Страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.72. Упростите выражения:

1) $ ( \sin(\pi + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) )^2 + ( \cos(2\pi - \alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) )^2; $

2) $ ( \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) )^2 - ( \text{ctg}(\pi + \alpha) + \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) )^2; $

3) $ \sin 160^\circ \cos 110^\circ + \sin 250^\circ \cos 340^\circ + \text{tg} 110^\circ \text{tg} 340^\circ; $

4) $ \text{tg} 18^\circ \text{tg} 288^\circ + \sin 32^\circ \sin 148^\circ - \sin 302^\circ \sin 122^\circ. $

1) Для упрощения этого выражения применим формулы приведения к каждому из тригонометрических членов.

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ (поскольку угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен).
$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$ (поскольку угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен, а функция меняется на кофункцию).
$\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$ (поскольку угол $2\pi - \alpha$ находится в IV четверти, где косинус положителен).
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$ (поскольку угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен, а функция меняется на кофункцию).

Подставим полученные выражения в исходное:

$(\sin(\pi + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2 + (\cos(2\pi - \alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 = (-\sin\alpha + (-\sin\alpha))^2 + (\cos\alpha - (-\cos\alpha))^2 = (-2\sin\alpha)^2 + (2\cos\alpha)^2$

Возводим в квадрат и упрощаем:

$4\sin^2\alpha + 4\cos^2\alpha = 4(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$4 \cdot 1 = 4$

Ответ: 4

2) Упростим выражение, используя формулы приведения.

$\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}\alpha$ (угол в I четверти, функция меняется на кофункцию).
$\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (угол во II четверти, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}\alpha$ (угол в III четверти, котангенс положителен).
$\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (угол в IV четверти, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Подставляем в исходное выражение:

$(\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2 - (\text{ctg}(\pi + \alpha) + \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha))^2 = (\text{ctg}\alpha - (-\text{tg}\alpha))^2 - (\text{ctg}\alpha + (-\text{tg}\alpha))^2 = (\text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha)^2 - (\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$. В нашем случае $a = \text{ctg}\alpha$ и $b = \text{tg}\alpha$.

Получаем: $4 \cdot \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha$.

Так как $\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1$, выражение равно:

$4 \cdot 1 = 4$

Ответ: 4

3) Для упрощения приведем все функции к функциям острого угла, используя формулы приведения.

$\sin160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin20^\circ$
$\cos110^\circ = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin20^\circ$
$\sin250^\circ = \sin(270^\circ - 20^\circ) = -\cos20^\circ$
$\cos340^\circ = \cos(360^\circ - 20^\circ) = \cos20^\circ$
$\text{tg}110^\circ = \text{tg}(90^\circ + 20^\circ) = -\text{ctg}20^\circ$
$\text{tg}340^\circ = \text{tg}(360^\circ - 20^\circ) = -\text{tg}20^\circ$

Подставляем эти значения в выражение:

$\sin160^\circ\cos110^\circ + \sin250^\circ\cos340^\circ + \text{tg}110^\circ\text{tg}340^\circ = (\sin20^\circ)(-\sin20^\circ) + (-\cos20^\circ)(\cos20^\circ) + (-\text{ctg}20^\circ)(-\text{tg}20^\circ)$

Упрощаем:

$-\sin^2 20^\circ - \cos^2 20^\circ + \text{ctg}20^\circ\text{tg}20^\circ$

Группируем первые два слагаемых и используем тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и $\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1$:

$-(\sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ) + 1 = -1 + 1 = 0$

Ответ: 0

4) Упростим выражение, применяя формулы приведения.

$\text{tg}288^\circ = \text{tg}(270^\circ + 18^\circ) = -\text{ctg}18^\circ$
$\sin148^\circ = \sin(180^\circ - 32^\circ) = \sin32^\circ$
$\sin302^\circ = \sin(270^\circ + 32^\circ) = -\cos32^\circ$
$\sin122^\circ = \sin(90^\circ + 32^\circ) = \cos32^\circ$

Подставим преобразованные функции в исходное выражение:

$\text{tg}18^\circ\text{tg}288^\circ + \sin32^\circ\sin148^\circ - \sin302^\circ\sin122^\circ = \text{tg}18^\circ(-\text{ctg}18^\circ) + \sin32^\circ(\sin32^\circ) - (-\cos32^\circ)(\cos32^\circ)$

Выполним умножение:

$-\text{tg}18^\circ\text{ctg}18^\circ + \sin^2 32^\circ + \cos^2 32^\circ$

Используем тождества $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$ и $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$-1 + 1 = 0$

Ответ: 0

4.73. Докажите тождества:

1) $\sin(60^\circ-\alpha)=\cos(30^\circ+\alpha)$;

2) $\operatorname{ctg}(80^\circ-\alpha)=\operatorname{tg}(10^\circ+\alpha)$;

3) $\frac{\cos^2(\pi-\alpha) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(\pi + \alpha) \cos(2\pi - \alpha)}{\operatorname{tg}^2\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) \operatorname{ctg}^2\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)} = \cos^2\alpha$.

