Страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.64. Найдите значения sin$\alpha$, cos$\alpha$, tg$\alpha$ и ctg$\alpha$, если:

1) $\alpha = \frac{3\pi}{2}$;

2) $\alpha = \frac{3\pi}{4}$;

3) $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.

1) Если $ \alpha = \frac{3\pi}{2} $, то для нахождения значений тригонометрических функций воспользуемся единичной окружностью. Углу $ \frac{3\pi}{2} $ на единичной окружности соответствует точка с координатами $ (0, -1) $.

Синус угла равен ординате (координате y) этой точки:
$ \sin{\frac{3\pi}{2}} = -1 $.

Косинус угла равен абсциссе (координате x) этой точки:
$ \cos{\frac{3\pi}{2}} = 0 $.

Тангенс (tg) вычисляется по формуле $ \tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} $:
$ \tan{\frac{3\pi}{2}} = \frac{-1}{0} $. Так как деление на ноль невозможно, значение тангенса для данного угла не определено.

Котангенс (ctg) вычисляется по формуле $ \cot{\alpha} = \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} $:
$ \cot{\frac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0 $.

Ответ: $ \sin{\frac{3\pi}{2}} = -1 $, $ \cos{\frac{3\pi}{2}} = 0 $, $ \tan{\frac{3\pi}{2}} $ не существует, $ \cot{\frac{3\pi}{2}} = 0 $.

2) Если $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $, то для нахождения значений тригонометрических функций используем формулы приведения. Угол $ \frac{3\pi}{4} $ находится во второй координатной четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi $). В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Представим угол как $ \frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} $ и используем табличные значения для угла $ \frac{\pi}{4} $.
$ \sin{\frac{3\pi}{4}} = \sin{(\pi - \frac{\pi}{4})} = \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \cos{\frac{3\pi}{4}} = \cos{(\pi - \frac{\pi}{4})} = -\cos{\frac{\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \tan{\frac{3\pi}{4}} = \frac{\sin{\frac{3\pi}{4}}}{\cos{\frac{3\pi}{4}}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 $.

$ \cot{\frac{3\pi}{4}} = \frac{\cos{\frac{3\pi}{4}}}{\sin{\frac{3\pi}{4}}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 $.

Ответ: $ \sin{\frac{3\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos{\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \tan{\frac{3\pi}{4}} = -1 $, $ \cot{\frac{3\pi}{4}} = -1 $.

3) Если $ \alpha = \frac{5\pi}{6} $, также воспользуемся формулами приведения. Угол $ \frac{5\pi}{6} $ находится во второй координатной четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi $). В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Представим угол как $ \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} $ и используем табличные значения для угла $ \frac{\pi}{6} $.
$ \sin{\frac{5\pi}{6}} = \sin{(\pi - \frac{\pi}{6})} = \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} $.

$ \cos{\frac{5\pi}{6}} = \cos{(\pi - \frac{\pi}{6})} = -\cos{\frac{\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \tan{\frac{5\pi}{6}} = \frac{\sin{\frac{5\pi}{6}}}{\cos{\frac{5\pi}{6}}} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

$ \cot{\frac{5\pi}{6}} = \frac{\cos{\frac{5\pi}{6}}}{\sin{\frac{5\pi}{6}}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} $.

Ответ: $ \sin{\frac{5\pi}{6}} = \frac{1}{2} $, $ \cos{\frac{5\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \tan{\frac{5\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $, $ \cot{\frac{5\pi}{6}} = -\sqrt{3} $.

4.65. Найдите значения выражений:

1) $\sin 240^\circ$;

2) $\cos(-210^\circ)$;

3) $\cos \frac{7\pi}{6}$;

4) $\cos \frac{4\pi}{3}$.

3) ▲ $\cos \frac{7\pi}{6} = \cos \left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ■

1) Для нахождения значения $\sin240^\circ$ воспользуемся формулами приведения. Угол $240^\circ$ находится в третьей координатной четверти, где значения синуса отрицательны. Представим $240^\circ$ в виде суммы $180^\circ + 60^\circ$.

$\sin240^\circ = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin60^\circ$.

Так как значение $\sin60^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\sin240^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Для нахождения значения $\cos(-210^\circ)$ воспользуемся свойством чётности функции косинус, согласно которому $\cos(-x) = \cos(x)$.

