Страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.86. Преобразуйте выражения:

1) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\operatorname{tg}(\pi-\alpha)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\sin(\pi-\alpha);$

2) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\operatorname{ctg}(\pi-\alpha)+\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\operatorname{tg}(2\pi-\alpha);$

3) $(\operatorname{ctg}(6,5\pi-\alpha)\cos(-\alpha)+\cos(\pi-\alpha))^2+2\sin^2(\pi-\alpha)\operatorname{ctg}(\alpha-\pi);$

4) $\left(\cos(2,5-\alpha)\operatorname{tg}(3\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{2}+\alpha\right)\right)^2+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right).$

1) Преобразуем выражение $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)tg(\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)\sin(\pi - \alpha)$.

Для этого воспользуемся формулами приведения, чтобы упростить каждый тригонометрический член:

• $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$, так как угол находится в IV четверти, где тангенс отрицателен, и функция меняется на кофункцию.

• $tg(\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$, так как угол находится во II четверти, где тангенс отрицателен, и функция не меняется.

• $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$, так как угол находится во II четверти, где косинус отрицателен, и функция меняется на кофункцию.

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, так как угол находится во II четверти, где синус положителен, и функция не меняется.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$(-ctg(\alpha)) \cdot (-tg(\alpha)) + (-\sin(\alpha)) \cdot \sin(\alpha)$

Упростим полученное выражение:

$ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) - \sin^2(\alpha)$

Зная, что $ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) = 1$, получаем:

$1 - \sin^2(\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, из которого следует, что $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$, окончательно получаем:

$\cos^2(\alpha)$

Ответ: $\cos^2(\alpha)$.

2) Преобразуем выражение $ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)ctg(\pi - \alpha) + ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)tg(2\pi - \alpha)$.

Применим формулы приведения к каждому члену:

• $ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$ (IV четверть, котангенс отрицателен, функция меняется).

• $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$ (II четверть, котангенс отрицателен, функция не меняется).

• $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$ (II четверть, котангенс отрицателен, функция меняется).

• $tg(2\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$ (IV четверть, тангенс отрицателен, функция не меняется).

Подставим упрощенные значения в выражение:

$(-tg(\alpha)) \cdot (-ctg(\alpha)) + (-tg(\alpha)) \cdot (-tg(\alpha))$

Выполним умножение:

$tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) + tg^2(\alpha)$

Так как $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$, выражение становится:

$1 + tg^2(\alpha)$

Используя тригонометрическое тождество $1 + tg^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$, получаем:

$\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.

3) Преобразуем выражение $(ctg(6,5\pi - \alpha)\cos(-\alpha) + \cos(\pi - \alpha))^2 + 2\sin^2(\pi - \alpha)ctg(\alpha - \pi)$.

Сначала упростим тригонометрические функции с помощью формул приведения и свойств четности/нечетности:

• $ctg(6,5\pi - \alpha) = ctg(\frac{13\pi}{2} - \alpha) = ctg(6\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$.

• $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ (косинус — четная функция).

• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.

• $ctg(\alpha - \pi) = ctg(-(\pi - \alpha)) = -ctg(\pi - \alpha) = -(-\ctg(\alpha)) = ctg(\alpha)$ (котангенс — нечетная функция).

Подставим упрощенные выражения:

$(tg(\alpha)\cos(\alpha) - \cos(\alpha))^2 + 2\sin^2(\alpha)ctg(\alpha)$

Теперь преобразуем части выражения. Вспомним, что $tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ и $ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$:

$(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\cos(\alpha) - \cos(\alpha))^2 + 2\sin^2(\alpha)\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

$(\sin(\alpha) - \cos(\alpha))^2 + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Раскроем скобки (квадрат разности):

$\sin^2(\alpha) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Сократим подобные члены $-2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ и $+2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$

По основному тригонометрическому тождеству это выражение равно 1.

Ответ: $1$.

4) Преобразуем выражение $(\cos(2,5\pi - \alpha)tg(3\pi + \alpha) + \sin(-\alpha)tg(\frac{5\pi}{2} + \alpha))^2 + tg(\alpha)tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$.

Предполагая, что $2,5$ в первом члене является коэффициентом при $\pi$, то есть $\cos(2,5\pi - \alpha)$, упростим каждый член:

• $\cos(2,5\pi - \alpha) = \cos(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$.

• $tg(3\pi + \alpha) = tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.

• $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (синус — нечетная функция).

• $tg(\frac{5\pi}{2} + \alpha) = tg(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.

