Номер 4.84, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.84. Вычислите:

1) $1+\sin \frac{\pi}{6}+\sin ^{2} \frac{\pi}{6}+\sin ^{3} \frac{\pi}{6}$;

2) $1-\cos \frac{\pi}{4}+\cos ^{2} \frac{\pi}{4}-\cos ^{3} \frac{\pi}{4}$;

3) $1-\operatorname{tg} \frac{\pi}{6}+\operatorname{tg}^{2} \frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}^{3} \frac{\pi}{6}$;

4) $1+\cos \frac{\pi}{6}+\cos ^{2} \frac{\pi}{6}+\cos ^{3} \frac{\pi}{6}$.

1) $1 + \sin\frac{\pi}{6} + \sin^2\frac{\pi}{6} + \sin^3\frac{\pi}{6}$

Для вычисления данного выражения, в первую очередь найдем значение $\sin\frac{\pi}{6}$.
Известно, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ (или 30°) равно $\frac{1}{2}$.
$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$1 + \sin\frac{\pi}{6} + \sin^2\frac{\pi}{6} + \sin^3\frac{\pi}{6} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3$
Вычислим степени:
$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$
Чтобы сложить дроби, приведем все слагаемые к общему знаменателю, который равен 8:
$= \frac{8}{8} + \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8+4+2+1}{8} = \frac{15}{8}$.
Ответ: $\frac{15}{8}$.

2) $1 - \cos\frac{\pi}{4} + \cos^2\frac{\pi}{4} - \cos^3\frac{\pi}{4}$

Найдем значение $\cos\frac{\pi}{4}$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ (или 45°) равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим это значение в выражение:
$1 - \cos\frac{\pi}{4} + \cos^2\frac{\pi}{4} - \cos^3\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3$
Вычислим степени:
$= 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{4} - \frac{2\sqrt{2}}{8}$
Упростим дроби:
$= 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}$
Сгруппируем рациональные и иррациональные слагаемые:
$= \left(1 + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$
Выполним сложение в каждой группе, приведя к общему знаменателю:
$= \frac{3}{2} - \left(\frac{2\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{4}$
Приведем к общему знаменателю 4:
$= \frac{6}{4} - \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{4}$.
Можно вынести общий множитель 3 за скобки: $\frac{3(2 - \sqrt{2})}{4}$.
Ответ: $\frac{6 - 3\sqrt{2}}{4}$.

3) $1 - \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} + \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}^3\frac{\pi}{6}$

Найдем значение $\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}$.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ или $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Подставим это значение в выражение:
$1 - \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} + \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}^3\frac{\pi}{6} = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3$
Вычислим степени:
$= 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3\sqrt{3}}$
Сгруппируем рациональные и иррациональные слагаемые:
$= \left(1 + \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}}\right)$
Выполним сложение в каждой группе:
$= \frac{4}{3} - \left(\frac{3}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3} - \frac{4}{3\sqrt{3}}$
Вынесем общий множитель $\frac{4}{3}$ за скобки:
$= \frac{4}{3}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3}\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$= \frac{4(\sqrt{3}-1)\sqrt{3}}{3\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{4(3-\sqrt{3})}{3 \cdot 3} = \frac{4(3-\sqrt{3})}{9}$.
Ответ: $\frac{4(3-\sqrt{3})}{9}$.

4) $1 + \cos\frac{\pi}{6} + \cos^2\frac{\pi}{6} + \cos^3\frac{\pi}{6}$

Найдем значение $\cos\frac{\pi}{6}$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим это значение в выражение:
$1 + \cos\frac{\pi}{6} + \cos^2\frac{\pi}{6} + \cos^3\frac{\pi}{6} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3$
Вычислим степени:
$= 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{8}$
Сгруппируем рациональные и иррациональные слагаемые:
$= \left(1 + \frac{3}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{8}\right)$
Выполним сложение в каждой группе, приведя к общему знаменателю:
$= \left(\frac{4}{4} + \frac{3}{4}\right) + \left(\frac{4\sqrt{3}}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{7}{4} + \frac{7\sqrt{3}}{8}$
Приведем к общему знаменателю 8:
$= \frac{14}{8} + \frac{7\sqrt{3}}{8} = \frac{14 + 7\sqrt{3}}{8}$.
Можно вынести общий множитель 7 за скобки: $\frac{7(2 + \sqrt{3})}{8}$.
Ответ: $\frac{14 + 7\sqrt{3}}{8}$.