Номер 4.79, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.79. Преобразуйте выражения:

1) $\text{tg}(-\alpha) \cos\alpha+\sin\alpha;$

2) $\cos^2\alpha \text{tg}^2(-\alpha)-1;$

3) $\frac{\text{ctg}(-\beta)\sin\beta}{\cos\beta};$

4) $\frac{1 - \text{tg}(-x)}{\sin x + \cos(-x)};$

5) $\text{ctg}\alpha \sin(-\alpha)-\cos(-\alpha);$

6) $\text{tg}(-u)\text{ctg}u+\sin^2u;$

7) $\frac{1 - \sin^2(-y)}{\cos y};$

8) $\frac{\text{tg}(-x) + 1}{1 - \text{ctg}x}.$

1) Для преобразования выражения $tg(-\alpha) \cos\alpha + \sin\alpha$ используем свойство нечетности тангенса: $tg(-\alpha) = -tg\alpha$. Подставим это в исходное выражение: $-tg\alpha \cos\alpha + \sin\alpha$. Далее, используем определение тангенса $tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Получаем: $-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha + \sin\alpha$. Сокращая $\cos\alpha$, имеем: $-\sin\alpha + \sin\alpha = 0$.
Ответ: $0$.

2) Для выражения $\cos^2\alpha \ tg^2(-\alpha) - 1$ используем свойство нечетности тангенса $tg(-\alpha) = -tg\alpha$. Так как тангенс возводится в квадрат, знак минус исчезает: $tg^2(-\alpha) = (-tg\alpha)^2 = tg^2\alpha$. Выражение принимает вид: $\cos^2\alpha \ tg^2\alpha - 1$. Подставим определение тангенса $tg^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$: $\cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - 1$. После сокращения $\cos^2\alpha$ получаем $\sin^2\alpha - 1$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$.
Ответ: $-\cos^2\alpha$.

3) В выражении $\frac{ctg(-\beta)\sin\beta}{\cos\beta}$ используем свойство нечетности котангенса: $ctg(-\beta) = -ctg\beta$. Получаем: $\frac{-ctg\beta\sin\beta}{\cos\beta}$. Подставим определение котангенса $ctg\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta}$: $\frac{-\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\sin\beta}{\cos\beta}$. Сократив $\sin\beta$ в числителе, получим: $\frac{-\cos\beta}{\cos\beta} = -1$.
Ответ: $-1$.

4) В выражении $\frac{1-tg(-x)}{\sin x+\cos(-x)}$ используем свойства четности и нечетности функций: тангенс — нечетная функция ($tg(-x)=-tgx$), а косинус — четная ($\cos(-x)=\cos x$). Подставляем: $\frac{1-(-tgx)}{\sin x+\cos x} = \frac{1+tgx}{\sin x+\cos x}$. Заменим $tgx$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$: $\frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x+\cos x} = \frac{\frac{\cos x+\sin x}{\cos x}}{\sin x+\cos x}$. Упрощая дробь, получаем: $\frac{\cos x+\sin x}{\cos x(\sin x+\cos x)} = \frac{1}{\cos x}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos x}$.

5) В выражении $ctg\alpha \sin(-\alpha) - \cos(-\alpha)$ используем свойства: $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ (нечетная) и $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (четная). Получаем: $ctg\alpha(-\sin\alpha) - \cos\alpha = -ctg\alpha\sin\alpha - \cos\alpha$. Заменим $ctg\alpha$ на $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$: $-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\sin\alpha - \cos\alpha$. Сократив $\sin\alpha$, имеем: $-\cos\alpha - \cos\alpha = -2\cos\alpha$.
Ответ: $-2\cos\alpha$.

6) В выражении $tg(-u)ctgu + \sin^2u$ используем свойство нечетности тангенса $tg(-u)=-tgu$: $-tgu \cdot ctgu + \sin^2u$. Произведение тангенса и котангенса одного угла равно единице: $tgu \cdot ctgu = 1$. Таким образом, выражение становится равным $-1 + \sin^2u$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2u + \cos^2u = 1$ следует, что $\sin^2u - 1 = -\cos^2u$.
Ответ: $-\cos^2u$.

7) Для выражения $\frac{1-\sin^2(-y)}{\cos y}$ используем свойство нечетности синуса $\sin(-y)=-\sin y$. Тогда $\sin^2(-y) = (-\sin y)^2 = \sin^2y$. Выражение принимает вид: $\frac{1-\sin^2y}{\cos y}$. По основному тригонометрическому тождеству $1-\sin^2y = \cos^2y$. Подставляем: $\frac{\cos^2y}{\cos y}$. Сокращая $\cos y$, получаем $\cos y$.
Ответ: $\cos y$.

8) В выражении $\frac{tg(-x)+1}{1-ctgx}$ заменим $tg(-x)$ на $-tgx$: $\frac{-tgx+1}{1-ctgx} = \frac{1-tgx}{1-ctgx}$. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\frac{1-\frac{\sin x}{\cos x}}{1-\frac{\cos x}{\sin x}}$. Приведем к общему знаменателю в числителе и знаменателе дроби: $\frac{\frac{\cos x-\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}}$. Выполним деление дробей: $\frac{\cos x-\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\sin x-\cos x}$. Заметим, что $\sin x-\cos x = -(\cos x-\sin x)$. Получаем: $\frac{\cos x-\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{-(\cos x-\sin x)}$. Сократив $(\cos x-\sin x)$, получим $-\frac{\sin x}{\cos x}$, что равно $-tgx$.
Ответ: $-tgx$.