Страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие углы являются дополнительными?

2. Какие тригонометрические функции являются сходственными?

3. Докажите равенство значений сходственных тригонометрических функций дополнительных углов.

4. Что такое формулы приведения? Как вы их понимаете?

1. Какие углы являются дополнительными?
Дополнительными называются два угла, сумма которых равна $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан). Если один угол равен $\alpha$, то дополнительный к нему угол будет равен $90^\circ - \alpha$. Например, углы $30^\circ$ и $60^\circ$ являются дополнительными, так как их сумма $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике два острых угла всегда являются дополнительными друг другу.
Ответ: Два угла, сумма которых составляет $90^\circ$.

2. Какие тригонометрические функции являются сходственными?
Сходственными (также их называют кофункциями) являются пары тригонометрических функций, где название одной функции получается из названия другой добавлением приставки "ко-". Это отражает их связь через дополнительные углы. Существуют три пары сходственных функций:
- синус и косинус ($\sin$ и $\cos$)
- тангенс и котангенс ($\tan$ и $\cot$)
- секанс и косеканс ($\sec$ и $\csc$)
Ответ: Сходственными функциями являются пары: синус и косинус; тангенс и котангенс; секанс и косеканс.

3. Докажите равенство значений сходственных тригонометрических функций дополнительных углов.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть острые углы при вершинах $A$ и $B$ равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, откуда следует, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Таким образом, углы $\alpha$ и $\beta$ являются дополнительными. Можно выразить один угол через другой: $\beta = 90^\circ - \alpha$.
Обозначим катеты, противолежащие углам $\alpha$ и $\beta$, как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$.
Согласно определениям тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для угла $\alpha$:
$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$
$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$
$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$
Теперь запишем те же функции для угла $\beta$, который равен $90^\circ - \alpha$:
$\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \frac{\text{катет, противолежащий } \beta}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$
$\cos \beta = \cos(90^\circ - \alpha) = \frac{\text{катет, прилежащий к } \beta}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$
$\cot \beta = \cot(90^\circ - \alpha) = \frac{\text{катет, прилежащий к } \beta}{\text{катет, противолежащий } \beta} = \frac{a}{b}$
Сравнивая полученные выражения, мы видим:
$ \sin \alpha = \frac{a}{c} $ и $ \cos(90^\circ - \alpha) = \frac{a}{c} $, следовательно, $ \sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $.
$ \cos \alpha = \frac{b}{c} $ и $ \sin(90^\circ - \alpha) = \frac{b}{c} $, следовательно, $ \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) $.
$ \tan \alpha = \frac{a}{b} $ и $ \cot(90^\circ - \alpha) = \frac{a}{b} $, следовательно, $ \tan \alpha = \cot(90^\circ - \alpha) $.
Таким образом, доказано, что значение тригонометрической функции угла равно значению сходственной ей функции (кофункции) от дополнительного угла.
Ответ: Равенство доказано на основе определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, где два острых угла являются дополнительными.

4. Что такое формулы приведения? Как вы их понимаете?
Формулы приведения — это тождества, которые позволяют выразить тригонометрические функции углов вида $k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$ (или $k \cdot 90^\circ \pm \alpha$, где $k$ — целое число) через тригонометрические функции угла $\alpha$.
Понимание этих формул заключается в том, что они являются практическим инструментом для упрощения тригонометрических выражений. Они позволяют свести вычисление тригонометрической функции от любого угла к вычислению функции от острого угла (обычно $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), значение которой либо известно, либо его проще найти. Для применения формул приведения существует простое мнемоническое правило из двух шагов:
1. Определение знака. Знак результата определяется по знаку исходной функции в той координатной четверти, в которой находится угол $k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$ (при этом угол $\alpha$ мысленно считается малым положительным острым углом).
2. Определение функции. Правило зависит от того, от какой оси отсчитывается угол:
- Если угол имеет вид $\pi \pm \alpha$ ($180^\circ \pm \alpha$) или $2\pi \pm \alpha$ ($360^\circ \pm \alpha$), то есть точка на окружности, соответствующая "опорному" углу $k \cdot \frac{\pi}{2}$, лежит на горизонтальной оси, то название функции не меняется. - Если угол имеет вид $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ ($90^\circ \pm \alpha$) или $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$ ($270^\circ \pm \alpha$), то есть точка на окружности лежит на вертикальной оси, то название функции меняется на сходственную (синус на косинус, тангенс на котангенс, и наоборот).
Например, найдем $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$:
1. Знак: Угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в III четверти, где тангенс положителен. Значит, у результата будет знак «+».
2. Функция: Угол отсчитывается от $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось), поэтому функция $\tan$ меняется на сходственную $\cot$.
Результат: $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cot \alpha$.
Ответ: Это формулы, позволяющие упрощать тригонометрические выражения, сводя их к функциям острого угла, по правилу определения знака и смены (или сохранения) функции в зависимости от опорного угла.

