Номер 4.92, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.92. Докажите тождества:

1) $\sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$

2) $\cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta$

3) $(\sin \alpha + \sin \beta)(\sin \alpha - \sin \beta) - (\cos \alpha + \cos \beta)(\cos \beta - \cos \alpha) = 0$

4) $\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\cot \alpha + \cot \beta} = \tan \alpha \tan \beta$

1) Для доказательства тождества $sin^2\alpha \ cos^2\beta - cos^2\alpha \ sin^2\beta = sin^2\alpha - sin^2\beta$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $cos^2x = 1 - sin^2x$, чтобы выразить косинусы через синусы.
$sin^2\alpha \ cos^2\beta - cos^2\alpha \ sin^2\beta = sin^2\alpha (1 - sin^2\beta) - (1 - sin^2\alpha) sin^2\beta$
Раскроем скобки:
$= sin^2\alpha - sin^2\alpha \ sin^2\beta - sin^2\beta + sin^2\alpha \ sin^2\beta$
Приведем подобные слагаемые. Члены $-sin^2\alpha \ sin^2\beta$ и $+sin^2\alpha \ sin^2\beta$ взаимно уничтожаются:
$= sin^2\alpha - sin^2\beta$
Таким образом, левая часть тождества равна правой: $sin^2\alpha - sin^2\beta = sin^2\alpha - sin^2\beta$.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $cos^2\alpha \ cos^2\beta - sin^2\alpha \ sin^2\beta = cos^2\alpha - sin^2\beta$ преобразуем его левую часть. Используем основное тригонометрическое тождество, заменив $cos^2\beta$ на $1 - sin^2\beta$.
$cos^2\alpha \ cos^2\beta - sin^2\alpha \ sin^2\beta = cos^2\alpha (1 - sin^2\beta) - sin^2\alpha \ sin^2\beta$
Раскроем скобки:
$= cos^2\alpha - cos^2\alpha \ sin^2\beta - sin^2\alpha \ sin^2\beta$
Вынесем $-sin^2\beta$ за скобки:
$= cos^2\alpha - sin^2\beta(cos^2\alpha + sin^2\alpha)$
Так как $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$, получаем:
$= cos^2\alpha - sin^2\beta$
Левая часть тождества равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(sin\alpha + sin\beta)(sin\alpha - sin\beta) - (cos\alpha + cos\beta)(cos\beta - cos\alpha) = 0$ преобразуем его левую часть. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Первое слагаемое: $(sin\alpha + sin\beta)(sin\alpha - sin\beta) = sin^2\alpha - sin^2\beta$.
Второе слагаемое: $(cos\alpha + cos\beta)(cos\beta - cos\alpha) = (cos\beta + cos\alpha)(cos\beta - cos\alpha) = cos^2\beta - cos^2\alpha$.
Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$(sin^2\alpha - sin^2\beta) - (cos^2\beta - cos^2\alpha) = sin^2\alpha - sin^2\beta - cos^2\beta + cos^2\alpha$
Сгруппируем слагаемые:
$= (sin^2\alpha + cos^2\alpha) - (sin^2\beta + cos^2\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, получаем:
$= 1 - 1 = 0$
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $\frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta} = tg\alpha \ tg\beta$ преобразуем левую часть. Выразим котангенсы через тангенсы, используя формулу $ctgx = \frac{1}{tgx}$.
Преобразуем знаменатель дроби:
$ctg\alpha + ctg\beta = \frac{1}{tg\alpha} + \frac{1}{tg\beta} = \frac{tg\beta + tg\alpha}{tg\alpha \ tg\beta}$
Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного тождества:
$\frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta} = \frac{tg\alpha + tg\beta}{\frac{tg\alpha + tg\beta}{tg\alpha \ tg\beta}}$
Выполним деление дробей, "перевернув" знаменатель:
$= (tg\alpha + tg\beta) \cdot \frac{tg\alpha \ tg\beta}{tg\alpha + tg\beta}$
Сократим на $(tg\alpha + tg\beta)$ (при условии, что данное выражение не равно нулю и все тангенсы и котангенсы определены):
$= tg\alpha \ tg\beta$
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.