Страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.101. Докажите тождества:

1) $\sin(30^\circ+x)\cos x-\cos(30^\circ+x)\sin x=0,5;$

2) $\cos(60^\circ+x)\cos x+\sin(60^\circ+x)\sin x=0,5;$

3) $\frac{0,5 \sin 20^\circ - \cos 10^\circ}{\sin 3^\circ \sin 17^\circ - \cos 3^\circ \cos 17^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $\frac{\sin^2 (x + y) + \sin^2 (x - y)}{2 \cos^2 x \cos^2 y} = \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg}^2 y;$

5) $\frac{\operatorname{tg}(x-y)+\operatorname{tg}y}{\operatorname{tg}(x+y)-\operatorname{tg}y} = \frac{\cos(x+y)}{\cos(x-y)}.$

1) Для доказательства используем формулу синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.
В левой части тождества $ \sin(30^\circ+x)\cos x - \cos(30^\circ+x)\sin x $ примем $ \alpha = 30^\circ+x $ и $ \beta = x $.
Тогда выражение преобразуется в $ \sin((30^\circ+x) - x) $.
Упрощаем выражение в скобках: $ \sin(30^\circ) $.
Значение синуса 30 градусов равно $ \frac{1}{2} $, что равно 0,5.
Таким образом, $ \sin(30^\circ+x)\cos x - \cos(30^\circ+x)\sin x = \sin(30^\circ) = 0,5 $.
Тождество доказано.
Ответ: $ \sin(30^\circ+x)\cos x - \cos(30^\circ+x)\sin x = 0,5 $.

2) Для доказательства используем формулу косинуса разности углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.
В левой части тождества $ \cos(60^\circ+x)\cos x + \sin(60^\circ+x)\sin x $ примем $ \alpha = 60^\circ+x $ и $ \beta = x $.
Тогда выражение преобразуется в $ \cos((60^\circ+x) - x) $.
Упрощаем выражение в скобках: $ \cos(60^\circ) $.
Значение косинуса 60 градусов равно $ \frac{1}{2} $, что равно 0,5.
Таким образом, $ \cos(60^\circ+x)\cos x + \sin(60^\circ+x)\sin x = \cos(60^\circ) = 0,5 $.
Тождество доказано.
Ответ: $ \cos(60^\circ+x)\cos x + \sin(60^\circ+x)\sin x = 0,5 $.

3) Преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $ 0,5 \sin 20^\circ - \cos 10^\circ $.
Представим $ \cos 10^\circ $ как косинус разности: $ \cos 10^\circ = \cos(30^\circ - 20^\circ) $.
Используем формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $:
$ \cos(30^\circ - 20^\circ) = \cos 30^\circ \cos 20^\circ + \sin 30^\circ \sin 20^\circ $.
Подставим известные значения $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin 30^\circ = 0,5 $:
$ \cos 10^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ + 0,5 \sin 20^\circ $.
Теперь подставим это выражение в числитель исходной дроби:
$ 0,5 \sin 20^\circ - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ + 0,5 \sin 20^\circ) = 0,5 \sin 20^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - 0,5 \sin 20^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ $.
Знаменатель: $ \sin 3^\circ \sin 17^\circ - \cos 3^\circ \cos 17^\circ $.
Вынесем минус за скобки: $ -(\cos 3^\circ \cos 17^\circ - \sin 3^\circ \sin 17^\circ) $.
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.
При $ \alpha = 3^\circ $ и $ \beta = 17^\circ $ получаем: $ -(\cos(3^\circ + 17^\circ)) = -\cos(20^\circ) $.
Дробь: Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$ \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ}{-\cos 20^\circ} $.
Сокращая $ -\cos 20^\circ $ (при условии, что $ \cos 20^\circ \neq 0 $), получаем $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Тождество доказано.
Ответ: $ \frac{0,5 \sin 20^\circ - \cos 10^\circ}{\sin 3^\circ \sin 17^\circ - \cos 3^\circ \cos 17^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

4) Преобразуем левую часть тождества.
Числитель: $ \sin^2(x+y) + \sin^2(x-y) $.
Используем формулы синуса суммы и разности:
$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $
Возводим оба выражения в квадрат и складываем:
$ \sin^2(x+y) = (\sin x \cos y + \cos x \sin y)^2 = \sin^2 x \cos^2 y + 2\sin x \cos y \cos x \sin y + \cos^2 x \sin^2 y $
$ \sin^2(x-y) = (\sin x \cos y - \cos x \sin y)^2 = \sin^2 x \cos^2 y - 2\sin x \cos y \cos x \sin y + \cos^2 x \sin^2 y $
$ \sin^2(x+y) + \sin^2(x-y) = 2(\sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y) $.
Левая часть: Подставим полученное выражение для числителя в левую часть исходного тождества:
$ \frac{2(\sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y)}{2\cos^2 x \cos^2 y} = \frac{\sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} $.
Разделим дробь на два слагаемых:
$ \frac{\sin^2 x \cos^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} + \frac{\cos^2 x \sin^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} $.
Сокращаем дроби и используем определение тангенса $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:
$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} = \text{tg}^2 x + \text{tg}^2 y $.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: $ \frac{\sin^2(x+y) + \sin^2(x-y)}{2\cos^2 x \cos^2 y} = \text{tg}^2 x + \text{tg}^2 y $.