1) Для доказательства тождества $sin(60^\circ - \alpha) = cos(30^\circ + \alpha)$ воспользуемся формулой приведения для косинуса и синуса, которая связывает эти две функции: $cos(90^\circ - x) = sin(x)$.

Преобразуем левую часть равенства, представив синус через косинус:

$sin(60^\circ - \alpha) = cos(90^\circ - (60^\circ - \alpha)) = cos(90^\circ - 60^\circ + \alpha) = cos(30^\circ + \alpha)$.

В результате преобразования левая часть стала равна правой части: $cos(30^\circ + \alpha) = cos(30^\circ + \alpha)$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ctg(80^\circ - \alpha) = tg(10^\circ + \alpha)$ воспользуемся формулой приведения для котангенса и тангенса: $ctg(x) = tg(90^\circ - x)$.

Преобразуем левую часть равенства:

$ctg(80^\circ - \alpha) = tg(90^\circ - (80^\circ - \alpha)) = tg(90^\circ - 80^\circ + \alpha) = tg(10^\circ + \alpha)$.

В результате преобразования левая часть стала равна правой части: $tg(10^\circ + \alpha) = tg(10^\circ + \alpha)$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество: $\frac{cos^2(\pi - \alpha) + sin^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) + cos(\pi + \alpha)cos(2\pi - \alpha)}{tg^2(\alpha - \frac{\pi}{2})ctg^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} = cos^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, упрощая числитель и знаменатель по отдельности с помощью формул приведения.

Упрощение числителя: $cos^2(\pi - \alpha) + sin^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) + cos(\pi + \alpha)cos(2\pi - \alpha)$.

Применим формулы приведения:

$cos(\pi - \alpha) = -cos\alpha$ (угол во II четверти, косинус отрицательный).

$sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos\alpha$ (формула дополнения).

$cos(\pi + \alpha) = -cos\alpha$ (угол в III четверти, косинус отрицательный).

$cos(2\pi - \alpha) = cos\alpha$ (угол в IV четверти, косинус положительный).

Подставим преобразованные выражения в числитель:

$(-cos\alpha)^2 + (cos\alpha)^2 + (-cos\alpha)(cos\alpha) = cos^2\alpha + cos^2\alpha - cos^2\alpha = cos^2\alpha$.

Упрощение знаменателя: $tg^2(\alpha - \frac{\pi}{2})ctg^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$.

Применим формулы приведения:

$tg(\alpha - \frac{\pi}{2}) = tg(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -ctg\alpha$.

$ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -tg\alpha$ (угол в IV четверти, котангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию).

Подставим преобразованные выражения в знаменатель:

$(-ctg\alpha)^2 \cdot (-tg\alpha)^2 = ctg^2\alpha \cdot tg^2\alpha$.

Используя основное тригонометрическое тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$, получаем:

$ctg^2\alpha \cdot tg^2\alpha = (ctg\alpha \cdot tg\alpha)^2 = 1^2 = 1$.

Результат:

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{cos^2\alpha}{1} = cos^2\alpha$.

Левая часть равна правой, то есть $cos^2\alpha = cos^2\alpha$.

Ответ: Тождество доказано.

4.74. Найдите значения выражений:

1) $ \text{tg}15^\circ \text{tg}30^\circ \text{tg}45^\circ \text{tg}60^\circ \text{tg}75^\circ; $

2) $ \text{ctg}18^\circ \text{ctg}36^\circ \text{ctg}54^\circ \text{ctg}72^\circ; $

3) $ \text{tg}1^\circ \text{tg}2^\circ \dots \text{tg}88^\circ \text{tg}89^\circ; $

4) $ \text{ctg}88^\circ \text{ctg}86^\circ \dots \text{ctg}4^\circ \text{ctg}2^\circ. $

1) Для нахождения значения выражения $\text{tg}15^\circ\text{tg}30^\circ\text{tg}45^\circ\text{tg}60^\circ\text{tg}75^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$ и основным тригонометрическим тождеством $\text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = 1$.

