Вопросы, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие углы являются дополнительными?

2. Какие тригонометрические функции являются сходственными?

3. Докажите равенство значений сходственных тригонометрических функций дополнительных углов.

4. Что такое формулы приведения? Как вы их понимаете?

1. Какие углы являются дополнительными?
Дополнительными называются два угла, сумма которых равна $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан). Если один угол равен $\alpha$, то дополнительный к нему угол будет равен $90^\circ - \alpha$. Например, углы $30^\circ$ и $60^\circ$ являются дополнительными, так как их сумма $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике два острых угла всегда являются дополнительными друг другу.
Ответ: Два угла, сумма которых составляет $90^\circ$.

2. Какие тригонометрические функции являются сходственными?
Сходственными (также их называют кофункциями) являются пары тригонометрических функций, где название одной функции получается из названия другой добавлением приставки "ко-". Это отражает их связь через дополнительные углы. Существуют три пары сходственных функций:
- синус и косинус ($\sin$ и $\cos$)
- тангенс и котангенс ($\tan$ и $\cot$)
- секанс и косеканс ($\sec$ и $\csc$)
Ответ: Сходственными функциями являются пары: синус и косинус; тангенс и котангенс; секанс и косеканс.

3. Докажите равенство значений сходственных тригонометрических функций дополнительных углов.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть острые углы при вершинах $A$ и $B$ равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, откуда следует, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Таким образом, углы $\alpha$ и $\beta$ являются дополнительными. Можно выразить один угол через другой: $\beta = 90^\circ - \alpha$.
Обозначим катеты, противолежащие углам $\alpha$ и $\beta$, как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$.
Согласно определениям тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для угла $\alpha$:
$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$
$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$
$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$
Теперь запишем те же функции для угла $\beta$, который равен $90^\circ - \alpha$:
$\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \frac{\text{катет, противолежащий } \beta}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$
$\cos \beta = \cos(90^\circ - \alpha) = \frac{\text{катет, прилежащий к } \beta}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$
$\cot \beta = \cot(90^\circ - \alpha) = \frac{\text{катет, прилежащий к } \beta}{\text{катет, противолежащий } \beta} = \frac{a}{b}$
Сравнивая полученные выражения, мы видим:
$ \sin \alpha = \frac{a}{c} $ и $ \cos(90^\circ - \alpha) = \frac{a}{c} $, следовательно, $ \sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $.
$ \cos \alpha = \frac{b}{c} $ и $ \sin(90^\circ - \alpha) = \frac{b}{c} $, следовательно, $ \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) $.
$ \tan \alpha = \frac{a}{b} $ и $ \cot(90^\circ - \alpha) = \frac{a}{b} $, следовательно, $ \tan \alpha = \cot(90^\circ - \alpha) $.
Таким образом, доказано, что значение тригонометрической функции угла равно значению сходственной ей функции (кофункции) от дополнительного угла.
Ответ: Равенство доказано на основе определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, где два острых угла являются дополнительными.

4. Что такое формулы приведения? Как вы их понимаете?
Формулы приведения — это тождества, которые позволяют выразить тригонометрические функции углов вида $k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$ (или $k \cdot 90^\circ \pm \alpha$, где $k$ — целое число) через тригонометрические функции угла $\alpha$.
Понимание этих формул заключается в том, что они являются практическим инструментом для упрощения тригонометрических выражений. Они позволяют свести вычисление тригонометрической функции от любого угла к вычислению функции от острого угла (обычно $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), значение которой либо известно, либо его проще найти. Для применения формул приведения существует простое мнемоническое правило из двух шагов:
1. Определение знака. Знак результата определяется по знаку исходной функции в той координатной четверти, в которой находится угол $k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$ (при этом угол $\alpha$ мысленно считается малым положительным острым углом).
2. Определение функции. Правило зависит от того, от какой оси отсчитывается угол:
- Если угол имеет вид $\pi \pm \alpha$ ($180^\circ \pm \alpha$) или $2\pi \pm \alpha$ ($360^\circ \pm \alpha$), то есть точка на окружности, соответствующая "опорному" углу $k \cdot \frac{\pi}{2}$, лежит на горизонтальной оси, то название функции не меняется. - Если угол имеет вид $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ ($90^\circ \pm \alpha$) или $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$ ($270^\circ \pm \alpha$), то есть точка на окружности лежит на вертикальной оси, то название функции меняется на сходственную (синус на косинус, тангенс на котангенс, и наоборот).
Например, найдем $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$:
1. Знак: Угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в III четверти, где тангенс положителен. Значит, у результата будет знак «+».
2. Функция: Угол отсчитывается от $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось), поэтому функция $\tan$ меняется на сходственную $\cot$.
Результат: $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cot \alpha$.
Ответ: Это формулы, позволяющие упрощать тригонометрические выражения, сводя их к функциям острого угла, по правилу определения знака и смены (или сохранения) функции в зависимости от опорного угла.