Страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.112. Сократите дроби:

1) $\frac{\sin 2\alpha}{2 \cos \alpha};$

2) $\frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha};$

3) $\frac{2 \cos^2 \alpha}{\sin 2\alpha};$

4) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}.$

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sin 2\alpha}{2 \cos \alpha} $, применим формулу синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Подставив это выражение в числитель, получаем:

$ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos \alpha} $

Сокращаем общие множители $ 2 $ и $ \cos \alpha $ в числителе и знаменателе.

Ответ: $ \sin \alpha $.

2) Для сокращения дроби $ \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} $ используем ту же формулу синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Подставляем в числитель:

$ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} $

Сокращаем общий множитель $ \sin \alpha $ в числителе и знаменателе.

Ответ: $ 2 \cos \alpha $.

3) В дроби $ \frac{2 \cos^2 \alpha}{\sin 2\alpha} $ используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ для знаменателя:

$ \frac{2 \cos^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} $

Сокращаем общие множители $ 2 $ и $ \cos \alpha $. Так как $ \cos^2 \alpha = \cos \alpha \cdot \cos \alpha $, после сокращения получаем $ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $. Это выражение по определению равно котангенсу угла $ \alpha $.

Ответ: $ \cot \alpha $.

4) Чтобы сократить дробь $ \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} $, воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители: $ (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha) $.

Подставляем разложенное выражение в числитель:

$ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} $

Сокращаем общий множитель $ (\cos \alpha + \sin \alpha) $.

Ответ: $ \cos \alpha - \sin \alpha $.

4.113. Упростите выражения:

1) $cos2\alpha+\sin^2\alpha;$

2) $cos^2\alpha-cos2\alpha;$

3) $\frac{\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha};$

4) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} - \cos \alpha.$

1) Для упрощения выражения $cos2\alpha + \sin^2\alpha$ воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Подставим это выражение в исходное:
$cos2\alpha + \sin^2\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) + \sin^2\alpha$
Взаимно уничтожим $-\sin^2\alpha$ и $\sin^2\alpha$:
$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha + \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$
Ответ: $\cos^2\alpha$

2) Для упрощения выражения $\cos^2\alpha - \cos2\alpha$ также используем формулу косинуса двойного угла: $cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Подставим это выражение в исходное:
$\cos^2\alpha - \cos2\alpha = \cos^2\alpha - (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)$
Раскроем скобки, поменяв знаки внутри на противоположные:
$\cos^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \sin^2\alpha$
Ответ: $\sin^2\alpha$

3) Рассмотрим выражение $\frac{\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$. Оно похоже на формулу тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$.
Чтобы привести наше выражение к этой формуле, домножим и разделим его на 2:
$\frac{\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$
Теперь мы можем заменить дробь на $\operatorname{tg}2\alpha$:
$\frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg}2\alpha = \frac{\operatorname{tg}2\alpha}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}\operatorname{tg}2\alpha$

4) Для упрощения выражения $\frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} - \cos\alpha$ представим числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла в виде разности квадратов: $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Подставим в выражение:
$\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} - \cos\alpha$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}{\cos\alpha + \sin\alpha} - \cos\alpha$
Сократим дробь на общий множитель $(\cos\alpha + \sin\alpha)$ (при условии, что он не равен нулю):
$(\cos\alpha - \sin\alpha) - \cos\alpha$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\cos\alpha - \sin\alpha - \cos\alpha = -\sin\alpha$
Ответ: $-\sin\alpha$

4.114. Упростите выражения:

1) $ \cos^4 2x - \sin^4 2x; $

2) $ \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha}; $

3) $ 1 + \cos 2x + 2\sin^2 x; $

4) $ 2\sin^2 \alpha - 1; $

5) $ \sin^2 x + \cos^4 x - 0,75; $

6) $ 2\cos^2 x - 1. $

1) $ \cos^4{2x} - \sin^4{2x} $

Для упрощения этого выражения используем формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $, где $ a = \cos^2{2x} $ и $ b = \sin^2{2x} $.

$ \cos^4{2x} - \sin^4{2x} = (\cos^2{2x})^2 - (\sin^2{2x})^2 = (\cos^2{2x} - \sin^2{2x})(\cos^2{2x} + \sin^2{2x}) $

Первая скобка, $ \cos^2{2x} - \sin^2{2x} $, является формулой косинуса двойного угла для аргумента $ 2x $, то есть $ \cos(2 \cdot 2x) = \cos{4x} $.

