Страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.142. Докажите формулы:

1) $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$;

2) $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$;

3) $\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3\operatorname{tg}^2\alpha}$;

4) $\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{\operatorname{ctg}^3\alpha - 3\operatorname{ctg}\alpha}{3\operatorname{ctg}^2\alpha - 1}$

1) Для доказательства формулы тройного угла для синуса $sin3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha$ представим $3\alpha$ в виде суммы $2\alpha+\alpha$ и воспользуемся формулой синуса суммы и формулами двойного угла.
Формула синуса суммы: $sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)$.
Формулы двойного угла: $sin(2\alpha)=2sin\alpha cos\alpha$ и $cos(2\alpha)=cos^2\alpha-sin^2\alpha$.
Основное тригонометрическое тождество: $cos^2\alpha=1-sin^2\alpha$.

$sin(3\alpha) = sin(2\alpha+\alpha) = sin(2\alpha)cos\alpha + cos(2\alpha)sin\alpha$
Подставим формулы двойного угла:
$= (2sin\alpha cos\alpha)cos\alpha + (cos^2\alpha-sin^2\alpha)sin\alpha$
$= 2sin\alpha cos^2\alpha + sin\alpha cos^2\alpha - sin^3\alpha$
$= 3sin\alpha cos^2\alpha - sin^3\alpha$
Теперь заменим $cos^2\alpha$ на $1-sin^2\alpha$, чтобы выразить все через $sin\alpha$:
$= 3sin\alpha (1-sin^2\alpha) - sin^3\alpha$
$= 3sin\alpha - 3sin^3\alpha - sin^3\alpha$
$= 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$
Таким образом, мы доказали, что $sin3\alpha = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$.

Ответ: Формула доказана.

2) Для доказательства формулы тройного угла для косинуса $cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha$ представим $3\alpha$ в виде суммы $2\alpha+\alpha$ и воспользуемся формулой косинуса суммы и формулами двойного угла.
Формула косинуса суммы: $cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)$.
Формулы двойного угла: $cos(2\alpha)=2cos^2\alpha-1$ и $sin(2\alpha)=2sin\alpha cos\alpha$.
Основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha=1-cos^2\alpha$.

$cos(3\alpha) = cos(2\alpha+\alpha) = cos(2\alpha)cos\alpha - sin(2\alpha)sin\alpha$
Подставим формулы двойного угла (используем формулу для $cos(2\alpha)$ через косинус, так как итоговое выражение должно содержать только косинусы):
$= (2cos^2\alpha-1)cos\alpha - (2sin\alpha cos\alpha)sin\alpha$
$= 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2cos\alpha sin^2\alpha$
Теперь заменим $sin^2\alpha$ на $1-cos^2\alpha$, чтобы выразить все через $cos\alpha$:
$= 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2cos\alpha(1-cos^2\alpha)$
$= 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2cos\alpha + 2cos^3\alpha$
$= 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$
Таким образом, мы доказали, что $cos3\alpha = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$.

Ответ: Формула доказана.

3) Для доказательства формулы тройного угла для тангенса $tg3\alpha = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}$ представим $3\alpha$ как $2\alpha+\alpha$ и воспользуемся формулой тангенса суммы и тангенса двойного угла.
Формула тангенса суммы: $tg(x+y)=\frac{tgx+tgy}{1-tgx \cdot tgy}$.
Формула тангенса двойного угла: $tg(2\alpha)=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}$.

$tg(3\alpha) = tg(2\alpha+\alpha) = \frac{tg(2\alpha)+tg\alpha}{1-tg(2\alpha) \cdot tg\alpha}$
Подставим формулу для $tg(2\alpha)$:
$= \frac{\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}+tg\alpha}{1-\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha} \cdot tg\alpha}$
Приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель дроби:
$= \frac{\frac{2tg\alpha + tg\alpha(1-tg^2\alpha)}{1-tg^2\alpha}}{\frac{1-tg^2\alpha-2tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}}$
Раскроем скобки и упростим:
$= \frac{\frac{2tg\alpha + tg\alpha-tg^3\alpha}{1-tg^2\alpha}}{\frac{1-3tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}}$
$= \frac{\frac{3tg\alpha-tg^3\alpha}{1-tg^2\alpha}}{\frac{1-3tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}}$
Сократим дробь на $(1-tg^2\alpha)$:
$= \frac{3tg\alpha-tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}$
Таким образом, мы доказали, что $tg3\alpha = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}$.

