Номер 4.39, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.39. Определите знаки выражений:

1) $ \sin 300^\circ \cdot \cos 200^\circ $;

2) $ \sin 193^\circ \cdot \operatorname{tg} 202^\circ $;

3) $ \cos 40^\circ \cdot \sin 120^\circ \cdot \operatorname{tg} 150^\circ $;

4) $ \operatorname{tg} 97^\circ \cdot \operatorname{ctg} 197^\circ \cdot \cos 297^\circ $;

5) $ \sin \frac{3\pi}{5} \cdot \cos \frac{4\pi}{3} $;

6) $ \operatorname{tg} \frac{5\pi}{3} \cdot \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{6} $;

7) $ \cos 8 \cdot \cos 5 \cdot \operatorname{tg} 1 $;

8) $ \operatorname{tg} 5 \cdot \operatorname{ctg} 3 \cdot \sin 2 $;

9) $ \operatorname{ctg} (-3) \cdot \cos (-5) $.

1) Чтобы определить знак выражения $sin300^\circ \cdot cos200^\circ$, найдем знаки каждого из сомножителей. Угол $300^\circ$ принадлежит IV четверти ($270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$), где синус отрицателен, то есть $sin300^\circ < 0$. Угол $200^\circ$ принадлежит III четверти ($180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$), где косинус отрицателен, то есть $cos200^\circ < 0$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $(-) \cdot (-) = (+)$. Ответ: знак плюс (+).

2) Определим знак выражения $sin193^\circ \cdot tg202^\circ$. Угол $193^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 193^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен: $sin193^\circ < 0$. Угол $202^\circ$ также находится в III четверти ($180^\circ < 202^\circ < 270^\circ$), где тангенс положителен: $tg202^\circ > 0$. Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно: $(-) \cdot (+) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

3) Определим знак выражения $cos40^\circ \cdot sin120^\circ \cdot tg150^\circ$. Угол $40^\circ$ — I четверть ($0^\circ < 40^\circ < 90^\circ$), $cos40^\circ > 0$. Угол $120^\circ$ — II четверть ($90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$), $sin120^\circ > 0$. Угол $150^\circ$ — II четверть ($90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$), $tg150^\circ < 0$. Произведение имеет вид $(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

4) Определим знак выражения $tg97^\circ \cdot ctg197^\circ \cdot cos297^\circ$. Угол $97^\circ$ — II четверть ($90^\circ < 97^\circ < 180^\circ$), $tg97^\circ < 0$. Угол $197^\circ$ — III четверть ($180^\circ < 197^\circ < 270^\circ$), $ctg197^\circ > 0$. Угол $297^\circ$ — IV четверть ($270^\circ < 297^\circ < 360^\circ$), $cos297^\circ > 0$. Произведение имеет вид $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

5) Определим знак выражения $sin\frac{3\pi}{5} \cdot cos\frac{4\pi}{3}$. Угол $\frac{3\pi}{5}$ находится во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi$ ($0.5\pi < 0.6\pi < \pi$), где синус положителен: $sin\frac{3\pi}{5} > 0$. Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в III четверти, так как $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$ ($\pi < 1.33\pi < 1.5\pi$), где косинус отрицателен: $cos\frac{4\pi}{3} < 0$. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно: $(+) \cdot (-) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

6) Определим знак выражения $tg\frac{5\pi}{3} \cdot ctg\frac{7\pi}{6}$. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ ($1.5\pi < 1.66\pi < 2\pi$), где тангенс отрицателен: $tg\frac{5\pi}{3} < 0$. Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в III четверти, так как $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$ ($\pi < 1.16\pi < 1.5\pi$), где котангенс положителен: $ctg\frac{7\pi}{6} > 0$. Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно: $(-) \cdot (+) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

7) Определим знак выражения $cos8 \cdot cos5 \cdot tg1$. Углы даны в радианах. Используем приближение $\pi \approx 3.14$. Тогда $\pi/2 \approx 1.57$, $3\pi/2 \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$, $5\pi/2 \approx 7.85$, $3\pi \approx 9.42$.Угол 1 радиан находится в I четверти ($0 < 1 < 1.57$), $tg1 > 0$.Угол 5 радиан находится в IV четверти ($4.71 < 5 < 6.28$), $cos5 > 0$.Угол 8 радиан находится во II четверти ($7.85 < 8 < 9.42$), $cos8 < 0$.Произведение имеет вид $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$. Ответ: знак минус (-).

8) Определим знак выражения $tg5 \cdot ctg3 \cdot sin2$. Углы даны в радианах. Используем приближения: $\pi/2 \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$, $3\pi/2 \approx 4.71$.Угол 2 радиана находится во II четверти ($\pi/2 < 2 < \pi$), $sin2 > 0$.Угол 3 радиана находится во II четверти ($\pi/2 < 3 < \pi$), $ctg3 < 0$.Угол 5 радиан находится в IV четверти ($3\pi/2 < 5 < 2\pi$), $tg5 < 0$.Произведение имеет вид $(-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$. Ответ: знак плюс (+).

9) Определим знак выражения $ctg(-3) \cdot cos(-5)$. Воспользуемся свойствами четности функций: котангенс — нечетная функция ($ctg(-x) = -ctgx$), косинус — четная функция ($cos(-x) = cosx$).Выражение преобразуется к виду $-ctg3 \cdot cos5$.Из пункта 8 известно, что угол 3 радиана находится во II четверти, где котангенс отрицателен: $ctg3 < 0$.Из пункта 7 известно, что угол 5 радиан находится в IV четверти, где косинус положителен: $cos5 > 0$.Тогда знак выражения будет $-(-) \cdot (+) = (+)$. Ответ: знак плюс (+).