$\cos(-210^\circ) = \cos(210^\circ)$.

Теперь используем формулы приведения. Угол $210^\circ$ находится в третьей координатной четверти, где значения косинуса отрицательны. Представим $210^\circ$ в виде суммы $180^\circ + 30^\circ$.

$\cos(210^\circ) = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos30^\circ$.

Так как значение $\cos30^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\cos(-210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Для нахождения значения $\cos\frac{7\pi}{6}$ используем формулы приведения. Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в третьей координатной четверти, где значения косинуса отрицательны. Представим угол $\frac{7\pi}{6}$ в виде суммы $\pi + \frac{\pi}{6}$.

$\cos\frac{7\pi}{6} = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6}$.

Так как значение $\cos\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Для нахождения значения $\cos\frac{4\pi}{3}$ используем формулы приведения. Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в третьей координатной четверти, где значения косинуса отрицательны. Представим угол $\frac{4\pi}{3}$ в виде суммы $\pi + \frac{\pi}{3}$.

$\cos\frac{4\pi}{3} = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3}$.

Так как значение $\cos\frac{\pi}{3}$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$, получаем:

$\cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

4.66. Найдите значения выражений:

1) $\operatorname{sin}330^{\circ}$;

2) $\operatorname{tg}300^{\circ}$;

3) $\operatorname{ctg}(-225^{\circ})$;

4) $\operatorname{sin}(-150^{\circ})$;

5) $\operatorname{tg}(-225^{\circ})$;

6) $\operatorname{cos}120^{\circ}$.

1) Для нахождения значения $\sin(330^\circ)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $330^\circ$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Представим $330^\circ$ как $360^\circ - 30^\circ$.
$\sin(330^\circ) = \sin(360^\circ - 30^\circ) = -\sin(30^\circ)$.
Так как значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\sin(330^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Для нахождения значения $\tg(300^\circ)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $300^\circ$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Представим $300^\circ$ как $360^\circ - 60^\circ$.
$\tg(300^\circ) = \tg(360^\circ - 60^\circ) = -\tg(60^\circ)$.
Так как значение $\tg(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:
$\tg(300^\circ) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

3) Для нахождения значения $\ctg(-225^\circ)$ сначала воспользуемся свойством нечетности котангенса: $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$.
$\ctg(-225^\circ) = -\ctg(225^\circ)$.
Теперь применим формулу приведения. Угол $225^\circ$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Представим $225^\circ$ как $180^\circ + 45^\circ$.
$-\ctg(225^\circ) = -\ctg(180^\circ + 45^\circ) = -\ctg(45^\circ)$.
Так как значение $\ctg(45^\circ) = 1$, получаем:
$\ctg(-225^\circ) = -1$.
Ответ: $-1$

4) Для нахождения значения $\sin(-150^\circ)$ воспользуемся свойством нечетности синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-150^\circ) = -\sin(150^\circ)$.
Теперь применим формулу приведения. Угол $150^\circ$ находится во II четверти, где синус положителен. Представим $150^\circ$ как $180^\circ - 30^\circ$.
$-\sin(150^\circ) = -\sin(180^\circ - 30^\circ) = -\sin(30^\circ)$.
Так как значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\sin(-150^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

5) Для нахождения значения $\tg(-225^\circ)$ сначала воспользуемся свойством нечетности тангенса: $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$.
$\tg(-225^\circ) = -\tg(225^\circ)$.
Теперь применим формулу приведения. Угол $225^\circ$ находится в III четверти, где тангенс положителен. Представим $225^\circ$ как $180^\circ + 45^\circ$.
$-\tg(225^\circ) = -\tg(180^\circ + 45^\circ) = -\tg(45^\circ)$.
Так как значение $\tg(45^\circ) = 1$, получаем:
$\tg(-225^\circ) = -1$.
Ответ: $-1$

6) Для нахождения значения $\cos(120^\circ)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $120^\circ$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Представим $120^\circ$ как $180^\circ - 60^\circ$.
$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ)$.
Так как значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

4.67. Найдите значение $ \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) $, если $ \text{ctg}\alpha=\frac{10}{11} $.

