Номер 4.76, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.76. Определите знаки тригонометрических функций углов:

1) $36^\circ$;

2) $240^\circ$;

3) $\frac{5\pi}{6}$;

4) 3.

Для определения знаков тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс и котангенс) необходимо определить, в какой четверти тригонометрической окружности находится заданный угол. Каждая четверть имеет свой набор знаков для этих функций, что наглядно представлено на рисунке:

• I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$ или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$): все функции положительны.
• II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$ или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$): только синус положителен, остальные отрицательны.
• III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$ или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$): тангенс и котангенс положительны, синус и косинус отрицательны.
• IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$ или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$): только косинус положителен, остальные отрицательны.

1) 36°

Угол $36^\circ$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0^\circ < 36^\circ < 90^\circ$). Следовательно, этот угол расположен в I четверти. В I четверти все тригонометрические функции имеют знак "+".

Ответ: $\sin(36^\circ) > 0, \cos(36^\circ) > 0, \tan(36^\circ) > 0, \cot(36^\circ) > 0$.

2) 240°

Угол $240^\circ$ находится в диапазоне от $180^\circ$ до $270^\circ$ ($180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$). Следовательно, этот угол расположен в III четверти. В III четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

Ответ: $\sin(240^\circ) < 0, \cos(240^\circ) < 0, \tan(240^\circ) > 0, \cot(240^\circ) > 0$.

3) $\frac{5\pi}{6}$

Угол задан в радианах. Сравним его с границами четвертей: $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. Так как $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$ и $\pi = \frac{6\pi}{6}$, то выполняется неравенство $\frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$. Следовательно, угол $\frac{5\pi}{6}$ расположен во II четверти. Во II четверти только синус положителен, остальные функции отрицательны.

Ответ: $\sin(\frac{5\pi}{6}) > 0, \cos(\frac{5\pi}{6}) < 0, \tan(\frac{5\pi}{6}) < 0, \cot(\frac{5\pi}{6}) < 0$.

4) 3

Угол задан в радианах (знак градуса отсутствует). Для определения четверти сравним число 3 со значениями $\pi$ и $\frac{\pi}{2}$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$. Получаем неравенство $1.57 < 3 < 3.14159$, что соответствует $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Следовательно, угол в 3 радиана расположен во II четверти. Во II четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Ответ: $\sin(3) > 0, \cos(3) < 0, \tan(3) < 0, \cot(3) < 0$.