Вторая скобка, $ \cos^2{2x} + \sin^2{2x} $, согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, равна 1.

Таким образом, получаем:

$ (\cos{4x}) \cdot 1 = \cos{4x} $

Ответ: $ \cos{4x} $

2) $ \frac{\cos{2\alpha}}{\cos{\alpha}} - \frac{\sin{2\alpha}}{\sin{\alpha}} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \cos\alpha \sin\alpha $:

$ \frac{\cos{2\alpha}\sin{\alpha} - \sin{2\alpha}\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}\sin{\alpha}} $

Числитель дроби $ \sin{\alpha}\cos{2\alpha} - \cos{\alpha}\sin{2\alpha} $ соответствует формуле синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $, где $ x = \alpha $ и $ y = 2\alpha $.

$ \sin(\alpha - 2\alpha) = \sin(-\alpha) $

Поскольку синус является нечетной функцией, $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $.

Подставим это обратно в выражение:

$ \frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha\sin\alpha} $

Сократим $ \sin\alpha $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin\alpha \neq 0 $ и $ \cos\alpha \neq 0 $, что необходимо для существования исходного выражения).

$ -\frac{1}{\cos\alpha} $

Ответ: $ -\frac{1}{\cos\alpha} $

3) $ 1 + \cos{2x} + 2\sin^2{x} $

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x} $. Эта форма удобна, так как в выражении уже есть слагаемое $ 2\sin^2{x} $.

Подставляем формулу в выражение:

$ 1 + (1 - 2\sin^2{x}) + 2\sin^2{x} $

Слагаемые $ -2\sin^2{x} $ и $ 2\sin^2{x} $ взаимно уничтожаются:

$ 1 + 1 = 2 $

Ответ: $ 2 $

4) $ 2\sin^2{\alpha} - 1 $

Это выражение очень похоже на одну из формул косинуса двойного угла: $ \cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha} $.

Вынесем минус за скобки, чтобы привести выражение к известной формуле:

$ 2\sin^2{\alpha} - 1 = -(1 - 2\sin^2{\alpha}) $

Теперь выражение в скобках равно $ \cos{2\alpha} $. Следовательно:

$ -(1 - 2\sin^2{\alpha}) = -\cos{2\alpha} $

Ответ: $ -\cos{2\alpha} $

5) $ \sin^2{x} + \cos^4{x} - 0,75 $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2{x} = 1 - \cos^2{x} $ и заменим $ 0,75 $ на $ \frac{3}{4} $.

$ (1 - \cos^2{x}) + \cos^4{x} - \frac{3}{4} $

Перегруппируем слагаемые:

$ \cos^4{x} - \cos^2{x} + (1 - \frac{3}{4}) = \cos^4{x} - \cos^2{x} + \frac{1}{4} $

Полученное выражение является полным квадратом разности $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $, где $ a = \cos^2{x} $ и $ b = \frac{1}{2} $.

$ (\cos^2{x})^2 - 2 \cdot \cos^2{x} \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (\cos^2{x} - \frac{1}{2})^2 $

Теперь используем формулу понижения степени $ \cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2} $.

$ (\frac{1 + \cos{2x}}{2} - \frac{1}{2})^2 = (\frac{1 + \cos{2x} - 1}{2})^2 = (\frac{\cos{2x}}{2})^2 = \frac{\cos^2{2x}}{4} $

Ответ: $ \frac{\cos^2{2x}}{4} $

6) $ 2\cos^2{x} - 1 $

Данное выражение является одной из стандартных формул для косинуса двойного угла.

$ \cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1 $

Таким образом, выражение можно сразу заменить на $ \cos{2x} $.

Ответ: $ \cos{2x} $

4.115. Упростите выражения:

1) $ \cos^2 \alpha - 4\sin^2 \frac{\alpha}{2}\cos^2 \frac{\alpha}{2}; $

2) $ 1 - 4\sin^2x\cos^2x; $

3) $ \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}2\alpha; $

4) $ \frac{\cos 2x}{\sin x} + \frac{\sin 2x}{\cos x}; $

5) $ \frac{\cos^2 x}{\operatorname{tg} \frac{x}{2} - \operatorname{ctg} \frac{x}{2}}; $

6) $ \cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2}. $

1) Упростим выражение $cos^2 \alpha - 4\sin^2 \frac{\alpha}{2}\cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
Заметим, что $4\sin^2 \frac{\alpha}{2}\cos^2 \frac{\alpha}{2} = (2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2})^2$.
По формуле синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, имеем $2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha$.
Тогда выражение принимает вид: $cos^2 \alpha - (\sin \alpha)^2 = cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
По формуле косинуса двойного угла, это равно $cos(2\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)$.