Для того чтобы найти значение выражения $ctg\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$, воспользуемся формулами приведения. Эти формулы позволяют упрощать тригонометрические выражения.

Правило применения формул приведения состоит из двух шагов:

1. Определение итоговой функции. Если в аргументе содержится угол $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (то есть $\frac{n\pi}{2}$ при нечетном $n$), то название функции меняется на "кофункцию": синус на косинус, тангенс на котангенс, и наоборот. В нашем случае, так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $ctg$ (котангенс) меняется на $tg$ (тангенс).

2. Определение знака. Знак перед новой функцией определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится угол. Будем считать $\alpha$ малым острым углом. Угол $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в IV координатной четверти. В IV четверти котангенс отрицателен, так как $ctg(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$, а в этой четверти косинус положителен, а синус отрицателен. Следовательно, перед полученной функцией $tg(\alpha)$ нужно поставить знак «минус».

Таким образом, мы получаем тождество:$ctg\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -tg(\alpha)$.

Теперь, когда мы упростили выражение, нам нужно найти значение $tg(\alpha)$. По условию задачи дано, что $ctg(\alpha) = \frac{10}{11}$.

Тангенс и котангенс одного и того же угла связаны соотношением взаимной обратности:$tg(\alpha) = \frac{1}{ctg(\alpha)}$.

Подставим известное значение $ctg(\alpha)$ в эту формулу, чтобы найти $tg(\alpha)$:$tg(\alpha) = \frac{1}{\frac{10}{11}} = \frac{11}{10}$.

Наконец, вернемся к нашему выражению и подставим найденное значение $tg(\alpha)$:$ctg\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -tg(\alpha) = -\frac{11}{10}$.

Ответ: $-\frac{11}{10}$.

4.68. Вычислите:

1) $3\sin\frac{\pi}{2}+4\cos\frac{2\pi}{3}+6\sin\frac{13\pi}{6}$;$

2) $2\text{tg}180^{\circ}-0,5\sin(-270^{\circ})+0,5\cos180^{\circ}$.$

1) $3\sin\frac{\pi}{2} + 4\cos\frac{2\pi}{3} + 6\sin\frac{13\pi}{6}$

Для решения данного выражения, вычислим значения каждой тригонометрической функции по отдельности, используя их свойства и табличные значения.

Значение $\sin\frac{\pi}{2}$ (синус 90°) равно 1.

Для вычисления $\cos\frac{2\pi}{3}$ (косинус 120°) можно использовать формулу приведения. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен:
$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

Для вычисления $\sin\frac{13\pi}{6}$ выделим целую часть оборотов ($2\pi$), так как синус является периодической функцией с периодом $2\pi$:
$\frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\sin\frac{13\pi}{6} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$3\sin\frac{\pi}{2} + 4\cos\frac{2\pi}{3} + 6\sin\frac{13\pi}{6} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-\frac{1}{2}) + 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 2 + 3 = 4$.

Ответ: 4.

2) $2\operatorname{tg}180^\circ - 0.5\sin(-270^\circ) + 0.5\cos180^\circ$

Вычислим значения тригонометрических функций для каждого слагаемого.

Значение тангенса для угла $180^\circ$ является табличным:
$\operatorname{tg}180^\circ = 0$.

Для вычисления синуса от отрицательного угла воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-270^\circ) = -\sin(270^\circ) = -(-1) = 1$.
Альтернативный способ: найти котерминальный угол, прибавив $360^\circ$.
$-270^\circ + 360^\circ = 90^\circ$.
$\sin(-270^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$.

Значение косинуса для угла $180^\circ$ является табличным:
$\cos180^\circ = -1$.

Подставим найденные значения в исходное выражение и произведем расчет:
$2\operatorname{tg}180^\circ - 0.5\sin(-270^\circ) + 0.5\cos180^\circ = 2 \cdot 0 - 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot (-1) = 0 - 0.5 - 0.5 = -1$.

Ответ: -1.

4.69. Найдите значение выражения $2\text{tg}1095^\circ + \text{ctg}975^\circ - \text{tg}(-195^\circ)$,

если $\text{tg}15^\circ = 2 - \sqrt{3}$.