5) Преобразуем левую часть тождества, выразив тангенсы через синусы и косинусы: $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
Числитель левой части:
$ \text{tg}(x-y) + \text{tg}y = \frac{\sin(x-y)}{\cos(x-y)} + \frac{\sin y}{\cos y} $.
Приводим к общему знаменателю:
$ \frac{\sin(x-y)\cos y + \cos(x-y)\sin y}{\cos(x-y)\cos y} $.
В числителе получилась формула синуса суммы $ \sin(\alpha+\beta) $ для $ \alpha = x-y $ и $ \beta = y $:
$ \frac{\sin((x-y)+y)}{\cos(x-y)\cos y} = \frac{\sin x}{\cos(x-y)\cos y} $.
Знаменатель левой части:
$ \text{tg}(x+y) - \text{tg}y = \frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)} - \frac{\sin y}{\cos y} $.
Приводим к общему знаменателю:
$ \frac{\sin(x+y)\cos y - \cos(x+y)\sin y}{\cos(x+y)\cos y} $.
В числителе получилась формула синуса разности $ \sin(\alpha-\beta) $ для $ \alpha = x+y $ и $ \beta = y $:
$ \frac{\sin((x+y)-y)}{\cos(x+y)\cos y} = \frac{\sin x}{\cos(x+y)\cos y} $.
Вся левая часть: Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$ \frac{\frac{\sin x}{\cos(x-y)\cos y}}{\frac{\sin x}{\cos(x+y)\cos y}} = \frac{\sin x}{\cos(x-y)\cos y} \cdot \frac{\cos(x+y)\cos y}{\sin x} $.
Сокращаем $ \sin x $ и $ \cos y $ (при условии, что они не равны нулю):
$ \frac{\cos(x+y)}{\cos(x-y)} $.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: $ \frac{\text{tg}(x-y) + \text{tg}y}{\text{tg}(x+y) - \text{tg}y} = \frac{\cos(x+y)}{\cos(x-y)} $.

4.102. Проверьте истинность равенств:

1) $\frac{\sin 24^\circ \cos 6^\circ - \sin 6^\circ \sin 66^\circ}{\sin 21^\circ \cos 39^\circ - \sin 39^\circ \cos 21^\circ} = -1;$

2) $\frac{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cos 100^\circ}{\sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 159^\circ \cos 99^\circ} = 1;$

3) $\frac{\cos 63^\circ \cos 3^\circ + \cos 87^\circ \cos 27^\circ}{\cos 132^\circ \cos 72^\circ - \cos 42^\circ \cos 18^\circ} = 1;$

4) $\frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 26^\circ}{\cos 71^\circ \cos 3^\circ + \cos 87^\circ \cos 19^\circ} = 1;$

5) $\frac{\cos 66^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 24^\circ}{\cos 65^\circ \cos 5^\circ - \cos 85^\circ \cos 25^\circ} = 1;$

6) $\frac{\cos 70^\circ \cos 10^\circ + \cos 80^\circ \cos 20^\circ}{\cos 68^\circ \cos 8^\circ + \cos 82^\circ \cos 22^\circ} = 1.$

1) Проверим равенство $ \frac{\sin 24^\circ \cos 6^\circ - \sin 6^\circ \sin 66^\circ}{\sin 21^\circ \cos 39^\circ - \sin 39^\circ \cos 21^\circ} = -1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулу приведения $ \sin 66^\circ = \sin(90^\circ - 24^\circ) = \cos 24^\circ $.

Числитель примет вид: $ \sin 24^\circ \cos 6^\circ - \sin 6^\circ \cos 24^\circ $.

Это выражение соответствует формуле синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен $ \sin(24^\circ - 6^\circ) = \sin 18^\circ $.

Преобразуем знаменатель. Выражение $ \sin 21^\circ \cos 39^\circ - \sin 39^\circ \cos 21^\circ $ также является формулой синуса разности.

Таким образом, знаменатель равен $ \sin(21^\circ - 39^\circ) = \sin(-18^\circ) $.