2) Упростим выражение $1 - 4\sin^2 x \cos^2 x$.
Перепишем его как $1 - (2\sin x \cos x)^2$.
Применяя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получаем:
$1 - (\sin(2x))^2 = 1 - \sin^2(2x)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, имеем $1 - \sin^2(2x) = \cos^2(2x)$.
Ответ: $\cos^2(2x)$.

3) Рассмотрим выражение $\ctg\alpha - \ctg2\alpha$.
Представим котангенсы через синусы и косинусы: $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{\cos\alpha \sin2\alpha - \cos2\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha \sin2\alpha}$.
Числитель соответствует формуле синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$, где $A=2\alpha$ и $B=\alpha$.
Таким образом, числитель равен $\sin(2\alpha - \alpha) = \sin\alpha$.
Выражение упрощается до $\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha \sin2\alpha} = \frac{1}{\sin2\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin2\alpha}$.

4) Упростим выражение $\frac{\cos 2x}{\sin x} + \frac{\sin 2x}{\cos x}$.
Приведем к общему знаменателю $\sin x \cos x$: $\frac{\cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x}{\sin x \cos x}$.
Числитель соответствует формуле косинуса разности $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$, где $A=2x$ и $B=x$.
Таким образом, числитель равен $\cos(2x - x) = \cos x$.
Выражение упрощается до $\frac{\cos x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin x}$.

5) Упростим выражение $\frac{\cos^2 x}{\tg \frac{x}{2} - \ctg \frac{x}{2}}$.
Сначала преобразуем знаменатель: $\tg \frac{x}{2} - \ctg \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} - \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$.
Числитель равен $-(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) = -\cos x$.
Знаменатель дроби в знаменателе равен $\frac{1}{2}(2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}) = \frac{1}{2}\sin x$.
Таким образом, весь знаменатель равен $\frac{-\cos x}{\frac{1}{2}\sin x} = -2\frac{\cos x}{\sin x} = -2\ctg x$.
Подставляем обратно в исходное выражение: $\frac{\cos^2 x}{-2\ctg x} = \frac{\cos^2 x}{-2\frac{\cos x}{\sin x}} = -\frac{\cos^2 x \sin x}{2\cos x} = -\frac{\sin x \cos x}{2}$.
Используя $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, получаем $-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) = -\frac{1}{4}\sin(2x)$.
Ответ: $-\frac{1}{4}\sin(2x)$.

6) Упростим выражение $\cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2}$.
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a = \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ и $b = \sin^2 \frac{\alpha}{2}$.
Получаем: $(\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2})(\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2})$.
Первая скобка — это формула косинуса двойного угла $\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$, которая дает $\cos \alpha$.
Вторая скобка — это основное тригонометрическое тождество, равное 1.
Таким образом, выражение равно $\cos\alpha \cdot 1 = \cos\alpha$.
Ответ: $\cos\alpha$.

4.116. Сократите дроби:

1) $\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ};$

2) $\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ};$

3) $\frac{\sin 100^\circ}{\cos 50^\circ};$

4) $\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}.$

1) Для того чтобы сократить дробь $ \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} $, воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

В данном случае, $ \alpha = 20^{\circ} $, тогда $ 2\alpha = 40^{\circ} $.

Представим числитель в виде: $ \sin 40^{\circ} = \sin(2 \cdot 20^{\circ}) = 2\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ} $.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$ \frac{2\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} $

Сократим $ \sin 20^{\circ} $ в числителе и знаменателе, так как $ \sin 20^{\circ} \neq 0 $.

Получаем: $ 2\cos 20^{\circ} $.

Ответ: $ 2\cos 20^{\circ} $.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{\cos 80^{\circ}}{\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}} $.

Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

Здесь $ \alpha = 40^{\circ} $, тогда $ 2\alpha = 80^{\circ} $.

Представим числитель в виде: $ \cos 80^{\circ} = \cos(2 \cdot 40^{\circ}) = \cos^2 40^{\circ} - \sin^2 40^{\circ} $.

Выражение $ \cos^2 40^{\circ} - \sin^2 40^{\circ} $ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \cos^2 40^{\circ} - \sin^2 40^{\circ} = (\cos 40^{\circ} - \sin 40^{\circ})(\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}) $.

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$ \frac{(\cos 40^{\circ} - \sin 40^{\circ})(\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ})}{\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}} $

Сократим одинаковый множитель $ (\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}) $ в числителе и знаменателе, так как он не равен нулю.