Практическая работа

На рис. 4.24. изображен график периодической функции $y=f(x)$ на отрезке $[-1; 1]$, основной период которой равен 2. Постройте график функции на отрезке $[-2; 5]$.

Рис. 4.24

По условию, функция $y=f(x)$ является периодической с основным периодом $T=2$. Это означает, что её значения повторяются через каждый интервал длиной 2, то есть $f(x+2) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Нам дан график функции на отрезке $[-1; 1]$, длина которого $1 - (-1) = 2$, что соответствует одному полному периоду.

Чтобы построить график на требуемом отрезке $[-2; 5]$, мы должны использовать заданный фрагмент на $[-1; 1]$ как "шаблон" и повторить его на соседних интервалах путем сдвига вдоль оси абсцисс на величину, кратную периоду.

• График на интервале $[1; 3]$ получается путем сдвига "шаблона" на 2 единицы вправо.
• График на интервале $[3; 5]$ получается путем сдвига "шаблона" на 4 единицы вправо (или сдвига графика с интервала $[1; 3]$ на 2 единицы вправо).
• Часть графика на интервале $[-2; -1]$ получается из свойства периодичности: например, $f(-2) = f(-2+T) = f(-2+2) = f(0) = 1$. Эта часть является сдвигом фрагмента графика с $[0;1]$ на 2 единицы влево.

В результате на отрезке $[-2; 5]$ график функции будет состоять из повторяющихся одинаковых фрагментов. Максимальные значения, равные 1, будут достигаться в точках с абсциссами $x = -2, 0, 2, 4$. График будет пересекать ось абсцисс (значение функции равно 0) в точках $x = -1, 1, 3, 5$.

Построенный график функции $y=f(x)$ на отрезке $[-2; 5]$ выглядит следующим образом:

Ответ: График функции на отрезке $[-2; 5]$ построен выше. Он представляет собой повторение исходного фрагмента, сдвинутого вдоль оси абсцисс. Максимумы (равные 1) достигаются в точках $x = -2, 0, 2, 4$, а нули функции — в точках $x = -1, 1, 3, 5$.

4.61. Упростите выражение используя формулы приведения:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right);$

2) $\cos(2\pi - \alpha);$

3) $\operatorname{ctg}(360^\circ - \alpha);$

4) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right);$

5) $\sin(2\pi + \alpha);$

6) $\cos(90^\circ - \alpha);$

7) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right);$

8) $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha);$

9) $\sin(270^\circ - \alpha).$

Для упрощения тригонометрических выражений с помощью формул приведения используется мнемоническое правило, состоящее из двух шагов:

1. Определение знака: определяется знак исходной функции в той четверти, в которой находится угол. Для этого мысленно принимаем угол $\alpha$ за острый положительный угол.

2. Изменение функции: если в формуле присутствуют углы, расположенные на вертикальной оси единичной окружности ($\frac{\pi}{2}$ или $90^\circ$, $\frac{3\pi}{2}$ или $270^\circ$), то название функции меняется на кофункцию ($sin \leftrightarrow cos$, $tg \leftrightarrow ctg$). Если углы расположены на горизонтальной оси ($\pi$ или $180^\circ$, $2\pi$ или $360^\circ$), то название функции не меняется.

1) $sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$

Аргумент функции $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти. В этой четверти синус имеет знак "+". Так как в формуле присутствует угол $\frac{\pi}{2}$ (вертикальная ось), функция $sin$ меняется на кофункцию $cos$.