Ответ: Формула доказана.

4) Для доказательства формулы тройного угла для котангенса $ctg3\alpha = \frac{ctg^3\alpha-3ctg\alpha}{3ctg^2\alpha-1}$ воспользуемся связью котангенса и тангенса $ctg(3\alpha)=\frac{1}{tg(3\alpha)}$ и уже доказанной формулой для $tg(3\alpha)$.
$ctg(3\alpha) = \frac{1}{tg(3\alpha)} = \frac{1}{\frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}} = \frac{1-3tg^2\alpha}{3tg\alpha - tg^3\alpha}$
Теперь заменим $tg\alpha$ на $\frac{1}{ctg\alpha}$:
$= \frac{1-3(\frac{1}{ctg\alpha})^2}{3(\frac{1}{ctg\alpha}) - (\frac{1}{ctg\alpha})^3} = \frac{1-\frac{3}{ctg^2\alpha}}{\frac{3}{ctg\alpha} - \frac{1}{ctg^3\alpha}}$
Умножим числитель и знаменатель дроби на $ctg^3\alpha$, чтобы избавиться от дробей:
$= \frac{(1-\frac{3}{ctg^2\alpha}) \cdot ctg^3\alpha}{(\frac{3}{ctg\alpha} - \frac{1}{ctg^3\alpha}) \cdot ctg^3\alpha}$
$= \frac{ctg^3\alpha - \frac{3ctg^3\alpha}{ctg^2\alpha}}{\frac{3ctg^3\alpha}{ctg\alpha} - \frac{ctg^3\alpha}{ctg^3\alpha}}$
$= \frac{ctg^3\alpha - 3ctg\alpha}{3ctg^2\alpha - 1}$
Таким образом, мы доказали, что $ctg3\alpha = \frac{ctg^3\alpha-3ctg\alpha}{3ctg^2\alpha-1}$.

Ответ: Формула доказана.

4.143. Докажите тождества:

1) $ \frac{\sin 5\varphi - 2\sin 3\varphi \cos 3\varphi}{1 - \cos 5\varphi - 2\sin^2 3\varphi} = \cot 5\varphi; $

2) $ \frac{2\cos^2 2\alpha + \cos 5\alpha - 1}{\sin 5\alpha + 2\cos 2\alpha \sin 2\alpha} = \cot 5\alpha; $

3) $ \frac{\sin 4\beta + 2\sin 2\beta}{2(\cos \beta + \cos 3\beta)} = \cos \beta \tan 2\beta; $

4) $ \frac{2\cos \psi + \cos 3\psi + \cos 5\psi}{\cos 3\psi + \sin \psi \sin 2\psi} = 4\cos 2\psi. $

1)

Преобразуем левую часть тождества. Для этого используем формулы синуса и косинуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $ и $ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha $.

В числителе: $ 2 \sin 3\phi \cos 3\phi = \sin(2 \cdot 3\phi) = \sin 6\phi $.

В знаменателе: $ 2 \sin^2 3\phi = 1 - \cos(2 \cdot 3\phi) = 1 - \cos 6\phi $.

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$ \frac{\sin 5\phi - \sin 6\phi}{1 - \cos 5\phi - (1 - \cos 6\phi)} = \frac{\sin 5\phi - \sin 6\phi}{1 - \cos 5\phi - 1 + \cos 6\phi} = \frac{\sin 5\phi - \sin 6\phi}{\cos 6\phi - \cos 5\phi} $

Теперь применим формулы преобразования разности синусов и косинусов в произведение:

$ \sin\alpha - \sin\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

Получаем:

$ \frac{2 \cos\frac{5\phi+6\phi}{2} \sin\frac{5\phi-6\phi}{2}}{-2 \sin\frac{6\phi+5\phi}{2} \sin\frac{6\phi-5\phi}{2}} = \frac{2 \cos(5,5\phi) \sin(-0,5\phi)}{-2 \sin(5,5\phi) \sin(0,5\phi)} $

Так как $ \sin(-x) = -\sin x $, выражение упрощается:

$ \frac{-2 \cos(5,5\phi) \sin(0,5\phi)}{-2 \sin(5,5\phi) \sin(0,5\phi)} = \frac{\cos(5,5\phi)}{\sin(5,5\phi)} = \operatorname{ctg}(5,5\phi) $

Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулы двойного угла: $ \cos 2\alpha = 2 \cos^2\alpha - 1 $ и $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $.

