.

Ответ: $ \sin(-243^\circ) > 0 $, $ \cos(-243^\circ) < 0 $, $ \tan(-243^\circ) < 0 $, $ \cot(-243^\circ) < 0 $.

3) 735°

Угол $735^\circ$ больше полного оборота ($360^\circ$). Найдем эквивалентный угол в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$, вычитая полные обороты: $735^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 15^\circ$. Таким образом, угол $735^\circ$ соответствует углу $15^\circ$. Угол $15^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 15^\circ < 90^\circ$), где все тригонометрические функции положительны.

Ответ: $ \sin(735^\circ) > 0 $, $ \cos(735^\circ) > 0 $, $ \tan(735^\circ) > 0 $, $ \cot(735^\circ) > 0 $.

4) -735°

Найдем эквивалентный положительный угол, прибавляя полные обороты: $-735^\circ + 3 \cdot 360^\circ = -735^\circ + 1080^\circ = 345^\circ$. Угол $345^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 345^\circ < 360^\circ$). В IV четверти косинус положителен, а остальные функции отрицательны.

Ответ: $ \sin(-735^\circ) < 0 $, $ \cos(-735^\circ) > 0 $, $ \tan(-735^\circ) < 0 $, $ \cot(-735^\circ) < 0 $.

5) 300°

Угол $300^\circ$ находится в IV четверти, так как $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$. В IV четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

Ответ: $ \sin(300^\circ) < 0 $, $ \cos(300^\circ) > 0 $, $ \tan(300^\circ) < 0 $, $ \cot(300^\circ) < 0 $.

6) $\frac{3\pi}{5}$

Сравним угол с границами четвертей в радианах: $\pi/2$ и $\pi$. $\pi/2 = 2.5\pi/5$, $\pi = 5\pi/5$. Так как $\frac{2.5\pi}{5} < \frac{3\pi}{5} < \frac{5\pi}{5}$, угол $\frac{3\pi}{5}$ находится во II четверти. Во II четверти синус положителен, остальные функции отрицательны.

Ответ: $ \sin(\frac{3\pi}{5}) > 0 $, $ \cos(\frac{3\pi}{5}) < 0 $, $ \tan(\frac{3\pi}{5}) < 0 $, $ \cot(\frac{3\pi}{5}) < 0 $.

7) $\frac{4\pi}{3}$

Сравним угол с границами четвертей: $\pi$ и $3\pi/2$. $\pi = 3\pi/3$, $3\pi/2 = 4.5\pi/3$. Так как $\frac{3\pi}{3} < \frac{4\pi}{3} < \frac{4.5\pi}{3}$, угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в III четверти. В III четверти тангенс и котангенс положительны, а синус и косинус отрицательны.

Ответ: $ \sin(\frac{4\pi}{3}) < 0 $, $ \cos(\frac{4\pi}{3}) < 0 $, $ \tan(\frac{4\pi}{3}) > 0 $, $ \cot(\frac{4\pi}{3}) > 0 $.

8) -0,5

Угол задан в радианах. Границы IV четверти для отрицательных углов — от $0$ до $-\pi/2$. Используя $\pi \approx 3.14$, получаем $-\pi/2 \approx -1.57$. Так как $0 > -0.5 > -1.57$, угол $-0.5$ радиан находится в IV четверти. В IV четверти косинус положителен, а остальные функции отрицательны.

Ответ: $ \sin(-0.5) < 0 $, $ \cos(-0.5) > 0 $, $ \tan(-0.5) < 0 $, $ \cot(-0.5) < 0 $.

9) 4

Угол задан в радианах. Сравним с границами четвертей: $\pi \approx 3.14$ и $3\pi/2 \approx 4.71$. Так как $3.14 < 4 < 4.71$, то есть $\pi < 4 < 3\pi/2$, угол $4$ радиана находится в III четверти. В III четверти тангенс и котангенс положительны, синус и косинус отрицательны.

Ответ: $ \sin(4) < 0 $, $ \cos(4) < 0 $, $ \tan(4) > 0 $, $ \cot(4) > 0 $.

10) -7,3

Угол задан в радианах. Найдем эквивалентный положительный угол, прибавив два полных оборота ($4\pi$): $2\pi \approx 6.28$, $4\pi \approx 12.57$. Эквивалентный угол: $-7.3 + 4\pi \approx -7.3 + 12.57 = 5.27$. Сравним этот угол с границами IV четверти: $3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$. Так как $4.71 < 5.27 < 6.28$, то есть $3\pi/2 < 5.27 < 2\pi$, угол находится в IV четверти. В IV четверти косинус положителен.

Ответ: $ \sin(-7.3) < 0 $, $ \cos(-7.3) > 0 $, $ \tan(-7.3) < 0 $, $ \cot(-7.3) < 0 $.