Таким образом, $sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = cos(\alpha)$.

Ответ: $cos(\alpha)$

2) $cos(2\pi - \alpha)$

Аргумент функции $(2\pi - \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти. В этой четверти косинус имеет знак "+". Так как в формуле присутствует угол $2\pi$ (горизонтальная ось), функция $cos$ не меняется.

Таким образом, $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$.

Ответ: $cos(\alpha)$

3) $ctg(360^\circ - \alpha)$

Аргумент функции $(360^\circ - \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти. В этой четверти котангенс имеет знак "−". Так как в формуле присутствует угол $360^\circ$ (горизонтальная ось), функция $ctg$ не меняется.

Таким образом, $ctg(360^\circ - \alpha) = -ctg(\alpha)$.

Ответ: $-ctg(\alpha)$

4) $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

Аргумент функции $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти. В этой четверти косинус имеет знак "+". Так как в формуле присутствует угол $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось), функция $cos$ меняется на кофункцию $sin$.

Таким образом, $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$

5) $sin(2\pi + \alpha)$

Функция синус является периодической с периодом $2\pi$. Это означает, что $sin(x + 2\pi) = sin(x)$ для любого угла $x$.

Таким образом, $sin(2\pi + \alpha) = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$

6) $cos(90^\circ - \alpha)$

Аргумент функции $(90^\circ - \alpha)$ соответствует углу в первой координатной четверти. В этой четверти косинус имеет знак "+". Так как в формуле присутствует угол $90^\circ$ (вертикальная ось), функция $cos$ меняется на кофункцию $sin$.

Таким образом, $cos(90^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$

7) $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

Аргумент функции $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти. В этой четверти тангенс имеет знак "−". Так как в формуле присутствует угол $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось), функция $tg$ меняется на кофункцию $ctg$.

Таким образом, $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.

Ответ: $-ctg(\alpha)$

8) $tg(180^\circ - \alpha)$

Аргумент функции $(180^\circ - \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти. В этой четверти тангенс имеет знак "−". Так как в формуле присутствует угол $180^\circ$ (горизонтальная ось), функция $tg$ не меняется.

Таким образом, $tg(180^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.

Ответ: $-tg(\alpha)$

9) $sin(270^\circ - \alpha)$

Аргумент функции $(270^\circ - \alpha)$ соответствует углу в третьей координатной четверти. В этой четверти синус имеет знак "−". Так как в формуле присутствует угол $270^\circ$ (вертикальная ось), функция $sin$ меняется на кофункцию $cos$.

Таким образом, $sin(270^\circ - \alpha) = -cos(\alpha)$.

Ответ: $-cos(\alpha)$

4.62. Приведите выражения к тригонометрической функции угла из промежутка $ (0; \frac{\pi}{2}) $:

1) $ \cos 0,7\pi; $

2) $ \text{ctg} \left( -\frac{3\pi}{7} \right); $

3) $ \sin 1,6\pi; $

4) $ \text{tg} \left( -\frac{9\pi}{5} \right). $

1) Угол $0,7\pi$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 0,7\pi < \pi$. Во второй четверти косинус отрицателен. Для приведения к углу из первой четверти воспользуемся формулой приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Представим угол $0,7\pi$ как разность $\pi - 0,3\pi$:
$\cos(0,7\pi) = \cos(\pi - 0,3\pi) = -\cos(0,3\pi)$.
Угол $0,3\pi$ принадлежит требуемому промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$, поскольку $0 < 0,3\pi < 0,5\pi$.
Ответ: $-\cos(0,3\pi)$.

2) Котангенс является нечетной функцией, поэтому для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$.
Применим это свойство к данному выражению:
$\ctg(-\frac{3\pi}{7}) = -\ctg(\frac{3\pi}{7})$.
Проверим, принадлежит ли угол $\frac{3\pi}{7}$ промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$. Сравним $\frac{3}{7}$ и $\frac{1}{2}$. Так как $3 \cdot 2 < 7 \cdot 1$ ($6 < 7$), то $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$, и следовательно, $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $-\ctg(\frac{3\pi}{7})$.