Используя свойство нечетности синуса, $ \sin(-18^\circ) = -\sin 18^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\sin 18^\circ}{-\sin 18^\circ} = -1 $.

Равенство истинно.

Ответ: Истинно.

2) Проверим равенство $ \frac{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cos 100^\circ}{\sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 159^\circ \cos 99^\circ} = 1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулы приведения: $ \cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ $ и $ \cos 100^\circ = \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ $.

Числитель примет вид: $ \sin 20^\circ \cos 10^\circ + (-\cos 20^\circ)(-\sin 10^\circ) = \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ $.

Это выражение соответствует формуле синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен $ \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin 30^\circ $.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения: $ \cos 159^\circ = \cos(180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ $ и $ \cos 99^\circ = \cos(90^\circ + 9^\circ) = -\sin 9^\circ $.

Знаменатель примет вид: $ \sin 21^\circ \cos 9^\circ + (-\cos 21^\circ)(-\sin 9^\circ) = \sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 21^\circ \sin 9^\circ $.

Это также формула синуса суммы, поэтому знаменатель равен $ \sin(21^\circ + 9^\circ) = \sin 30^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\sin 30^\circ}{\sin 30^\circ} = 1 $.

Равенство истинно.

Ответ: Истинно.

3) Проверим равенство $ \frac{\cos 63^\circ \cos 3^\circ + \cos 87^\circ \cos 27^\circ}{\cos 132^\circ \cos 72^\circ - \cos 42^\circ \cos 18^\circ} = 1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулы приведения: $ \cos 87^\circ = \cos(90^\circ - 3^\circ) = \sin 3^\circ $ и $ \cos 27^\circ = \cos(90^\circ - 63^\circ) = \sin 63^\circ $.

Числитель примет вид: $ \cos 63^\circ \cos 3^\circ + \sin 63^\circ \sin 3^\circ $.

Это выражение соответствует формуле косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен $ \cos(63^\circ - 3^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения: $ \cos 132^\circ = \cos(90^\circ + 42^\circ) = -\sin 42^\circ $ и $ \cos 72^\circ = \cos(90^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ $.

Знаменатель примет вид: $ (-\sin 42^\circ)(\sin 18^\circ) - \cos 42^\circ \cos 18^\circ = -(\cos 42^\circ \cos 18^\circ + \sin 42^\circ \sin 18^\circ) $.

Выражение в скобках является формулой косинуса разности, поэтому знаменатель равен $ -(\cos(42^\circ - 18^\circ)) = -\cos 24^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\cos 60^\circ}{-\cos 24^\circ} = \frac{1/2}{-\cos 24^\circ} \neq 1 $.

Равенство ложно.

Ответ: Ложно.

4) Проверим равенство $ \frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 26^\circ}{\cos 71^\circ \cos 3^\circ + \cos 87^\circ \cos 19^\circ} = 1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулы приведения: $ \cos 86^\circ = \cos(90^\circ - 4^\circ) = \sin 4^\circ $ и $ \cos 26^\circ = \cos(90^\circ - 64^\circ) = \sin 64^\circ $.

Числитель примет вид: $ \cos 64^\circ \cos 4^\circ - \sin 64^\circ \sin 4^\circ $.

Это выражение соответствует формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен $ \cos(64^\circ + 4^\circ) = \cos 68^\circ $.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения: $ \cos 87^\circ = \cos(90^\circ - 3^\circ) = \sin 3^\circ $ и $ \cos 19^\circ = \cos(90^\circ - 71^\circ) = \sin 71^\circ $.

Знаменатель примет вид: $ \cos 71^\circ \cos 3^\circ + \sin 71^\circ \sin 3^\circ $.

Это формула косинуса разности, поэтому знаменатель равен $ \cos(71^\circ - 3^\circ) = \cos 68^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\cos 68^\circ}{\cos 68^\circ} = 1 $.

Равенство истинно.

Ответ: Истинно.

5) Проверим равенство $ \frac{\cos 66^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 24^\circ}{\cos 65^\circ \cos 5^\circ - \cos 85^\circ \cos 25^\circ} = 1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулы приведения: $ \cos 86^\circ = \cos(90^\circ - 4^\circ) = \sin 4^\circ $ и $ \cos 24^\circ = \cos(90^\circ - 66^\circ) = \sin 66^\circ $.

Числитель примет вид: $ \cos 66^\circ \cos 4^\circ - \sin 66^\circ \sin 4^\circ $.

Это формула косинуса суммы, поэтому числитель равен $ \cos(66^\circ + 4^\circ) = \cos 70^\circ $.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения: $ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $ и $ \cos 25^\circ = \cos(90^\circ - 65^\circ) = \sin 65^\circ $.