Для нахождения значения выражения $2\operatorname{tg}1095^\circ + \operatorname{ctg}975^\circ - \operatorname{tg}(-195^\circ)$ воспользуемся свойствами периодичности и четности/нечетности тригонометрических функций. Период тангенса и котангенса равен $180^\circ$.

1. Упростим каждый член выражения, приведя углы к острому углу $15^\circ$.

Найдем значение для $\operatorname{tg}1095^\circ$:

Угол $1095^\circ$ можно представить как $1095^\circ = 6 \cdot 180^\circ + 15^\circ$.

Используя периодичность тангенса $\operatorname{tg}(\alpha + 180^\circ \cdot n) = \operatorname{tg}\alpha$ для целого $n$:

$\operatorname{tg}1095^\circ = \operatorname{tg}(6 \cdot 180^\circ + 15^\circ) = \operatorname{tg}15^\circ$.

Найдем значение для $\operatorname{ctg}975^\circ$:

Угол $975^\circ$ можно представить как $975^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 75^\circ$.

Используя периодичность котангенса $\operatorname{ctg}(\alpha + 180^\circ \cdot n) = \operatorname{ctg}\alpha$:

$\operatorname{ctg}975^\circ = \operatorname{ctg}(5 \cdot 180^\circ + 75^\circ) = \operatorname{ctg}75^\circ$.

Воспользуемся формулой приведения $\operatorname{ctg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{tg}\alpha$:

$\operatorname{ctg}75^\circ = \operatorname{ctg}(90^\circ - 15^\circ) = \operatorname{tg}15^\circ$.

Найдем значение для $\operatorname{tg}(-195^\circ)$:

Тангенс — нечетная функция, поэтому $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$:

$\operatorname{tg}(-195^\circ) = -\operatorname{tg}195^\circ$.

Угол $195^\circ$ можно представить как $195^\circ = 180^\circ + 15^\circ$.

Используя периодичность тангенса:

$\operatorname{tg}195^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ + 15^\circ) = \operatorname{tg}15^\circ$.

Следовательно, $\operatorname{tg}(-195^\circ) = -\operatorname{tg}15^\circ$.

2. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$2\operatorname{tg}1095^\circ + \operatorname{ctg}975^\circ - \operatorname{tg}(-195^\circ) = 2\operatorname{tg}15^\circ + \operatorname{tg}15^\circ - (-\operatorname{tg}15^\circ) = 2\operatorname{tg}15^\circ + \operatorname{tg}15^\circ + \operatorname{tg}15^\circ = 4\operatorname{tg}15^\circ$.

3. По условию задачи $\operatorname{tg}15^\circ = 2 - \sqrt{3}$. Подставим это значение в полученное выражение:

$4\operatorname{tg}15^\circ = 4(2 - \sqrt{3}) = 8 - 4\sqrt{3}$.

Ответ: $8 - 4\sqrt{3}$.

4.70. Докажите тождества, если $\alpha, \beta \text{ и } \gamma$ – углы треугольника:

1) $\sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\gamma}{2}$;

2) $\operatorname{tg} \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\gamma}{2}$.

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами одного треугольника, их сумма равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Это фундаментальное свойство треугольника, которое можно записать в виде формулы:

$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

Из этого соотношения мы можем выразить сумму двух углов через третий:

$ \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma $

Разделив обе части равенства на 2, получим ключевое соотношение для решения задачи:

$ \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} $

Теперь мы можем приступить к доказательству тождеств.

1) Для доказательства тождества $ \sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2} $ преобразуем его левую часть, используя выведенное выше соотношение $ \frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} $.

$ \sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \sin(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) $

Далее, воспользуемся формулой приведения для синуса, которая гласит, что $ \sin(90^\circ - x) = \cos(x) $. Применив эту формулу, получаем:

$ \sin(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \cos\frac{\gamma}{2} $

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2} $ доказано.

2) Равенство $ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2} $, представленное в задаче, не является тождеством для произвольного треугольника. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. Покажем, почему оно неверно.

Преобразуем левую часть, используя соотношение $ \frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} $:

$ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \text{tg}(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) $

По формуле приведения для тангенса, $ \text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg}(x) $. Следовательно:

$ \text{tg}(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \text{ctg}\frac{\gamma}{2} $

Тогда исходное равенство можно переписать в виде:

$ \text{ctg}\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\gamma}{2} $

Раскроем котангенс: $ \frac{\cos(\gamma/2)}{\sin(\gamma/2)} = \cos(\gamma/2) $.

