Номер 4.40, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.40. В какой координатной четверти расположен угол α, если:

1) $\sin\alpha>0$ и $\cos\alpha>0$;

2) $\sin\alpha<0$ и $\cos\alpha>0$;

3) $\sin\alpha>0$ и $\cos\alpha<0$;

4) $\operatorname{tg}\alpha<0$ и $\cos\alpha>0$;

5) $\sin\alpha>0$ и $\operatorname{tg}\alpha>0$;

6) $\operatorname{ctg}\alpha>0$ и $\sin\alpha<0$?

Для определения координатной четверти угла $\alpha$, воспользуемся знаками тригонометрических функций в каждой из них. Знаки синуса ($\sin\alpha$) соответствуют знакам координаты y на единичной окружности, а знаки косинуса ($\cos\alpha$) — знакам координаты x. Знаки тангенса ($\tan\alpha$) и котангенса ($\cot\alpha$) определяются как частное синуса и косинуса. Наглядно это представлено на рисунке:

Координатные четверти и знаки функций:
I четверть (от 0° до 90°): $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha > 0$, $\tan\alpha > 0$, $\cot\alpha > 0$.
II четверть (от 90° до 180°): $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha < 0$, $\tan\alpha < 0$, $\cot\alpha < 0$.
III четверть (от 180° до 270°): $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha < 0$, $\tan\alpha > 0$, $\cot\alpha > 0$.
IV четверть (от 270° до 360°): $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha > 0$, $\tan\alpha < 0$, $\cot\alpha < 0$.

1) $\sin\alpha>0$ и $\cos\alpha>0$

Условие $\sin\alpha>0$ означает, что угол $\alpha$ находится в I или II координатной четверти. Условие $\cos\alpha>0$ означает, что угол $\alpha$ находится в I или IV координатной четверти. Одновременное выполнение этих двух условий возможно только тогда, когда угол $\alpha$ расположен в I координатной четверти.
Ответ: I четверть.

2) $\sin\alpha<0$ и $\cos\alpha>0$

Условие $\sin\alpha<0$ выполняется для углов в III и IV четвертях. Условие $\cos\alpha>0$ выполняется для углов в I и IV четвертях. Пересечением этих условий является IV координатная четверть.
Ответ: IV четверть.

3) $\sin\alpha>0$ и $\cos\alpha<0$

Условие $\sin\alpha>0$ выполняется для углов в I и II четвертях. Условие $\cos\alpha<0$ выполняется для углов в II и III четвертях. Пересечением этих условий является II координатная четверть.
Ответ: II четверть.

4) $\tan\alpha<0$ и $\cos\alpha>0$

Условие $\tan\alpha<0$ означает, что $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют разные знаки. Это происходит во II и IV четвертях. Условие $\cos\alpha>0$ выполняется для углов в I и IV четвертях. Следовательно, угол $\alpha$ может находиться только в IV координатной четверти.
Ответ: IV четверть.

5) $\sin\alpha>0$ и $\tan\alpha>0$

Условие $\sin\alpha>0$ выполняется для углов в I и II четвертях. Условие $\tan\alpha>0$ означает, что $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III четвертях. Пересечением множеств {I, II} и {I, III} является I координатная четверть. Также, из формулы $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ следует, что если $\sin\alpha>0$ и $\tan\alpha>0$, то и $\cos\alpha$ должен быть больше нуля. А условия $\sin\alpha>0$ и $\cos\alpha>0$ соответствуют I четверти.
Ответ: I четверть.

6) $\cot\alpha>0$ и $\sin\alpha<0$

Условие $\cot\alpha>0$ означает, что $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III четвертях. Условие $\sin\alpha<0$ выполняется для углов в III и IV четвертях. Пересечением множеств {I, III} и {III, IV} является III координатная четверть. Также, из формулы $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ следует, что если $\cot\alpha>0$ и $\sin\alpha<0$, то и $\cos\alpha$ должен быть меньше нуля. А условия $\sin\alpha<0$ и $\cos\alpha<0$ соответствуют III четверти.
Ответ: III четверть.