Номер 4.61, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.61. Упростите выражение используя формулы приведения:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right);$

2) $\cos(2\pi - \alpha);$

3) $\operatorname{ctg}(360^\circ - \alpha);$

4) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right);$

5) $\sin(2\pi + \alpha);$

6) $\cos(90^\circ - \alpha);$

7) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right);$

8) $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha);$

9) $\sin(270^\circ - \alpha).$

Для упрощения тригонометрических выражений с помощью формул приведения используется мнемоническое правило, состоящее из двух шагов:

1. Определение знака: определяется знак исходной функции в той четверти, в которой находится угол. Для этого мысленно принимаем угол $\alpha$ за острый положительный угол.

2. Изменение функции: если в формуле присутствуют углы, расположенные на вертикальной оси единичной окружности ($\frac{\pi}{2}$ или $90^\circ$, $\frac{3\pi}{2}$ или $270^\circ$), то название функции меняется на кофункцию ($sin \leftrightarrow cos$, $tg \leftrightarrow ctg$). Если углы расположены на горизонтальной оси ($\pi$ или $180^\circ$, $2\pi$ или $360^\circ$), то название функции не меняется.

1) $sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$

Аргумент функции $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти. В этой четверти синус имеет знак "+". Так как в формуле присутствует угол $\frac{\pi}{2}$ (вертикальная ось), функция $sin$ меняется на кофункцию $cos$.

Таким образом, $sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = cos(\alpha)$.

Ответ: $cos(\alpha)$

2) $cos(2\pi - \alpha)$

Аргумент функции $(2\pi - \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти. В этой четверти косинус имеет знак "+". Так как в формуле присутствует угол $2\pi$ (горизонтальная ось), функция $cos$ не меняется.

Таким образом, $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$.

Ответ: $cos(\alpha)$

3) $ctg(360^\circ - \alpha)$

Аргумент функции $(360^\circ - \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти. В этой четверти котангенс имеет знак "−". Так как в формуле присутствует угол $360^\circ$ (горизонтальная ось), функция $ctg$ не меняется.

Таким образом, $ctg(360^\circ - \alpha) = -ctg(\alpha)$.

Ответ: $-ctg(\alpha)$

4) $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

Аргумент функции $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти. В этой четверти косинус имеет знак "+". Так как в формуле присутствует угол $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось), функция $cos$ меняется на кофункцию $sin$.

Таким образом, $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$

5) $sin(2\pi + \alpha)$

Функция синус является периодической с периодом $2\pi$. Это означает, что $sin(x + 2\pi) = sin(x)$ для любого угла $x$.

Таким образом, $sin(2\pi + \alpha) = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$

6) $cos(90^\circ - \alpha)$

Аргумент функции $(90^\circ - \alpha)$ соответствует углу в первой координатной четверти. В этой четверти косинус имеет знак "+". Так как в формуле присутствует угол $90^\circ$ (вертикальная ось), функция $cos$ меняется на кофункцию $sin$.

Таким образом, $cos(90^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$

7) $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

Аргумент функции $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти. В этой четверти тангенс имеет знак "−". Так как в формуле присутствует угол $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось), функция $tg$ меняется на кофункцию $ctg$.

Таким образом, $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.

Ответ: $-ctg(\alpha)$

8) $tg(180^\circ - \alpha)$

Аргумент функции $(180^\circ - \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти. В этой четверти тангенс имеет знак "−". Так как в формуле присутствует угол $180^\circ$ (горизонтальная ось), функция $tg$ не меняется.

Таким образом, $tg(180^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.

Ответ: $-tg(\alpha)$

9) $sin(270^\circ - \alpha)$

Аргумент функции $(270^\circ - \alpha)$ соответствует углу в третьей координатной четверти. В этой четверти синус имеет знак "−". Так как в формуле присутствует угол $270^\circ$ (вертикальная ось), функция $sin$ меняется на кофункцию $cos$.

Таким образом, $sin(270^\circ - \alpha) = -cos(\alpha)$.

Ответ: $-cos(\alpha)$