В числителе: $ 2 \cos^2 2\alpha - 1 = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha $. Тогда числитель равен $ \cos 4\alpha + \cos 5\alpha $.

В знаменателе: $ 2 \cos 2\alpha \sin 2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha $. Тогда знаменатель равен $ \sin 5\alpha + \sin 4\alpha $.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$ \frac{\cos 5\alpha + \cos 4\alpha}{\sin 5\alpha + \sin 4\alpha} $

Применим формулы преобразования суммы синусов и косинусов в произведение:

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Получаем:

$ \frac{2 \cos\frac{5\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-4\alpha}{2}}{2 \sin\frac{5\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-4\alpha}{2}} = \frac{2 \cos(4,5\alpha) \cos(0,5\alpha)}{2 \sin(4,5\alpha) \cos(0,5\alpha)} $

Сокращаем общие множители $ 2 $ и $ \cos(0,5\alpha) $:

$ \frac{\cos(4,5\alpha)}{\sin(4,5\alpha)} = \operatorname{ctg}(4,5\alpha) $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Начнем с числителя. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 4\beta = 2 \sin 2\beta \cos 2\beta $:

$ \sin 4\beta + 2 \sin 2\beta = 2 \sin 2\beta \cos 2\beta + 2 \sin 2\beta = 2 \sin 2\beta (1 + \cos 2\beta) $

Используем формулу $ 1 + \cos 2\beta = 2 \cos^2\beta $, тогда числитель равен $ 2 \sin 2\beta \cdot 2 \cos^2\beta = 4 \sin 2\beta \cos^2\beta $.

Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу суммы косинусов:

$ \cos\beta + \cos 3\beta = 2 \cos\frac{\beta+3\beta}{2} \cos\frac{3\beta-\beta}{2} = 2 \cos 2\beta \cos\beta $

Тогда весь знаменатель равен $ 2(2 \cos 2\beta \cos\beta) = 4 \cos 2\beta \cos\beta $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{4 \sin 2\beta \cos^2\beta}{4 \cos 2\beta \cos\beta} $

Сокращаем общие множители $ 4 $ и $ \cos\beta $:

$ \frac{\sin 2\beta \cos\beta}{\cos 2\beta} = \cos\beta \cdot \frac{\sin 2\beta}{\cos 2\beta} = \cos\beta \operatorname{tg} 2\beta $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества. В числителе сгруппируем $ \cos 5\psi $ и $ \cos 3\psi $ и применим формулу суммы косинусов:

$ (\cos 5\psi + \cos 3\psi) + 2 \cos\psi = 2 \cos\frac{5\psi+3\psi}{2} \cos\frac{5\psi-3\psi}{2} + 2 \cos\psi = 2 \cos 4\psi \cos\psi + 2 \cos\psi $

Вынесем общий множитель $ 2 \cos\psi $:

$ 2 \cos\psi (1 + \cos 4\psi) $

Используем формулу $ 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2\alpha $, где $ \alpha=2\psi $:

$ 2 \cos\psi (2 \cos^2 2\psi) = 4 \cos\psi \cos^2 2\psi $

Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $:

$ \cos 3\psi = \cos(2\psi + \psi) = \cos 2\psi \cos\psi - \sin 2\psi \sin\psi $

Подставим это в знаменатель:

$ \cos 3\psi + \sin\psi \sin 2\psi = (\cos 2\psi \cos\psi - \sin 2\psi \sin\psi) + \sin\psi \sin 2\psi = \cos 2\psi \cos\psi $

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{4 \cos\psi \cos^2 2\psi}{\cos 2\psi \cos\psi} $

Сокращаем общие множители $ \cos\psi $ и $ \cos 2\psi $:

$ 4 \cos 2\psi $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4.144. Напишите в виде произведения:

1) $\sqrt{3}-2\cos\varphi$;

2) $2\sin\varphi-\sqrt{3}$;

3) $\sqrt{2}+2\cos\varphi$;

4) $0,5-\sin\varphi$.

1) Чтобы преобразовать выражение $\sqrt{3}-2\cos\varphi$ в произведение, вынесем множитель 2 за скобки:

$2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\varphi)$

Представим число $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как значение косинуса. Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это в выражение:

$2(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\varphi)$

Теперь воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha=\frac{\pi}{6}$ и $\beta=\varphi$.

$2 \cdot (-2\sin\frac{\frac{\pi}{6}+\varphi}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{6}-\varphi}{2}) = -4\sin(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\varphi}{2})$

Так как синус является нечетной функцией ($\sin(-x) = -\sin(x)$), мы можем записать $\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\varphi}{2}) = -\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{12})$. Тогда выражение примет вид:

$-4\sin(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})[-\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{12})] = 4\sin(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{12})$

Ответ: $4\sin(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{12})$.

