Номер 4.56, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.56. Пусть функция $y=f(x)$ нечетная и:

1) $f(x)=x^2$, $x \ge 0$;

2) $f(x)=x^2$, $x \le 0$;

3) $f(x)=x^2-2x$, $x \ge 0$;

4) $f(x)=\sqrt{x}$, $x > 0$.

Запишите формулу, определяющую функцию $f(x)$, и постройте график этой функции.

По определению, функция $y=f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Используем это свойство для нахождения формулы функции $f(x)$ на всей области определения и для построения ее графика.

1) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x)=x^2$ при $x \ge 0$.

Найдем формулу для $f(x)$ при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечетной функции, имеем: $f(x) = -f(-x)$. Поскольку $-x > 0$, для нахождения $f(-x)$ мы можем использовать данную формулу $f(t)=t^2$, подставив $t=-x$: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$. Следовательно, для $x < 0$ получаем: $f(x) = -f(-x) = -x^2$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается следующей формулой: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика, сначала строим график функции $y=x^2$ для $x \ge 0$ (правая ветвь параболы). Затем, используя симметрию относительно начала координат, строим вторую часть графика для $x < 0$, которая является графиком функции $y=-x^2$.

График функции $y=f(x)$:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

2) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x)=x^2$ при $x \le 0$.

Найдем формулу для $f(x)$ при $x > 0$. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. Используя свойство нечетной функции, имеем: $f(x) = -f(-x)$. Поскольку $-x < 0$, для нахождения $f(-x)$ мы можем использовать данную формулу $f(t)=t^2$, подставив $t=-x$: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$. Следовательно, для $x > 0$ получаем: $f(x) = -f(-x) = -x^2$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается следующей формулой: $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x > 0 \\ x^2, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

Для построения графика, сначала строим график функции $y=x^2$ для $x \le 0$ (левая ветвь параболы). Затем, используя симметрию относительно начала координат, строим вторую часть графика для $x > 0$, которая является графиком функции $y=-x^2$.

График функции $y=f(x)$:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x > 0 \\ x^2, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

3) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x)=x^2-2x$ при $x \ge 0$.

Найдем формулу для $f(x)$ при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечетной функции, имеем: $f(x) = -f(-x)$. Поскольку $-x > 0$, для нахождения $f(-x)$ мы можем использовать данную формулу $f(t)=t^2-2t$, подставив $t=-x$: $f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$. Следовательно, для $x < 0$ получаем: $f(x) = -f(-x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается следующей формулой: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика, сначала строим график функции $y=x^2-2x$ для $x \ge 0$. Это парабола с ветвями вверх, корнями в точках $x=0$ и $x=2$ и вершиной в точке $(1, -1)$. Затем, отражаем эту часть графика симметрично относительно начала координат, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Эта вторая часть является графиком функции $y=-x^2-2x$ (парабола с ветвями вниз, корнями в $x=0$ и $x=-2$ и вершиной в точке $(-1, 1)$).

График функции $y=f(x)$:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

4) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x)=\sqrt{x}$ при $x \ge 0$.

Найдем формулу для $f(x)$ при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечетной функции, имеем: $f(x) = -f(-x)$. Поскольку $-x > 0$, для нахождения $f(-x)$ мы можем использовать данную формулу $f(t)=\sqrt{t}$, подставив $t=-x$: $f(-x) = \sqrt{-x}$. Следовательно, для $x < 0$ получаем: $f(x) = -f(-x) = -\sqrt{-x}$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается следующей формулой: $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ -\sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика, сначала строим график функции $y=\sqrt{x}$ для $x \ge 0$. Затем, отражаем эту часть графика симметрично относительно начала координат, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Эта вторая часть является графиком функции $y=-\sqrt{-x}$.

График функции $y=f(x)$:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ -\sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$