В результате получаем: $ \cos 40^{\circ} - \sin 40^{\circ} $.

Ответ: $ \cos 40^{\circ} - \sin 40^{\circ} $.

3) Для сокращения дроби $ \frac{\sin 100^{\circ}}{\cos 50^{\circ}} $ применим формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Заметим, что $ 100^{\circ} = 2 \cdot 50^{\circ} $. Положим $ \alpha = 50^{\circ} $.

Тогда числитель можно преобразовать: $ \sin 100^{\circ} = \sin(2 \cdot 50^{\circ}) = 2\sin 50^{\circ}\cos 50^{\circ} $.

Подставим это в нашу дробь:

$ \frac{2\sin 50^{\circ}\cos 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}} $

Сокращаем $ \cos 50^{\circ} $ в числителе и знаменателе, поскольку $ \cos 50^{\circ} \neq 0 $.

Получаем: $ 2\sin 50^{\circ} $.

Ответ: $ 2\sin 50^{\circ} $.

4) Рассмотрим дробь $ \frac{\cos 36^{\circ} + \sin^2 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}} $.

Заметим, что $ 36^{\circ} = 2 \cdot 18^{\circ} $. Применим формулу косинуса двойного угла к $ \cos 36^{\circ} $.

Существует три варианта формулы: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $, $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $ и $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $.

Выберем последнюю формулу, так как в числителе уже есть слагаемое $ \sin^2 18^{\circ} $. Положим $ \alpha = 18^{\circ} $.

$ \cos 36^{\circ} = \cos(2 \cdot 18^{\circ}) = 1 - 2\sin^2 18^{\circ} $.

Подставим это выражение в числитель исходной дроби:

$ \frac{(1 - 2\sin^2 18^{\circ}) + \sin^2 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}} = \frac{1 - \sin^2 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}} $

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha $.

Для $ \alpha = 18^{\circ} $ получаем: $ 1 - \sin^2 18^{\circ} = \cos^2 18^{\circ} $.

Таким образом, наша дробь принимает вид:

$ \frac{\cos^2 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}} $

Сократим $ \cos 18^{\circ} $ в числителе и знаменателе, так как $ \cos 18^{\circ} \neq 0 $.

В итоге получаем: $ \cos 18^{\circ} $.

Ответ: $ \cos 18^{\circ} $.

4.117. Найдите:

1) $sin2\alpha$, $cos2\alpha$, $tg2\alpha$ и $ctg2\alpha$, если $tg\alpha=\frac{3}{4}$, $180^\circ < \alpha < 270^\circ$;

2) $cos2\alpha$ и $sin2\alpha$, если $sin\alpha=-\frac{12}{13}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

1) Дано: $\tan\alpha = \frac{3}{4}$ и $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.

Для нахождения искомых величин можно сначала найти $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$. Из тождества $1+\tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ найдем $\cos\alpha$:

$\cos^2\alpha = \frac{1}{1+\tan^2\alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$), его косинус отрицателен:

$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Теперь найдем $\sin\alpha$ с помощью тождества $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5}$.

Синус в третьей четверти также отрицателен, что соответствует результату.

Теперь, используя формулы двойного угла, найдем искомые значения:

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25}$.

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

$\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{24/25}{7/25} = \frac{24}{7}$.

$\cot(2\alpha) = \frac{1}{\tan(2\alpha)} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\sin(2\alpha) = \frac{24}{25}, \cos(2\alpha) = \frac{7}{25}, \tan(2\alpha) = \frac{24}{7}, \cot(2\alpha) = \frac{7}{24}$.

2) Дано: $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Условие $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ означает, что угол $\alpha$ находится в третьей четверти. В этой четверти косинус отрицателен.

Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

Так как $\alpha$ в третьей четверти, $\cos\alpha < 0$, поэтому $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

Теперь найдем $\cos(2\alpha)$ и $\sin(2\alpha)$ по формулам двойного угла.

Для $\cos(2\alpha)$ можно использовать формулу, зависящую только от $\sin\alpha$:

$\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2\left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{144}{169} = 1 - \frac{288}{169} = \frac{169-288}{169} = -\frac{119}{169}$.

Для $\sin(2\alpha)$ используем формулу $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{2 \cdot 12 \cdot 5}{169} = \frac{120}{169}$.

Ответ: $\cos(2\alpha) = -\frac{119}{169}, \sin(2\alpha) = \frac{120}{169}$.