Номер 4.72, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.72. Упростите выражения:

1) $ ( \sin(\pi + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) )^2 + ( \cos(2\pi - \alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) )^2; $

2) $ ( \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) )^2 - ( \text{ctg}(\pi + \alpha) + \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) )^2; $

3) $ \sin 160^\circ \cos 110^\circ + \sin 250^\circ \cos 340^\circ + \text{tg} 110^\circ \text{tg} 340^\circ; $

4) $ \text{tg} 18^\circ \text{tg} 288^\circ + \sin 32^\circ \sin 148^\circ - \sin 302^\circ \sin 122^\circ. $

1) Для упрощения этого выражения применим формулы приведения к каждому из тригонометрических членов.

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ (поскольку угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен).
$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$ (поскольку угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен, а функция меняется на кофункцию).
$\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$ (поскольку угол $2\pi - \alpha$ находится в IV четверти, где косинус положителен).
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$ (поскольку угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен, а функция меняется на кофункцию).

Подставим полученные выражения в исходное:

$(\sin(\pi + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2 + (\cos(2\pi - \alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 = (-\sin\alpha + (-\sin\alpha))^2 + (\cos\alpha - (-\cos\alpha))^2 = (-2\sin\alpha)^2 + (2\cos\alpha)^2$

Возводим в квадрат и упрощаем:

$4\sin^2\alpha + 4\cos^2\alpha = 4(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$4 \cdot 1 = 4$

Ответ: 4

2) Упростим выражение, используя формулы приведения.

$\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}\alpha$ (угол в I четверти, функция меняется на кофункцию).
$\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (угол во II четверти, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}\alpha$ (угол в III четверти, котангенс положителен).
$\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (угол в IV четверти, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Подставляем в исходное выражение:

$(\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2 - (\text{ctg}(\pi + \alpha) + \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha))^2 = (\text{ctg}\alpha - (-\text{tg}\alpha))^2 - (\text{ctg}\alpha + (-\text{tg}\alpha))^2 = (\text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha)^2 - (\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$. В нашем случае $a = \text{ctg}\alpha$ и $b = \text{tg}\alpha$.

Получаем: $4 \cdot \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha$.

Так как $\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1$, выражение равно:

$4 \cdot 1 = 4$

Ответ: 4

3) Для упрощения приведем все функции к функциям острого угла, используя формулы приведения.

$\sin160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin20^\circ$
$\cos110^\circ = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin20^\circ$
$\sin250^\circ = \sin(270^\circ - 20^\circ) = -\cos20^\circ$
$\cos340^\circ = \cos(360^\circ - 20^\circ) = \cos20^\circ$
$\text{tg}110^\circ = \text{tg}(90^\circ + 20^\circ) = -\text{ctg}20^\circ$
$\text{tg}340^\circ = \text{tg}(360^\circ - 20^\circ) = -\text{tg}20^\circ$

Подставляем эти значения в выражение:

$\sin160^\circ\cos110^\circ + \sin250^\circ\cos340^\circ + \text{tg}110^\circ\text{tg}340^\circ = (\sin20^\circ)(-\sin20^\circ) + (-\cos20^\circ)(\cos20^\circ) + (-\text{ctg}20^\circ)(-\text{tg}20^\circ)$

Упрощаем:

$-\sin^2 20^\circ - \cos^2 20^\circ + \text{ctg}20^\circ\text{tg}20^\circ$

Группируем первые два слагаемых и используем тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и $\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1$:

$-(\sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ) + 1 = -1 + 1 = 0$

Ответ: 0

4) Упростим выражение, применяя формулы приведения.

$\text{tg}288^\circ = \text{tg}(270^\circ + 18^\circ) = -\text{ctg}18^\circ$
$\sin148^\circ = \sin(180^\circ - 32^\circ) = \sin32^\circ$
$\sin302^\circ = \sin(270^\circ + 32^\circ) = -\cos32^\circ$
$\sin122^\circ = \sin(90^\circ + 32^\circ) = \cos32^\circ$

Подставим преобразованные функции в исходное выражение:

$\text{tg}18^\circ\text{tg}288^\circ + \sin32^\circ\sin148^\circ - \sin302^\circ\sin122^\circ = \text{tg}18^\circ(-\text{ctg}18^\circ) + \sin32^\circ(\sin32^\circ) - (-\cos32^\circ)(\cos32^\circ)$

Выполним умножение:

$-\text{tg}18^\circ\text{ctg}18^\circ + \sin^2 32^\circ + \cos^2 32^\circ$

Используем тождества $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$ и $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$-1 + 1 = 0$

Ответ: 0