Номер 4.90, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.90. Найдите значения выражений, если $\text{ctg}\alpha = -2$:

1) $\frac{2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha}{5 \sin \alpha - \cos \alpha}$;

2) $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$;

3) $\frac{\cos \alpha + 2 \sin \alpha}{\sin^3 \alpha - 2 \cos^3 \alpha}$;

4) $\frac{(\sin \alpha + 3 \cos \alpha) \operatorname{tg}^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$.

1) Исходное выражение: $\frac{2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha}{5 \sin \alpha - \cos \alpha}$.Так как по условию $\ctg \alpha = -2$, это означает, что $\sin \alpha \neq 0$. Мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на $\sin \alpha$:$\frac{2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha}{5 \sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{\frac{2 \sin \alpha}{\sin \alpha} + \frac{3 \cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{5 \sin \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{2 + 3 \ctg \alpha}{5 - \ctg \alpha}$.Подставим значение $\ctg \alpha = -2$ в полученное выражение:$\frac{2 + 3(-2)}{5 - (-2)} = \frac{2 - 6}{5 + 2} = -\frac{4}{7}$.
Ответ: $-\frac{4}{7}$.

2) Исходное выражение: $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$.Это однородное тригонометрическое выражение второй степени. Разделим числитель и знаменатель на $\sin^2 \alpha$ (так как $\sin \alpha \neq 0$):$\frac{\frac{2 \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{7 \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{3 \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{2 \ctg^2 \alpha - 7}{3 \ctg^2 \alpha + 4 \ctg \alpha}$.Подставим значение $\ctg \alpha = -2$:$\frac{2(-2)^2 - 7}{3(-2)^2 + 4(-2)} = \frac{2 \cdot 4 - 7}{3 \cdot 4 - 8} = \frac{8 - 7}{12 - 8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Исходное выражение: $\frac{\cos \alpha + 2 \sin \alpha}{\sin^3 \alpha - 2 \cos^3 \alpha}$.Из условия $\ctg \alpha = -2$ следует, что $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -2$, откуда $\cos \alpha = -2 \sin \alpha$.Подставим это соотношение в числитель дроби:$\cos \alpha + 2 \sin \alpha = (-2 \sin \alpha) + 2 \sin \alpha = 0$.Проверим знаменатель. Так как $\ctg \alpha$ определен, $\sin \alpha \neq 0$. Подставим $\cos \alpha = -2 \sin \alpha$ в знаменатель:$\sin^3 \alpha - 2 \cos^3 \alpha = \sin^3 \alpha - 2(-2 \sin \alpha)^3 = \sin^3 \alpha - 2(-8 \sin^3 \alpha) = \sin^3 \alpha + 16 \sin^3 \alpha = 17 \sin^3 \alpha$.Поскольку $\sin \alpha \neq 0$, знаменатель $17 \sin^3 \alpha \neq 0$.Так как числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, значение всего выражения равно нулю.
Ответ: $0$.

4) Исходное выражение: $\frac{(\sin \alpha + 3 \cos \alpha) \tg^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$.Сначала найдем $\tg \alpha$ и $\tg^2 \alpha$:$\tg \alpha = \frac{1}{\ctg \alpha} = \frac{1}{-2} = -0.5$.$\tg^2 \alpha = (-0.5)^2 = 0.25 = \frac{1}{4}$.Преобразуем дробь в выражении, представив его как произведение: $\frac{\sin \alpha + 3 \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} \cdot \tg^2 \alpha$.Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin \alpha$ (так как $\sin \alpha \neq 0$):$\frac{\sin \alpha + 3 \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{1 + 3 \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{1 - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{1 + 3 \ctg \alpha}{1 - \ctg \alpha}$.Подставим $\ctg \alpha = -2$:$\frac{1 + 3(-2)}{1 - (-2)} = \frac{1 - 6}{1 + 2} = -\frac{5}{3}$.Теперь вычислим значение исходного выражения:$(-\frac{5}{3}) \cdot \tg^2 \alpha = (-\frac{5}{3}) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{5}{12}$.
Ответ: $-\frac{5}{12}$.