Это равенство может выполняться, только если $ \cos(\gamma/2) = 0 $ или $ \sin(\gamma/2) = 1 $. Оба случая приводят к $ \gamma = 180^\circ $, что невозможно для угла треугольника. Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Наиболее вероятное правильное тождество, которое имелось в виду, это: $ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \text{ctg}\frac{\gamma}{2} $. Докажем его.

Начнем с левой части:

$ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \text{tg}(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) $

Используя формулу приведения $ \text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg}(x) $, мы немедленно получаем:

$ \text{tg}(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \text{ctg}\frac{\gamma}{2} $

Таким образом, левая часть равна правой, что и доказывает исправленное тождество.

Ответ: Исходное равенство $ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2} $ не является тождеством, так как в условии, вероятно, содержится опечатка. Правильное тождество $ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \text{ctg}\frac{\gamma}{2} $ доказано.

4.71. Упростите выражения:

1) $ \sin^2(\pi+\alpha) $;

2) $ \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) $;

3) $ \cos^2\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) $;

4) $ \sin^2(180^\circ-x)+\sin^2(270^\circ-x) $;

5) $ \cos^2(\pi+x)+\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right) $.

1) Для упрощения выражения $\sin^2(\pi+\alpha)$ воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$.

Угол $(\pi+\alpha)$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен, а так как к аргументу добавляется $\pi$, название функции не меняется.

Следовательно, $\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$.

Возводя в квадрат, получаем: $\sin^2(\pi+\alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$.

Ответ: $\sin^2\alpha$.

2) Для упрощения выражения $\text{tg}^2(\frac{3\pi}{2}+\alpha)$ воспользуемся формулой приведения для тангенса: $\text{tg}(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = -\text{ctg}\alpha$.

Угол $(\frac{3\pi}{2}+\alpha)$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен, а так как к аргументу добавляется $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (тангенс на котангенс).

Следовательно, $\text{tg}(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = -\text{ctg}\alpha$.

Возводя в квадрат, получаем: $\text{tg}^2(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = (-\text{ctg}\alpha)^2 = \text{ctg}^2\alpha$.

Ответ: $\text{ctg}^2\alpha$.

3) Для упрощения выражения $\cos^2(\frac{3\pi}{2}-\alpha)$ воспользуемся формулой приведения для косинуса: $\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -\sin\alpha$.

Угол $(\frac{3\pi}{2}-\alpha)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, а так как от аргумента отнимается $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (косинус на синус).

Следовательно, $\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -\sin\alpha$.

Возводя в квадрат, получаем: $\cos^2(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$.

Ответ: $\sin^2\alpha$.

4) Упростим выражение $\sin^2(180^\circ-x)+\sin^2(270^\circ-x)$, применив формулы приведения к каждому слагаемому.

Для первого слагаемого: $\sin(180^\circ-x) = \sin x$ (угол во второй четверти, синус положителен, функция не меняется).

Следовательно, $\sin^2(180^\circ-x) = \sin^2x$.

Для второго слагаемого: $\sin(270^\circ-x) = -\cos x$ (угол в третьей четверти, синус отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Следовательно, $\sin^2(270^\circ-x) = (-\cos x)^2 = \cos^2x$.

Складываем полученные выражения: $\sin^2x + \cos^2x$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем результат.

Ответ: 1.

5) Упростим выражение $\cos^2(\pi+x)+\cos^2(\frac{\pi}{2}+x)$, применив формулы приведения к каждому слагаемому.

Для первого слагаемого: $\cos(\pi+x) = -\cos x$ (угол в третьей четверти, косинус отрицателен, функция не меняется).

Следовательно, $\cos^2(\pi+x) = (-\cos x)^2 = \cos^2x$.

Для второго слагаемого: $\cos(\frac{\pi}{2}+x) = -\sin x$ (угол во второй четверти, косинус отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Следовательно, $\cos^2(\frac{\pi}{2}+x) = (-\sin x)^2 = \sin^2x$.

Складываем полученные выражения: $\cos^2x + \sin^2x$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2x + \sin^2x = 1$, получаем результат.

Ответ: 1.