Номер 4.49, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.49. Проверьте справедливость утверждения:

1) $\sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=\sin \frac{\pi}{3}+\sin \frac{\pi}{6}$;

2) $\cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{6}<1$.

1) Проверим справедливость утверждения $sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = sin\frac{\pi}{3} + sin\frac{\pi}{6}$. Для этого вычислим значения левой и правой частей равенства.

Сначала вычислим значение левой части:

$sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{3\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Теперь вычислим значение правой части, используя табличные значения синусов:

$sin\frac{\pi}{3} + sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$.

Сравним полученные результаты. Левая часть равна $1$, а правая часть равна $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$.

Так как $1 \neq \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$, равенство не выполняется.

Ответ: утверждение неверно.

2) Проверим справедливость утверждения $cos\frac{\pi}{3} + cos\frac{\pi}{6} < 1$. Для этого вычислим значение выражения в левой части неравенства.

Используя табличные значения косинусов, получаем:

$cos\frac{\pi}{3} + cos\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$.

Теперь проверим, выполняется ли неравенство $\frac{1 + \sqrt{3}}{2} < 1$.

Умножим обе части неравенства на 2:

$1 + \sqrt{3} < 2$.

Вычтем 1 из обеих частей:

$\sqrt{3} < 1$.

Это неравенство ложно, поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, и $1.732 > 1$.

Следовательно, исходное неравенство неверно.

Ответ: утверждение неверно.