3) Угол $1,6\pi$ находится в четвертой четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < 1,6\pi < 2\pi$. В этой четверти синус отрицателен. Воспользуемся формулой приведения $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Представим угол $1,6\pi$ как разность $2\pi - 0,4\pi$:
$\sin(1,6\pi) = \sin(2\pi - 0,4\pi) = -\sin(0,4\pi)$.
Угол $0,4\pi$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$, поскольку $0 < 0,4\pi < 0,5\pi$.
Ответ: $-\sin(0,4\pi)$.

4) Воспользуемся свойством периодичности тангенса. Период тангенса равен $\pi$, но также можно использовать и $2\pi$. Прибавим к аргументу $2\pi$, чтобы получить угол в стандартном диапазоне.
$\tg(-\frac{9\pi}{5}) = \tg(-\frac{9\pi}{5} + 2\pi) = \tg(\frac{-9\pi + 10\pi}{5}) = \tg(\frac{\pi}{5})$.
Угол $\frac{\pi}{5}$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$, так как $0 < \frac{1}{5} < \frac{1}{2}$.
Ответ: $\tg(\frac{\pi}{5})$.

4.63. Приведите выражения к тригонометрической функции угла из промежутка $(0^\circ; 90^\circ$):

1) $tg137^\circ;$

2) $sin(-178^\circ);$

3) $sin680^\circ;$

4) $cos(-1000^\circ).$

1) tg137°

Угол $137^\circ$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 137^\circ < 180^\circ$). Чтобы привести тангенс этого угла к функции угла из промежутка $(0^\circ; 90^\circ)$, воспользуемся формулой приведения $tg(180^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.

Представим угол $137^\circ$ в виде разности $180^\circ - 43^\circ$.

$tg(137^\circ) = tg(180^\circ - 43^\circ) = -tg(43^\circ)$.

Угол $43^\circ$ принадлежит требуемому промежутку $(0^\circ; 90^\circ)$.

Ответ: $-tg(43^\circ)$.

2) sin(-178°)

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.

$sin(-178^\circ) = -sin(178^\circ)$.

Теперь приведем $sin(178^\circ)$. Угол $178^\circ$ находится во второй координатной четверти. Применим формулу приведения $sin(180^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$.

Представим угол $178^\circ$ как $180^\circ - 2^\circ$.

$-sin(178^\circ) = -sin(180^\circ - 2^\circ) = -sin(2^\circ)$.

Угол $2^\circ$ принадлежит промежутку $(0^\circ; 90^\circ)$.

Ответ: $-sin(2^\circ)$.

3) sin(680°)

Функция синус является периодической с периодом $360^\circ$, что выражается формулой $sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = sin(\alpha)$, где $k$ — любое целое число. Найдем остаток от деления $680^\circ$ на $360^\circ$.

$680^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 320^\circ$.

Следовательно, $sin(680^\circ) = sin(320^\circ)$.

Угол $320^\circ$ находится в четвертой координатной четверти ($270^\circ < 320^\circ < 360^\circ$). Применим формулу приведения $sin(360^\circ - \alpha) = -sin(\alpha)$.

Представим угол $320^\circ$ как $360^\circ - 40^\circ$.

$sin(320^\circ) = sin(360^\circ - 40^\circ) = -sin(40^\circ)$.

Угол $40^\circ$ принадлежит промежутку $(0^\circ; 90^\circ)$.

Ответ: $-sin(40^\circ)$.

4) cos(-1000°)

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

$cos(-1000^\circ) = cos(1000^\circ)$.

Функция косинус является периодической с периодом $360^\circ$: $cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = cos(\alpha)$. Найдем остаток от деления $1000^\circ$ на $360^\circ$.

$1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ = 720^\circ + 280^\circ$.

Следовательно, $cos(1000^\circ) = cos(280^\circ)$.

Угол $280^\circ$ находится в четвертой координатной четверти. Применим формулу приведения $cos(360^\circ - \alpha) = cos(\alpha)$.

Представим угол $280^\circ$ как $360^\circ - 80^\circ$.

$cos(280^\circ) = cos(360^\circ - 80^\circ) = cos(80^\circ)$.

Угол $80^\circ$ принадлежит промежутку $(0^\circ; 90^\circ)$.

Ответ: $cos(80^\circ)$.