Знаменатель примет вид: $ \cos 65^\circ \cos 5^\circ - \sin 65^\circ \sin 5^\circ $.

Это также формула косинуса суммы, поэтому знаменатель равен $ \cos(65^\circ + 5^\circ) = \cos 70^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\cos 70^\circ}{\cos 70^\circ} = 1 $.

Равенство истинно.

Ответ: Истинно.

6) Проверим равенство $ \frac{\cos 70^\circ \cos 10^\circ + \cos 80^\circ \cos 20^\circ}{\cos 68^\circ \cos 8^\circ + \cos 82^\circ \cos 22^\circ} = 1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулы приведения: $ \cos 80^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ $ и $ \cos 20^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ $.

Числитель примет вид: $ \cos 70^\circ \cos 10^\circ + \sin 70^\circ \sin 10^\circ $.

Это формула косинуса разности, поэтому числитель равен $ \cos(70^\circ - 10^\circ) = \cos 60^\circ $.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения: $ \cos 82^\circ = \cos(90^\circ - 8^\circ) = \sin 8^\circ $ и $ \cos 22^\circ = \cos(90^\circ - 68^\circ) = \sin 68^\circ $.

Знаменатель примет вид: $ \cos 68^\circ \cos 8^\circ + \sin 68^\circ \sin 8^\circ $.

Это также формула косинуса разности, поэтому знаменатель равен $ \cos(68^\circ - 8^\circ) = \cos 60^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\cos 60^\circ}{\cos 60^\circ} = 1 $.

Равенство истинно.

Ответ: Истинно.

4.103. Вычислите:

$1) \cos 105^\circ$; $2) \cos 15^\circ$; $3) \sin \frac{\pi}{12}$; $4) \sin \frac{7\pi}{12}$; $5) \operatorname{tg} 75^\circ$; $6) \operatorname{ctg} 15^\circ$.

1) Для вычисления $cos105^\circ$ представим угол $105^\circ$ в виде суммы двух стандартных углов: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$.
$cos105^\circ = cos(60^\circ + 45^\circ) = cos60^\circ \cdot cos45^\circ - sin60^\circ \cdot sin45^\circ$.
Подставим известные значения тригонометрических функций:
$cos60^\circ = \frac{1}{2}$, $cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$cos105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

2) Для вычисления $cos15^\circ$ представим угол $15^\circ$ в виде разности двух стандартных углов: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.
$cos15^\circ = cos(45^\circ - 30^\circ) = cos45^\circ \cdot cos30^\circ + sin45^\circ \cdot sin30^\circ$.
Подставим известные значения:
$cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin30^\circ = \frac{1}{2}$.
$cos15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

3) Для вычисления $sin\frac{\pi}{12}$ представим угол $\frac{\pi}{12}$ в виде разности двух стандартных углов в радианах: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ (так как $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$).
Воспользуемся формулой синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$.
$sin\frac{\pi}{12} = sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = sin\frac{\pi}{3} \cdot cos\frac{\pi}{4} - cos\frac{\pi}{3} \cdot sin\frac{\pi}{4}$.
Подставим известные значения:
$sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

4) Для вычисления $sin\frac{7\pi}{12}$ представим угол $\frac{7\pi}{12}$ в виде суммы двух стандартных углов: $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$ (так как $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + 4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$).
Воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$.
$sin\frac{7\pi}{12} = sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = sin\frac{\pi}{4} \cdot cos\frac{\pi}{3} + cos\frac{\pi}{4} \cdot sin\frac{\pi}{3}$.
Подставим известные значения:
$sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$sin\frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

5) Для вычисления $tg75^\circ$ представим угол $75^\circ$ в виде суммы: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
Воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$.
$tg75^\circ = tg(45^\circ + 30^\circ) = \frac{tg45^\circ + tg30^\circ}{1 - tg45^\circ \cdot tg30^\circ}$.
Подставим известные значения: $tg45^\circ = 1$ и $tg30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$tg75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:
$tg75^\circ = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

6) Для вычисления $ctg15^\circ$ представим угол $15^\circ$ в виде разности: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Воспользуемся формулой котангенса разности: $ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta + 1}{ctg\beta - ctg\alpha}$.
$ctg15^\circ = ctg(45^\circ - 30^\circ) = \frac{ctg45^\circ \cdot ctg30^\circ + 1}{ctg30^\circ - ctg45^\circ}$.
Подставим известные значения: $ctg45^\circ = 1$ и $ctg30^\circ = \sqrt{3}$.
$ctg15^\circ = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
Это выражение совпадает с выражением для $tg75^\circ$ из предыдущего пункта. Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3}+1)$:
$ctg15^\circ = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.