Номер 4.87, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.87. Избавьтесь от параметра t:

1) $\begin{cases} x = 5\cos t, \\ y = 5\sin t; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x = 3\cos t, \\ y = 5\sin t; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x = \sin t + \cos t, \\ y = \sin t \cos t. \end{cases}$

1)

Дана система параметрических уравнений: $ \begin{cases} x = 5 \cos t, \\ y = 5 \sin t. \end{cases} $

Чтобы избавиться от параметра $t$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$.

Из уравнений системы выразим $\cos t$ и $\sin t$:

$\cos t = \frac{x}{5}$

$\sin t = \frac{y}{5}$

Подставим эти выражения в тригонометрическое тождество:

$(\frac{x}{5})^2 + (\frac{y}{5})^2 = 1$

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{25} = 1$

Умножим обе части уравнения на 25:

$x^2 + y^2 = 25$

Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 5.

Ответ: $x^2 + y^2 = 25$

2)

Дана система параметрических уравнений: $ \begin{cases} x = 3 \cos t, \\ y = 5 \sin t. \end{cases} $

Так же, как и в предыдущем примере, используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$.

Выразим $\cos t$ и $\sin t$ из уравнений системы:

$\cos t = \frac{x}{3}$

$\sin t = \frac{y}{5}$

Подставим полученные выражения в тождество:

$(\frac{x}{3})^2 + (\frac{y}{5})^2 = 1$

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$

Это каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями $a=3$ и $b=5$.

Ответ: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$

3)

Дана система параметрических уравнений: $ \begin{cases} x = \sin t + \cos t, \\ y = \sin t \cos t. \end{cases} $

Для исключения параметра $t$ возведем первое уравнение в квадрат:

$x^2 = (\sin t + \cos t)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$x^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$x^2 = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t$

$x^2 = 1 + 2 \sin t \cos t$

Из второго уравнения системы нам известно, что $y = \sin t \cos t$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$x^2 = 1 + 2y$

Это уравнение, связывающее $x$ и $y$ без параметра $t$. Его можно также представить в виде $y = \frac{x^2 - 1}{2}$, что является уравнением параболы.

Ответ: $x^2 = 1 + 2y$