Номер 4.80, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.80. Покажите, что значения выражений не зависит от α:

1) $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2;$

2) $(\mathrm{tg}\alpha+\mathrm{ctg}\alpha)^2-(\mathrm{tg}\alpha-\mathrm{ctg}\alpha)^2;$

3) $\frac{1}{1+\mathrm{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1+\mathrm{ctg}^2\alpha};$

4) $\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha};$

5) $\frac{2-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{3\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha};$

6) $\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}.$

1) Чтобы упростить выражение $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2$, раскроем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
$(\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)$
Сгруппируем слагаемые, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:
$(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha + (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha + 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Взаимно уничтожаются слагаемые $2\sin\alpha\cos\alpha$ и $-2\sin\alpha\cos\alpha$.
$1 + 1 = 2$.
Полученное значение 2 не зависит от $\alpha$.
Ответ: 2.

2) Преобразуем выражение $(\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha)^2-(\text{tg}\alpha-\text{ctg}\alpha)^2$, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Пусть $a = \text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha$ и $b = \text{tg}\alpha-\text{ctg}\alpha$. Тогда:
$((\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha) - (\text{tg}\alpha-\text{ctg}\alpha)) \cdot ((\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha) + (\text{tg}\alpha-\text{ctg}\alpha)) = $
$= (\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha) \cdot (\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha-\text{ctg}\alpha) = (2\text{ctg}\alpha) \cdot (2\text{tg}\alpha) = 4\text{tg}\alpha\text{ctg}\alpha$.
Так как $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$, то выражение равно $4 \cdot 1 = 4$.
Полученное значение 4 не зависит от $\alpha$.
Ответ: 4.

3) Для преобразования выражения $\frac{1}{1+\text{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1+\text{ctg}^2\alpha}$ используем тригонометрические тождества $1+\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ и $1+\text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
Подставим их в исходное выражение:
$\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}} + \frac{1}{\frac{1}{\sin^2\alpha}} = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Полученное значение 1 не зависит от $\alpha$.
Ответ: 1.

4) Упростим выражение $\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha \cdot \cos\alpha} = \frac{1-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.
В числителе мы использовали формулу разности квадратов. Из основного тригонометрического тождества следует, что $1-\sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
$\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = 1$.
Полученное значение 1 не зависит от $\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \ne 0$).
Ответ: 1.

5) Рассмотрим выражение $\frac{2-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{3\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha}$.
В числителе вынесем -1 за скобки: $2 - (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)$.
В знаменателе вынесем 3 за скобки: $3(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)$.
Выражение примет вид: $\frac{2 - (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}{3(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:
$\frac{2-1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$.
Полученное значение $\frac{1}{3}$ не зависит от $\alpha$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

6) Упростим выражение $\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$.
Числитель $\sin^4\alpha-\cos^4\alpha$ можно разложить на множители как разность квадратов: $(\sin^2\alpha)^2 - (\cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$.
Сократим дробь на $(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)$ (при условии, что это выражение не равно нулю):
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем 1.
Полученное значение 1 не зависит от $\alpha$.
Ответ: 1.