• $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$(\sin(\alpha)tg(\alpha) + (-\sin(\alpha))(-ctg(\alpha)))^2 + tg(\alpha)(-ctg(\alpha))$

Упростим выражение в скобках и второе слагаемое:

$(\sin(\alpha)\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \sin(\alpha)\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)})^2 - tg(\alpha)ctg(\alpha)$

$(\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \cos(\alpha))^2 - 1$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$(\frac{\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)}{\cos(\alpha)})^2 - 1$

Используя тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем:

$(\frac{1}{\cos(\alpha)})^2 - 1 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} - 1$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 - \cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$

Из основного тригонометрического тождества $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$, следовательно:

$\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = tg^2(\alpha)$

Ответ: $tg^2(\alpha)$.

4.87. Избавьтесь от параметра t:

1) $\begin{cases} x = 5\cos t, \\ y = 5\sin t; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x = 3\cos t, \\ y = 5\sin t; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x = \sin t + \cos t, \\ y = \sin t \cos t. \end{cases}$

1)

Дана система параметрических уравнений: $ \begin{cases} x = 5 \cos t, \\ y = 5 \sin t. \end{cases} $

Чтобы избавиться от параметра $t$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$.

Из уравнений системы выразим $\cos t$ и $\sin t$:

$\cos t = \frac{x}{5}$

$\sin t = \frac{y}{5}$

Подставим эти выражения в тригонометрическое тождество:

$(\frac{x}{5})^2 + (\frac{y}{5})^2 = 1$

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{25} = 1$

Умножим обе части уравнения на 25:

$x^2 + y^2 = 25$

Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 5.

Ответ: $x^2 + y^2 = 25$

2)

Дана система параметрических уравнений: $ \begin{cases} x = 3 \cos t, \\ y = 5 \sin t. \end{cases} $

Так же, как и в предыдущем примере, используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$.

Выразим $\cos t$ и $\sin t$ из уравнений системы:

$\cos t = \frac{x}{3}$

$\sin t = \frac{y}{5}$

Подставим полученные выражения в тождество:

$(\frac{x}{3})^2 + (\frac{y}{5})^2 = 1$

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$

Это каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями $a=3$ и $b=5$.

Ответ: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$

3)

Дана система параметрических уравнений: $ \begin{cases} x = \sin t + \cos t, \\ y = \sin t \cos t. \end{cases} $

Для исключения параметра $t$ возведем первое уравнение в квадрат:

$x^2 = (\sin t + \cos t)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$x^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$x^2 = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t$

$x^2 = 1 + 2 \sin t \cos t$

Из второго уравнения системы нам известно, что $y = \sin t \cos t$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$x^2 = 1 + 2y$

Это уравнение, связывающее $x$ и $y$ без параметра $t$. Его можно также представить в виде $y = \frac{x^2 - 1}{2}$, что является уравнением параболы.

Ответ: $x^2 = 1 + 2y$

4.88. Докажите тождества:

1) $ (ctg\alpha - cos\alpha)(sin\alpha + tg\alpha) = (1 + cos\alpha)(1 - sin\alpha) $

2) $ 1 + cos\alpha - sin\alpha - ctg\alpha = (1 - ctg\alpha)(1 - sin\alpha) $

1)

Для доказательства тождества $(\text{ctg}\,\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \text{tg}\,\alpha) = (1 + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha)$ преобразуем его левую часть.

Используем определения тангенса и котангенса: $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \cos\alpha)(\sin\alpha + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$

Вынесем общие множители за скобки в каждом из выражений в скобках. В первой скобке вынесем $\cos\alpha$, во второй — $\sin\alpha$:

$\cos\alpha(\frac{1}{\sin\alpha} - 1) \cdot \sin\alpha(1 + \frac{1}{\cos\alpha})$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$\cos\alpha(\frac{1 - \sin\alpha}{\sin\alpha}) \cdot \sin\alpha(\frac{\cos\alpha + 1}{\cos\alpha})$

Теперь перемножим полученные дроби и множители:

$\frac{\cos\alpha \cdot (1 - \sin\alpha) \cdot \sin\alpha \cdot (1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}$

Сократим дробь на $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$, что необходимо для существования $\text{tg}\,\alpha$ и $\text{ctg}\,\alpha$):

$(1 - \sin\alpha)(1 + \cos\alpha)$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Таким образом, левая часть равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $1 + \cos\alpha - \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha = (1 - \text{ctg}\,\alpha)(1 - \sin\alpha)$ преобразуем его правую часть.

