Вопросы, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте основные свойства тригонометрических функций:

а) их знаки;

б) четность;

в) периодичность.

Обоснуйте их.

2. Назовите наименьший положительный период тригонометрических функций.

а) их знаки;

Знаки тригонометрических функций зависят от того, в какой координатной четверти находится угол. Обоснование этого свойства строится на определении тригонометрических функций через координаты точки на единичной окружности. Пусть углу $\alpha$ соответствует точка $P(x, y)$ на единичной окружности. Тогда по определению $\cos(\alpha) = x$, $\sin(\alpha) = y$, $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$, $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$. Знаки этих функций совпадают со знаками координат $x$ и $y$ в соответствующей четверти.

I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): Координаты $x$ и $y$ положительны. Следовательно, все тригонометрические функции имеют знак «+».

II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): Координата $x$ отрицательна, $y$ положительна. Следовательно, $\sin(\alpha)$ имеет знак «+», а $\cos(\alpha)$, $\tan(\alpha)$, $\cot(\alpha)$ имеют знак «-».

III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): Координаты $x$ и $y$ отрицательны. Следовательно, $\tan(\alpha)$ и $\cot(\alpha)$ имеют знак «+», а $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ имеют знак «-».

IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): Координата $x$ положительна, $y$ отрицательна. Следовательно, $\cos(\alpha)$ имеет знак «+», а $\sin(\alpha)$, $\tan(\alpha)$, $\cot(\alpha)$ имеют знак «-».

Распределение знаков по четвертям наглядно представлено на рисунке:

Ответ: В I четверти все функции положительны. Во II четверти положителен только синус. В III четверти положительны тангенс и котангенс. В IV четверти положителен только косинус.

б) четность;

Свойство четности описывает поведение функции при изменении знака ее аргумента. Функция $f(x)$ является четной, если $f(-x) = f(x)$, и нечетной, если $f(-x) = -f(x)$.

Обоснование: на единичной окружности углы $\alpha$ и $-\alpha$ соответствуют точкам $P(x, y)$ и $P'(x, -y)$, которые симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox).

Косинус: $\cos(\alpha) = x$ и $\cos(-\alpha) = x$. Таким образом, $\cos(-x) = \cos(x)$, следовательно, функция косинус является четной.

Синус: $\sin(\alpha) = y$ и $\sin(-\alpha) = -y$. Таким образом, $\sin(-x) = -\sin(x)$, следовательно, функция синус является нечетной.

Тангенс: $\tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$. Функция тангенс является нечетной.

Котангенс: $\cot(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos(x)}{-\sin(x)} = -\cot(x)$. Функция котангенс является нечетной.

Ответ: Функция $y = \cos(x)$ является четной. Функции $y = \sin(x)$, $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ являются нечетными.

в) периодичность.

Свойство периодичности означает, что значения функции повторяются через определенный интервал, называемый периодом. Функция $f(x)$ является периодической с периодом $T \ne 0$, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Обоснование: поворот точки на единичной окружности на $360^{\circ}$ (или $2\pi$ радиан) возвращает ее в исходное положение. Это означает, что значениям углов $\alpha$ и $\alpha + 2\pi k$ (где $k$ — любое целое число) соответствует одна и та же точка, а значит, и те же значения синуса и косинуса.

Синус и косинус: $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$. Значения этих функций повторяются с периодом $2\pi$.

Тангенс и котангенс: поворот на $180^{\circ}$ (или $\pi$ радиан) переводит точку $P(x, y)$ в диаметрально противоположную точку $P'(-x, -y)$. При этом $\tan(x+\pi) = \frac{-y}{-x} = \frac{y}{x} = \tan(x)$ и $\cot(x+\pi) = \frac{-x}{-y} = \frac{x}{y} = \cot(x)$. Значения этих функций повторяются с периодом $\pi$.

Ответ: Все тригонометрические функции являются периодическими. Для функций синус и косинус периодом является любое число вида $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$. Для функций тангенс и котангенс периодом является любое число вида $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$.

2. Назовите наименьший положительный период тригонометрических функций.

Наименьший положительный период функции (также называемый основным или главным периодом) — это наименьшее положительное число $T$, при прибавлении которого к аргументу значение функции не изменяется.

Исходя из свойства периодичности:

• для функций $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ наименьший положительный период равен $2\pi$.

• для функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ наименьший положительный период равен $\pi$.

Ответ: Наименьший положительный период для синуса и косинуса равен $2\pi$; для тангенса и котангенса — $\pi$.