Номер 4.58, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.58. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y=\sin2\pi x;$

2) $y=|\cos x|;$

3) $y=1+\sin^2x;$

4) $y=\sin2x+3\cos3x;$

5) $y=\operatorname{tg}3x+5\operatorname{ctg}2x.$

1) Функция $y=\sin(2\pi x)$. Наименьший положительный период функции $f(t)=\sin(t)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $g(x)=f(kx)$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В данном случае $k=2\pi$. Таким образом, период функции $y=\sin(2\pi x)$ равен $T = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$.
Ответ: $1$.

2) Функция $y=|\cos x|$. Наименьший положительный период функции $f(x)=\cos x$ равен $T_0 = 2\pi$. Модуль "отражает" отрицательную часть графика косинуса вверх, в результате чего период функции уменьшается вдвое. Проверим это: $|\cos(x+\pi)| = |-\cos x| = |\cos x|$. Таким образом, $\pi$ является периодом функции. Так как для $x=0$, $y=|\cos 0| = 1$, а для $x=\frac{\pi}{2}$, $y=|\cos \frac{\pi}{2}|=0$, то период не может быть меньше $\pi$. Следовательно, наименьший положительный период равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.

3) Функция $y=1+\sin^2x$. Сложение с константой $1$ не влияет на период функции, поэтому достаточно найти период для $f(x)=\sin^2x$. Воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$. Тогда исходная функция примет вид $y=1+\frac{1-\cos(2x)}{2} = \frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)$. Период этой функции определяется периодом функции $\cos(2x)$. Наименьший положительный период для $\cos(t)$ равен $2\pi$. Для функции $\cos(2x)$ период равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

4) Функция $y=\sin(2x)+3\cos(3x)$. Данная функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x)=\sin(2x)$ и $f_2(x)=3\cos(3x)$. Найдем их наименьшие положительные периоды.
Период $T_1$ для $f_1(x)=\sin(2x)$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Период $T_2$ для $f_2(x)=3\cos(3x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{3}$.
Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, \frac{2\pi}{3})$.
Для нахождения НОК можно записать периоды как $T_1 = \frac{3\pi}{3}$ и $T_2 = \frac{2\pi}{3}$. НОК ищется для числителей, а для знаменателей - наибольший общий делитель (НОД): $T = \frac{\text{НОК}(3\pi, 2\pi)}{\text{НОД}(3, 3)} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$.
Или, используя формулу для дробей: $T = \text{НОК}(\frac{\pi}{1}, \frac{2\pi}{3}) = \frac{\text{НОК}(\pi, 2\pi)}{\text{НОД}(1, 3)} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

5) Функция $y=\text{tg}3x+5\text{ctg}2x$. Данная функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x)=\text{tg}(3x)$ и $f_2(x)=5\text{ctg}(2x)$. Найдем их наименьшие положительные периоды.
Наименьший положительный период тангенса равен $\pi$. Период $T_1$ для $f_1(x)=\text{tg}(3x)$ равен $T_1 = \frac{\pi}{3}$.
Наименьший положительный период котангенса равен $\pi$. Период $T_2$ для $f_2(x)=5\text{ctg}(2x)$ равен $T_2 = \frac{\pi}{2}$.
Наименьший положительный период суммы функций равен НОК их периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.
Используем формулу для НОК дробей: $T = \frac{\text{НОК}(\pi, \pi)}{\text{НОД}(3, 2)} = \frac{\pi}{1} = \pi$.
Ответ: $\pi$.