Номер 4.47, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.47. Исследуйте функции на четность:

1) $y=1-\cos x$;

2) $y=x-\sin x$;

3) $y=x^2-\cos x$;

4) $y=x^3+\sin x$;

5) $y=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$;

6) $y=\frac{\operatorname{tg} x+1}{\operatorname{tg} x-1}$;

7) $y=\frac{x+\sin x}{x-\sin x}$;

8) $y=\frac{x^2-\sin^2 x}{1+\sin^2 x}$;

9) $y=\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$;

10) $y=\cos x \cdot \sin x$;

11) $y=\operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x$;

12) $y=\sin x \cdot \operatorname{ctg}^2 x$.

Для исследования функции $y = f(x)$ на четность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

2. Должно выполняться одно из равенств:

- $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция четная.

- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция нечетная.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, или если область определения несимметрична, функция является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Используем свойства тригонометрических функций: $\cos(-x) = \cos x$ (четная), $\sin(-x) = -\sin x$ (нечетная), $\tan(-x) = -\tan x$ (нечетная), $\cot(-x) = -\cot x$ (нечетная).

1) $y = f(x) = 1 - \cos x$.

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 1 - \cos(-x)$.

Так как косинус — четная функция, $\cos(-x) = \cos x$.

Следовательно, $f(-x) = 1 - \cos x = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

2) $y = f(x) = x - \sin x$.

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x) - \sin(-x)$.

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin x$.

Следовательно, $f(-x) = -x - (-\sin x) = -x + \sin x = -(x - \sin x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

3) $y = f(x) = x^2 - \cos x$.

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^2 - \cos(-x)$.

Функция $g(x) = x^2$ является четной ($(-x)^2 = x^2$), и функция $h(x) = \cos x$ является четной ($\cos(-x) = \cos x$).

Следовательно, $f(-x) = x^2 - \cos x = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной (разность двух четных функций).

Ответ: четная.

4) $y = f(x) = x^3 + \sin x$.

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^3 + \sin(-x)$.

Функция $g(x) = x^3$ является нечетной ($(-x)^3 = -x^3$), и функция $h(x) = \sin x$ является нечетной ($\sin(-x) = -\sin x$).

Следовательно, $f(-x) = -x^3 - \sin x = -(x^3 + \sin x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной (сумма двух нечетных функций).

Ответ: нечетная.

5) $y = f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$.

Область определения: $1 + \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq -1 \implies x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1 - \cos(-x)}{1 + \cos(-x)}$.

Так как $\cos(-x) = \cos x$, то $f(-x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

6) $y = f(x) = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1}$.

Область определения: $\tan x$ определен при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $\tan x - 1 \neq 0 \implies \tan x \neq 1 \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{\tan(-x) + 1}{\tan(-x) - 1}$.

Так как $\tan(-x) = -\tan x$, то $f(-x) = \frac{-\tan x + 1}{-\tan x - 1} = \frac{-(\tan x - 1)}{-(\tan x + 1)} = \frac{\tan x - 1}{\tan x + 1}$.

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

7) $y = f(x) = \frac{x + \sin x}{x - \sin x}$.

Область определения: $x - \sin x \neq 0$. Это равенство выполняется только при $x=0$. Таким образом, $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x) + \sin(-x)}{(-x) - \sin(-x)} = \frac{-x - \sin x}{-x + \sin x} = \frac{-(x + \sin x)}{-(x - \sin x)} = \frac{x + \sin x}{x - \sin x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

8) $y = f(x) = \frac{x^2 - \sin^2 x}{1 + \sin^2 x}$.

Область определения: знаменатель $1 + \sin^2 x \ge 1$ всегда, поэтому $D(f) = \mathbb{R}$, область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^2 - \sin^2(-x)}{1 + \sin^2(-x)}$.

Так как $(-x)^2 = x^2$ и $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$, то $f(-x) = \frac{x^2 - \sin^2 x}{1 + \sin^2 x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

9) $y = f(x) = \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$.

Область определения: $1 - \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq 1 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим симметричность области определения. Возьмем точку $x_0 = -\frac{\pi}{2}$. Имеем $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 \neq 1$, значит $x_0$ принадлежит области определения. Однако для точки $-x_0 = \frac{\pi}{2}$ имеем $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, значит $-x_0$ не принадлежит области определения.

Так как область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

10) $y = f(x) = \cos x \cdot \sin x$.

Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \cos(-x) \cdot \sin(-x) = (\cos x) \cdot (-\sin x) = -\cos x \cdot \sin x = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

11) $y = f(x) = \tan x \cdot \sin^2 x$.

Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \tan(-x) \cdot \sin^2(-x)$.

Так как $\tan(-x) = -\tan x$ и $\sin^2(-x) = \sin^2 x$, то $f(-x) = (-\tan x) \cdot (\sin^2 x) = -(\tan x \cdot \sin^2 x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

12) $y = f(x) = \sin x \cdot \cot^2 x$.

Область определения: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область симметрична.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sin(-x) \cdot \cot^2(-x)$.

Так как $\sin(-x) = -\sin x$ и $\cot^2(-x) = (-\cot x)^2 = \cot^2 x$, то $f(-x) = (-\sin x) \cdot (\cot^2 x) = -(\sin x \cdot \cot^2 x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.