Сначала сгруппируем множители так, чтобы сумма их углов равнялась $90^\circ$:

$(\text{tg}15^\circ \cdot \text{tg}75^\circ) \cdot (\text{tg}30^\circ \cdot \text{tg}60^\circ) \cdot \text{tg}45^\circ$.

Применим формулу приведения к $\text{tg}75^\circ$ и $\text{tg}60^\circ$:

$\text{tg}75^\circ = \text{tg}(90^\circ - 15^\circ) = \text{ctg}15^\circ$.

$\text{tg}60^\circ = \text{tg}(90^\circ - 30^\circ) = \text{ctg}30^\circ$.

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$(\text{tg}15^\circ \cdot \text{ctg}15^\circ) \cdot (\text{tg}30^\circ \cdot \text{ctg}30^\circ) \cdot \text{tg}45^\circ$.

Используя тождество $\text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = 1$ и зная табличное значение $\text{tg}45^\circ = 1$, получаем:

$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

2) Для нахождения значения выражения $\text{ctg}18^\circ\text{ctg}36^\circ\text{ctg}54^\circ\text{ctg}72^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$ и тождеством $\text{ctg}(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = 1$.

Сгруппируем множители так, чтобы сумма их углов равнялась $90^\circ$:

$(\text{ctg}18^\circ \cdot \text{ctg}72^\circ) \cdot (\text{ctg}36^\circ \cdot \text{ctg}54^\circ)$.

Применим формулу приведения к $\text{ctg}72^\circ$ и $\text{ctg}54^\circ$:

$\text{ctg}72^\circ = \text{ctg}(90^\circ - 18^\circ) = \text{tg}18^\circ$.

$\text{ctg}54^\circ = \text{ctg}(90^\circ - 36^\circ) = \text{tg}36^\circ$.

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$(\text{ctg}18^\circ \cdot \text{tg}18^\circ) \cdot (\text{ctg}36^\circ \cdot \text{tg}36^\circ)$.

Используя тождество $\text{ctg}(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = 1$, получаем:

$1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

3) Выражение $\text{tg}1^\circ\text{tg}2^\circ \ldots\text{tg}88^\circ\text{tg}89^\circ$ представляет собой произведение 89 множителей. Сгруппируем их попарно, используя тот же принцип, что и в первом задании.

Пары будут иметь вид $(\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(90^\circ - \alpha))$. Например:

$(\text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}89^\circ)$, $(\text{tg}2^\circ \cdot \text{tg}88^\circ)$, и так далее.

Рассмотрим произведение в одной такой паре:

$\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$.

Таким образом, произведение в каждой паре равно 1.

Всего в выражении 89 множителей. Мы можем сформировать 44 такие пары (от $\text{tg}1^\circ$ до $\text{tg}44^\circ$). Центральный множитель, у которого нет пары, это $\text{tg}45^\circ$.

Таким образом, все выражение можно записать как:

$(\text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}89^\circ) \cdot (\text{tg}2^\circ \cdot \text{tg}88^\circ) \ldots (\text{tg}44^\circ \cdot \text{tg}46^\circ) \cdot \text{tg}45^\circ$.

Это произведение 44 единиц и $\text{tg}45^\circ$. Так как $\text{tg}45^\circ = 1$, итоговый результат:

$1^{44} \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

4) Выражение $\text{ctg}88^\circ\text{ctg}86^\circ \ldots\text{ctg}4^\circ\text{ctg}2^\circ$ является произведением котангенсов четных углов от $2^\circ$ до $88^\circ$. Запишем его в порядке возрастания углов:

$\text{ctg}2^\circ\text{ctg}4^\circ \ldots\text{ctg}86^\circ\text{ctg}88^\circ$.

Количество множителей в этом выражении равно $(88 - 2)/2 + 1 = 43 + 1 = 44$.

Так как число множителей четное, все их можно разбить на $44 / 2 = 22$ пары. Сгруппируем их так, чтобы сумма углов в каждой паре была $90^\circ$.

Пары будут иметь вид $(\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}(90^\circ - \alpha))$. Например:

$(\text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ)$, $(\text{ctg}4^\circ \cdot \text{ctg}86^\circ)$, и так далее до $(\text{ctg}44^\circ \cdot \text{ctg}46^\circ)$.

