Номер 4.96, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.96. Преобразуйте выражения, пользуясь формулами сложения:

1) $ \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right); $

2) $ \sin\left(\frac{\pi}{6} + y\right); $

3) $ \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right); $

4) $ \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right); $

5) $ \tg\left(\frac{\pi}{4} - x\right); $

6) $ \tg\left(\frac{\pi}{3} + y\right); $

7) $ \ctg\left(\frac{\pi}{6} - x\right); $

8) $ \ctg\left(\frac{\pi}{4} + x\right). $

1) Применяем формулу синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$. Для $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и $\beta=x$ имеем: $sin(\frac{\pi}{4} - x) = sin(\frac{\pi}{4})cos(x) - cos(\frac{\pi}{4})sin(x)$. Подставляя табличные значения $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем $\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(x) - sin(x))$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(x) - sin(x))$

2) Применяем формулу синуса суммы $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$. Для $\alpha=\frac{\pi}{6}$ и $\beta=y$ имеем: $sin(\frac{\pi}{6} + y) = sin(\frac{\pi}{6})cos(y) + cos(\frac{\pi}{6})sin(y)$. Подставляя табличные значения $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $\frac{1}{2}cos(y) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(y)$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos(y) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(y)$

3) Применяем формулу косинуса разности $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$. Для $\alpha=\frac{\pi}{3}$ и $\beta=x$ имеем: $cos(\frac{\pi}{3} - x) = cos(\frac{\pi}{3})cos(x) + sin(\frac{\pi}{3})sin(x)$. Подставляя табличные значения $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $\frac{1}{2}cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)$

4) Применяем формулу косинуса суммы $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$. Для $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и $\beta=x$ имеем: $cos(\frac{\pi}{4} + x) = cos(\frac{\pi}{4})cos(x) - sin(\frac{\pi}{4})sin(x)$. Подставляя табличные значения $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем $\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(x) - sin(x))$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(x) - sin(x))$

5) Применяем формулу тангенса разности $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg(\alpha) - tg(\beta)}{1 + tg(\alpha)tg(\beta)}$. Для $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и $\beta=x$ имеем: $tg(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{tg(\frac{\pi}{4}) - tg(x)}{1 + tg(\frac{\pi}{4})tg(x)}$. Подставляя табличное значение $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем $\frac{1 - tg(x)}{1 + tg(x)}$.
Ответ: $\frac{1 - tg(x)}{1 + tg(x)}$

6) Применяем формулу тангенса суммы $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg(\alpha) + tg(\beta)}{1 - tg(\alpha)tg(\beta)}$. Для $\alpha=\frac{\pi}{3}$ и $\beta=y$ имеем: $tg(\frac{\pi}{3} + y) = \frac{tg(\frac{\pi}{3}) + tg(y)}{1 - tg(\frac{\pi}{3})tg(y)}$. Подставляя табличное значение $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, получаем $\frac{\sqrt{3} + tg(y)}{1 - \sqrt{3}tg(y)}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3} + tg(y)}{1 - \sqrt{3}tg(y)}$

7) Применяем формулу котангенса разности $ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg(\alpha)ctg(\beta) + 1}{ctg(\beta) - ctg(\alpha)}$. Для $\alpha=\frac{\pi}{6}$ и $\beta=x$ имеем: $ctg(\frac{\pi}{6} - x) = \frac{ctg(\frac{\pi}{6})ctg(x) + 1}{ctg(x) - ctg(\frac{\pi}{6})}$. Подставляя табличное значение $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, получаем $\frac{\sqrt{3}ctg(x) + 1}{ctg(x) - \sqrt{3}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}ctg(x) + 1}{ctg(x) - \sqrt{3}}$

8) Применяем формулу котангенса суммы $ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg(\alpha)ctg(\beta) - 1}{ctg(\beta) + ctg(\alpha)}$. Для $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и $\beta=x$ имеем: $ctg(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{ctg(\frac{\pi}{4})ctg(x) - 1}{ctg(x) + ctg(\frac{\pi}{4})}$. Подставляя табличное значение $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем $\frac{1 \cdot ctg(x) - 1}{ctg(x) + 1} = \frac{ctg(x) - 1}{ctg(x) + 1}$.
Ответ: $\frac{ctg(x) - 1}{ctg(x) + 1}$