Раскроем скобки в правой части выражения:

$(1 - \text{ctg}\,\alpha)(1 - \sin\alpha) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha \cdot 1 + \text{ctg}\,\alpha \cdot \sin\alpha$

$= 1 - \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha \cdot \sin\alpha$

Теперь используем определение котангенса $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и подставим его в последнее слагаемое:

$1 - \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha$

Сократим $\sin\alpha$ в последнем слагаемом:

$1 - \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha + \cos\alpha$

Перегруппируем слагаемые, чтобы получить вид левой части тождества:

$1 + \cos\alpha - \sin\alpha - \text{ctg}\,\alpha$

Полученное выражение совпадает с левой частью исходного тождества. Таким образом, правая часть равна левой.

Ответ: Тождество доказано.

4.89. Найдите значения выражений, если $tg\alpha=2:$

1) $\frac{3 \sin \alpha - 5 \cos \alpha}{4 \sin \alpha + \cos \alpha}$;

2) $\frac{2 \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{3 \sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha}$;

3) $\frac{\sin^3 \alpha - 2 \cos^3 \alpha}{2 \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}$;

4) $\frac{\sin \alpha + 3 \cos \alpha}{(\sin \alpha - \cos \alpha) \operatorname{ctg}^2 \alpha}$

Для решения всех задач воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Поскольку $\text{tg}\alpha=2$, это означает, что $\cos\alpha \neq 0$, и мы можем делить на него выражения.

1) Найдем значение выражения $\frac{3\sin\alpha - 5\cos\alpha}{4\sin\alpha + \cos\alpha}$.

Чтобы выразить его через тангенс, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$:

$\frac{3\sin\alpha - 5\cos\alpha}{4\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\frac{3\sin\alpha - 5\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{4\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 5\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{4\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{3\text{tg}\alpha - 5}{4\text{tg}\alpha + 1}$

Теперь подставим заданное значение $\text{tg}\alpha=2$ в полученное выражение:

$\frac{3 \cdot 2 - 5}{4 \cdot 2 + 1} = \frac{6 - 5}{8 + 1} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

2) Найдем значение выражения $\frac{2\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}$.

Это однородное выражение второй степени. Разделим числитель и знаменатель на $\cos^2\alpha$:

$\frac{2\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha} = \frac{\frac{2\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{2\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{3\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 2\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{2\text{tg}^2\alpha - \text{tg}\alpha}{3\text{tg}^2\alpha + 2}$

Подставим $\text{tg}\alpha=2$:

$\frac{2 \cdot 2^2 - 2}{3 \cdot 2^2 + 2} = \frac{2 \cdot 4 - 2}{3 \cdot 4 + 2} = \frac{8 - 2}{12 + 2} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$

3) Найдем значение выражения $\frac{\sin^3\alpha - 2\cos^3\alpha}{2\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}$.

Это однородное выражение третьей степени. Разделим числитель и знаменатель на $\cos^3\alpha$:

$\frac{\sin^3\alpha - 2\cos^3\alpha}{2\sin^3\alpha + \cos^3\alpha} = \frac{\frac{\sin^3\alpha - 2\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{2\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} - 2\frac{\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}}{2\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} + \frac{\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{\text{tg}^3\alpha - 2}{2\text{tg}^3\alpha + 1}$

Подставим $\text{tg}\alpha=2$:

$\frac{2^3 - 2}{2 \cdot 2^3 + 1} = \frac{8 - 2}{2 \cdot 8 + 1} = \frac{6}{16 + 1} = \frac{6}{17}$

Ответ: $\frac{6}{17}$

4) Найдем значение выражения $\frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)\text{ctg}^2\alpha}$.

Сначала найдем значение котангенса, зная, что $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$.

При $\text{tg}\alpha=2$, получаем $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{2}$. Тогда $\text{ctg}^2\alpha = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha) \cdot \frac{1}{4}} = \frac{4(\sin\alpha + 3\cos\alpha)}{\sin\alpha - \cos\alpha}$

Теперь, как и в первом пункте, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$:

$\frac{4(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\cos\alpha}{\cos\alpha})}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{4(\text{tg}\alpha + 3)}{\text{tg}\alpha - 1}$

Подставим $\text{tg}\alpha=2$:

$\frac{4(2 + 3)}{2 - 1} = \frac{4 \cdot 5}{1} = 20$

Ответ: $20$