Рассмотрим произведение в одной такой паре, используя формулу приведения $\text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$:

$\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1$.

Поскольку произведение в каждой из 22 пар равно 1, то значение всего выражения также равно 1.

$1^{22} = 1$.

Ответ: 1

4.75. Вычислите:

1) $\sin 225^\circ \cos 120^\circ \operatorname{tg} 330^\circ \operatorname{ctg} 240^\circ;$

2) $\sin \frac{7\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{6} \operatorname{tg} \frac{5\pi}{3} \operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3};$

3) $\cos (-7.9\pi) \operatorname{tg} (-1.1\pi) - \sin 5.6\pi \operatorname{ctg} 4.4\pi;$

4) $\sin 5.9\pi \operatorname{tg} (-0.6\pi) + \cos 3.6\pi \operatorname{ctg} (-4.9\pi).$

1) $\sin225^\circ\cos120^\circ\text{tg}330^\circ\text{ctg}240^\circ$

Для решения воспользуемся формулами приведения, чтобы привести аргументы тригонометрических функций к острым углам.

1. Вычисляем значение для $\sin225^\circ$:
$225^\circ$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен.
$\sin225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. Вычисляем значение для $\cos120^\circ$:
$120^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
$\cos120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos60^\circ = -\frac{1}{2}$

3. Вычисляем значение для $\text{tg}330^\circ$:
$330^\circ$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен.
$\text{tg}330^\circ = \text{tg}(360^\circ - 30^\circ) = -\text{tg}30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

4. Вычисляем значение для $\text{ctg}240^\circ$:
$240^\circ$ находится в третьей четверти, где котангенс положителен.
$\text{ctg}240^\circ = \text{ctg}(180^\circ + 60^\circ) = \text{ctg}60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

5. Теперь перемножим все полученные значения:
$\sin225^\circ\cos120^\circ\text{tg}330^\circ\text{ctg}240^\circ = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{(\sqrt{3})^2}{9}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{3}{9}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{12}$

Ответ:$-\frac{\sqrt{2}}{12}$

2) $\sin\frac{7\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{6}\text{tg}\frac{5\pi}{3}\text{ctg}\frac{4\pi}{3}$

Используем формулы приведения для углов, заданных в радианах.

1. $\sin\frac{7\pi}{4} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\cos\frac{7\pi}{6} = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. $\text{tg}\frac{5\pi}{3} = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{tg}\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$

4. $\text{ctg}\frac{4\pi}{3} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

5. Перемножаем полученные значения:
$\sin\frac{7\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{6}\text{tg}\frac{5\pi}{3}\text{ctg}\frac{4\pi}{3} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (-\sqrt{3}) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left(-\frac{(\sqrt{3})^2}{3}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ:$-\frac{\sqrt{6}}{4}$

3) $\cos(-7,9\pi)\text{tg}(-1,1\pi)-\sin(5,6\pi)\text{ctg}(4,4\pi)$

Упростим каждый член выражения, используя свойства четности/нечетности и периодичности тригонометрических функций. Период косинуса и синуса равен $2\pi$, а тангенса и котангенса - $\pi$.

1. Упростим первую часть выражения $\cos(-7,9\pi)\text{tg}(-1,1\pi)$:
$\cos(-7,9\pi) = \cos(7,9\pi) = \cos(8\pi - 0,1\pi) = \cos(-0,1\pi) = \cos(0,1\pi)$
$\text{tg}(-1,1\pi) = -\text{tg}(1,1\pi) = -\text{tg}(\pi + 0,1\pi) = -\text{tg}(0,1\pi)$
$\cos(-7,9\pi)\text{tg}(-1,1\pi) = \cos(0,1\pi) \cdot (-\text{tg}(0,1\pi)) = \cos(0,1\pi) \cdot \left(-\frac{\sin(0,1\pi)}{\cos(0,1\pi)}\right) = -\sin(0,1\pi)$

2. Упростим вторую часть выражения $\sin(5,6\pi)\text{ctg}(4,4\pi)$:
$\sin(5,6\pi) = \sin(6\pi - 0,4\pi) = \sin(-0,4\pi) = -\sin(0,4\pi)$
$\text{ctg}(4,4\pi) = \text{ctg}(4\pi + 0,4\pi) = \text{ctg}(0,4\pi)$
$\sin(5,6\pi)\text{ctg}(4,4\pi) = -\sin(0,4\pi) \cdot \text{ctg}(0,4\pi) = -\sin(0,4\pi) \cdot \frac{\cos(0,4\pi)}{\sin(0,4\pi)} = -\cos(0,4\pi)$

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(-\sin(0,1\pi)) - (-\cos(0,4\pi)) = \cos(0,4\pi) - \sin(0,1\pi)$

4. Воспользуемся формулой приведения для комплементарных углов: $\sin(\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Заметим, что $0,1\pi + 0,4\pi = 0,5\pi = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\sin(0,1\pi) = \cos(\frac{\pi}{2} - 0,1\pi) = \cos(0,4\pi)$.

