Номер 4.67, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.67. Найдите значение $ \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) $, если $ \text{ctg}\alpha=\frac{10}{11} $.

Для того чтобы найти значение выражения $ctg\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$, воспользуемся формулами приведения. Эти формулы позволяют упрощать тригонометрические выражения.

Правило применения формул приведения состоит из двух шагов:

1. Определение итоговой функции. Если в аргументе содержится угол $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (то есть $\frac{n\pi}{2}$ при нечетном $n$), то название функции меняется на "кофункцию": синус на косинус, тангенс на котангенс, и наоборот. В нашем случае, так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $ctg$ (котангенс) меняется на $tg$ (тангенс).

2. Определение знака. Знак перед новой функцией определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится угол. Будем считать $\alpha$ малым острым углом. Угол $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в IV координатной четверти. В IV четверти котангенс отрицателен, так как $ctg(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$, а в этой четверти косинус положителен, а синус отрицателен. Следовательно, перед полученной функцией $tg(\alpha)$ нужно поставить знак «минус».

Таким образом, мы получаем тождество:$ctg\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -tg(\alpha)$.

Теперь, когда мы упростили выражение, нам нужно найти значение $tg(\alpha)$. По условию задачи дано, что $ctg(\alpha) = \frac{10}{11}$.

Тангенс и котангенс одного и того же угла связаны соотношением взаимной обратности:$tg(\alpha) = \frac{1}{ctg(\alpha)}$.

Подставим известное значение $ctg(\alpha)$ в эту формулу, чтобы найти $tg(\alpha)$:$tg(\alpha) = \frac{1}{\frac{10}{11}} = \frac{11}{10}$.

Наконец, вернемся к нашему выражению и подставим найденное значение $tg(\alpha)$:$ctg\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -tg(\alpha) = -\frac{11}{10}$.

Ответ: $-\frac{11}{10}$.