Номер 4.88, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.88. Докажите тождества:

1) $ (ctg\alpha - cos\alpha)(sin\alpha + tg\alpha) = (1 + cos\alpha)(1 - sin\alpha) $

2) $ 1 + cos\alpha - sin\alpha - ctg\alpha = (1 - ctg\alpha)(1 - sin\alpha) $

1)

Для доказательства тождества $(\text{ctg}\,\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \text{tg}\,\alpha) = (1 + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha)$ преобразуем его левую часть.

Используем определения тангенса и котангенса: $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \cos\alpha)(\sin\alpha + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$

Вынесем общие множители за скобки в каждом из выражений в скобках. В первой скобке вынесем $\cos\alpha$, во второй — $\sin\alpha$:

$\cos\alpha(\frac{1}{\sin\alpha} - 1) \cdot \sin\alpha(1 + \frac{1}{\cos\alpha})$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$\cos\alpha(\frac{1 - \sin\alpha}{\sin\alpha}) \cdot \sin\alpha(\frac{\cos\alpha + 1}{\cos\alpha})$

Теперь перемножим полученные дроби и множители:

$\frac{\cos\alpha \cdot (1 - \sin\alpha) \cdot \sin\alpha \cdot (1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}$

Сократим дробь на $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$, что необходимо для существования $\text{tg}\,\alpha$ и $\text{ctg}\,\alpha$):

$(1 - \sin\alpha)(1 + \cos\alpha)$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Таким образом, левая часть равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $1 + \cos\alpha - \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha = (1 - \text{ctg}\,\alpha)(1 - \sin\alpha)$ преобразуем его правую часть.

Раскроем скобки в правой части выражения:

$(1 - \text{ctg}\,\alpha)(1 - \sin\alpha) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha \cdot 1 + \text{ctg}\,\alpha \cdot \sin\alpha$

$= 1 - \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha \cdot \sin\alpha$

Теперь используем определение котангенса $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и подставим его в последнее слагаемое:

$1 - \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha$

Сократим $\sin\alpha$ в последнем слагаемом:

$1 - \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha + \cos\alpha$

Перегруппируем слагаемые, чтобы получить вид левой части тождества:

$1 + \cos\alpha - \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha$

Полученное выражение совпадает с левой частью исходного тождества. Таким образом, правая часть равна левой.

Ответ: Тождество доказано.