5. Подставим это в наше выражение:
$\cos(0,4\pi) - \cos(0,4\pi) = 0$

Ответ:0

4) $\sin(5,9\pi)\text{tg}(-0,6\pi)+\cos(3,6\pi)\text{ctg}(-4,9\pi)$

Упростим каждый член выражения, используя свойства четности/нечетности и периодичности.

1. Упростим первую часть выражения $\sin(5,9\pi)\text{tg}(-0,6\pi)$:
$\sin(5,9\pi) = \sin(6\pi - 0,1\pi) = \sin(-0,1\pi) = -\sin(0,1\pi)$
$\text{tg}(-0,6\pi) = -\text{tg}(0,6\pi) = -\text{tg}(\pi - 0,4\pi) = -(-\text{tg}(0,4\pi)) = \text{tg}(0,4\pi)$
Таким образом, первая часть равна $-\sin(0,1\pi)\text{tg}(0,4\pi)$.

2. Упростим вторую часть выражения $\cos(3,6\pi)\text{ctg}(-4,9\pi)$:
$\cos(3,6\pi) = \cos(4\pi - 0,4\pi) = \cos(-0,4\pi) = \cos(0,4\pi)$
$\text{ctg}(-4,9\pi) = -\text{ctg}(4,9\pi) = -\text{ctg}(5\pi - 0,1\pi) = -(-\text{ctg}(0,1\pi)) = \text{ctg}(0,1\pi)$
Таким образом, вторая часть равна $\cos(0,4\pi)\text{ctg}(0,1\pi)$.

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$-\sin(0,1\pi)\text{tg}(0,4\pi) + \cos(0,4\pi)\text{ctg}(0,1\pi)$

4. Как и в предыдущем примере, углы $0,1\pi$ и $0,4\pi$ являются комплементарными, так как их сумма равна $\frac{\pi}{2}$. Используем формулы приведения для комплементарных углов:
$\cos(0,4\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} - 0,4\pi) = \sin(0,1\pi)$
$\text{ctg}(0,1\pi) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - 0,1\pi) = \text{tg}(0,4\pi)$

5. Подставим эти соотношения во вторую часть выражения:
$\cos(0,4\pi)\text{ctg}(0,1\pi) = \sin(0,1\pi)\text{tg}(0,4\pi)$

6. Теперь все выражение выглядит так:
$-\sin(0,1\pi)\text{tg}(0,4\pi) + \sin(0,1\pi)\text{tg}(0,4\pi) = 0$

Ответ:0

4.76. Определите знаки тригонометрических функций углов:

1) $36^\circ$;

2) $240^\circ$;

3) $\frac{5\pi}{6}$;

4) 3.

Для определения знаков тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс и котангенс) необходимо определить, в какой четверти тригонометрической окружности находится заданный угол. Каждая четверть имеет свой набор знаков для этих функций, что наглядно представлено на рисунке:

• I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$ или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$): все функции положительны.
• II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$ или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$): только синус положителен, остальные отрицательны.
• III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$ или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$): тангенс и котангенс положительны, синус и косинус отрицательны.
• IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$ или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$): только косинус положителен, остальные отрицательны.

1) 36°

Угол $36^\circ$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0^\circ < 36^\circ < 90^\circ$). Следовательно, этот угол расположен в I четверти. В I четверти все тригонометрические функции имеют знак "+".

Ответ: $\sin(36^\circ) > 0, \cos(36^\circ) > 0, \tan(36^\circ) > 0, \cot(36^\circ) > 0$.

2) 240°

Угол $240^\circ$ находится в диапазоне от $180^\circ$ до $270^\circ$ ($180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$). Следовательно, этот угол расположен в III четверти. В III четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

Ответ: $\sin(240^\circ) < 0, \cos(240^\circ) < 0, \tan(240^\circ) > 0, \cot(240^\circ) > 0$.

