Номер 4.91, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.91. Докажите тождества:

1)

$\frac{\cos \alpha \ctg \alpha - \sin \alpha \tg \alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha}$;

2)

$\frac{\cos \alpha + \sin \alpha - \cos^2 \alpha \sin \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha \tg \alpha + \cos \alpha \ctg \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha.$

1)

Для доказательства тождества $ \frac{\cos\alpha \operatorname{ctg}\alpha - \sin\alpha \operatorname{tg}\alpha}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - \sin\alpha \cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} - \frac{1}{\cos\alpha} $ преобразуем его левую и правую части.

Сначала преобразуем левую часть. Упростим числитель дроби, используя определения котангенса и тангенса ($ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $):

$ \cos\alpha \operatorname{ctg}\alpha - \sin\alpha \operatorname{tg}\alpha = \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \sin\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^3\alpha - \sin^3\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} $.

Далее упростим знаменатель дроби, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $ и основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - \sin\alpha \cos\alpha = (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha \cos\alpha + \cos^2\alpha) - \sin\alpha \cos\alpha = (1 + 2\sin\alpha \cos\alpha) - \sin\alpha \cos\alpha = 1 + \sin\alpha \cos\alpha $.

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть. Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:

$ \frac{\frac{\cos^3\alpha - \sin^3\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha}}{1 + \sin\alpha \cos\alpha} = \frac{\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos^2\alpha + \cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha)}{\sin\alpha \cos\alpha}}{1 + \sin\alpha \cos\alpha} = \frac{\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha\cos\alpha)}{\sin\alpha \cos\alpha}}{1 + \sin\alpha \cos\alpha} $.

Сократив на $ (1 + \sin\alpha\cos\alpha) $, получим:

$ \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} $.

Теперь преобразуем правую часть тождества, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1}{\sin\alpha} - \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} $.

Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $ \frac{\cos\alpha + \sin\alpha - \cos^2\alpha \sin\alpha - \sin^2\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha \operatorname{tg}\alpha + \cos\alpha \operatorname{ctg}\alpha} = \sin\alpha \cos\alpha $ преобразуем его левую часть.

Упростим числитель дроби, сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители за скобки:

$ \cos\alpha + \sin\alpha - \cos^2\alpha \sin\alpha - \sin^2\alpha \cos\alpha = (\cos\alpha + \sin\alpha) - (\cos^2\alpha \sin\alpha + \sin^2\alpha \cos\alpha) = (\cos\alpha + \sin\alpha) - \sin\alpha\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha) = (\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha) $.

Далее упростим знаменатель дроби:

$ \sin\alpha \operatorname{tg}\alpha + \cos\alpha \operatorname{ctg}\alpha = \sin\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Применим к числителю полученной дроби формулу суммы кубов $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $ и основное тригонометрическое тождество:

$ \sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)(\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) = (\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha) $.

Таким образом, знаменатель равен:

$ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в левую часть исходного выражения:

$ \frac{(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha)}{\frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}} $.

Сократив дробь на общий множитель $ (\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha) $, получим:

$ \frac{1}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}} = \sin\alpha\cos\alpha $.

Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.