3) $\frac{5\pi}{6}$

Угол задан в радианах. Сравним его с границами четвертей: $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. Так как $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$ и $\pi = \frac{6\pi}{6}$, то выполняется неравенство $\frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$. Следовательно, угол $\frac{5\pi}{6}$ расположен во II четверти. Во II четверти только синус положителен, остальные функции отрицательны.

Ответ: $\sin(\frac{5\pi}{6}) > 0, \cos(\frac{5\pi}{6}) < 0, \tan(\frac{5\pi}{6}) < 0, \cot(\frac{5\pi}{6}) < 0$.

4) 3

Угол задан в радианах (знак градуса отсутствует). Для определения четверти сравним число 3 со значениями $\pi$ и $\frac{\pi}{2}$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$. Получаем неравенство $1.57 < 3 < 3.14159$, что соответствует $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Следовательно, угол в 3 радиана расположен во II четверти. Во II четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Ответ: $\sin(3) > 0, \cos(3) < 0, \tan(3) < 0, \cot(3) < 0$.

4.77. Решите неравенства:

1) $\frac{2x^2 - 7x + 5}{4 - x^2} < 0$;

2) $\frac{3x^2 + 4x - 7}{x^2 + 8x + 7} \le 0$.

1)

Решим неравенство $\frac{2x^2 - 7x + 5}{4 - x^2} < 0$.

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя $2x^2 - 7x + 5 = 0$.

Это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{4} = 1$;

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.

2. Найдем корни знаменателя $4 - x^2 = 0$.

Это разность квадратов: $(2 - x)(2 + x) = 0$.

Корни уравнения: $x_3 = -2$, $x_4 = 2$.

Эти значения $x$ не входят в область определения функции, поэтому на числовой оси они будут "выколотыми" точками.

3. Нанесем все найденные корни на числовую ось в порядке возрастания: -2, 1, 2, 2.5. Так как неравенство строгое ($<$), все точки будут выколотыми.

Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 2.5)$, $(2.5, +\infty)$.

4. Определим знак выражения $f(x) = \frac{2x^2 - 7x + 5}{4 - x^2}$ на каждом интервале. Для этого можно взять любую точку из интервала.

Например, при $x > 2.5$ (возьмем $x = 3$): $f(3) = \frac{2(3)^2 - 7(3) + 5}{4 - (3)^2} = \frac{18 - 21 + 5}{4 - 9} = \frac{2}{-5} < 0$.

Так как все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах будут чередоваться.

Таким образом, знаки на интервалах (слева направо): минус, плюс, минус, плюс, минус.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых неравенство $f(x) < 0$ истинно. Это соответствует интервалам со знаком "минус".

Из схемы видно, что это интервалы $(-\infty, -2)$, $(1, 2)$ и $(2.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; 2) \cup (2.5; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\frac{3x^2 + 4x - 7}{x^2 + 8x + 7} \le 0$.

Используем метод интервалов.

1. Найдем корни числителя $3x^2 + 4x - 7 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$;

$x_2 = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки будут "закрашенными", то есть войдут в решение.

2. Найдем корни знаменателя $x^2 + 8x + 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -8, а произведение 7. Корни: $x_3 = -7$, $x_4 = -1$.

Эти значения $x$ не входят в область определения, поэтому на числовой оси они будут "выколотыми" точками.

3. Нанесем все найденные корни на числовую ось в порядке возрастания: -7, -7/3, -1, 1.

Точки -7 и -1 выколоты, а точки -7/3 и 1 закрашены.

4. Определим знак выражения $g(x) = \frac{3x^2 + 4x - 7}{x^2 + 8x + 7}$ на каждом интервале.

При $x > 1$ (возьмем $x = 2$): $g(2) = \frac{3(2)^2 + 4(2) - 7}{(2)^2 + 8(2) + 7} = \frac{12 + 8 - 7}{4 + 16 + 7} = \frac{13}{27} > 0$.

Так как все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах чередуются.

Таким образом, знаки на интервалах (слева направо): плюс, минус, плюс, минус, плюс.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых $g(x) \le 0$. Это соответствует интервалам со знаком "минус", а также закрашенным точкам.

Из схемы видно, что это интервалы $(-7, -7/3)$ и $(-1, 1)$. Включаем концы, где точки закрашены.

Получаем объединение: $(-7; -7/3] \cup (-1; 1]$.

Ответ: $x \in (-7; -7/3] \cup (-1; 1]$.