2) Для преобразования выражения $2\sin\varphi-\sqrt{3}$ вынесем 2 за скобки:

$2(\sin\varphi - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Заменим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на значение синуса, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$2(\sin\varphi - \sin\frac{\pi}{3})$

Применим формулу разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha=\varphi$ и $\beta=\frac{\pi}{3}$.

$2 \cdot (2\cos\frac{\varphi+\frac{\pi}{3}}{2}\sin\frac{\varphi-\frac{\pi}{3}}{2}) = 4\cos(\frac{\varphi}{2}+\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{6})$

Ответ: $4\cos(\frac{\varphi}{2}+\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{6})$.

3) Для преобразования выражения $\sqrt{2}+2\cos\varphi$ вынесем множитель 2 за скобки:

$2(\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\varphi)$

Представим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ как значение косинуса, $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$2(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\varphi)$

Применим формулу суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В данном случае $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и $\beta=\varphi$.

$2 \cdot (2\cos\frac{\frac{\pi}{4}+\varphi}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{4}-\varphi}{2}) = 4\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\varphi}{2})\cos(\frac{\pi}{8}-\frac{\varphi}{2})$

Ответ: $4\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\varphi}{2})\cos(\frac{\pi}{8}-\frac{\varphi}{2})$.

4) Рассмотрим выражение $0,5-\sin\varphi$. Представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$, а затем как значение синуса: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Выражение принимает вид: $\sin\frac{\pi}{6} - \sin\varphi$.

Применим формулу разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha=\frac{\pi}{6}$ и $\beta=\varphi$.

$2\cos\frac{\frac{\pi}{6}+\varphi}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{6}-\varphi}{2} = 2\cos(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\varphi}{2})$

Ответ: $2\cos(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\varphi}{2})$.

4.145. Разложите на множители:

1) $ \sin\gamma+\sin2\gamma+\sin3\gamma+\sin4\gamma $;

2) $ \cos2\gamma-\cos4\gamma-\cos6\gamma+\cos8\gamma $.

1) Сгруппируем слагаемые в выражении $ \sin{\gamma} + \sin{2\gamma} + \sin{3\gamma} + \sin{4\gamma} $ следующим образом: $ (\sin{4\gamma} + \sin{\gamma}) + (\sin{3\gamma} + \sin{2\gamma}) $.
Применим формулу суммы синусов $ \sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2 \sin{\frac{\alpha+\beta}{2}} \cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $ к каждой группе.
Для первой группы $ (\sin{4\gamma} + \sin{\gamma}) $:
$ \sin{4\gamma} + \sin{\gamma} = 2 \sin{\frac{4\gamma+\gamma}{2}} \cos{\frac{4\gamma-\gamma}{2}} = 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \cos{\frac{3\gamma}{2}} $.
Для второй группы $ (\sin{3\gamma} + \sin{2\gamma}) $:
$ \sin{3\gamma} + \sin{2\gamma} = 2 \sin{\frac{3\gamma+2\gamma}{2}} \cos{\frac{3\gamma-2\gamma}{2}} = 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \cos{\frac{\gamma}{2}} $.
Подставим полученные выражения в исходное:
$ 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \cos{\frac{3\gamma}{2}} + 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \cos{\frac{\gamma}{2}} $.
Вынесем общий множитель $ 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} $ за скобки:
$ 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \left( \cos{\frac{3\gamma}{2}} + \cos{\frac{\gamma}{2}} \right) $.
Теперь применим формулу суммы косинусов $ \cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2 \cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} \cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $ к выражению в скобках:
$ \cos{\frac{3\gamma}{2}} + \cos{\frac{\gamma}{2}} = 2 \cos{\frac{\frac{3\gamma}{2}+\frac{\gamma}{2}}{2}} \cos{\frac{\frac{3\gamma}{2}-\frac{\gamma}{2}}{2}} = 2 \cos{\frac{2\gamma}{2}} \cos{\frac{\gamma}{2}} = 2 \cos{\gamma} \cos{\frac{\gamma}{2}} $.
Подставим это обратно и получим окончательный результат:
$ 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \left( 2 \cos{\gamma} \cos{\frac{\gamma}{2}} \right) = 4 \cos{\frac{\gamma}{2}} \cos{\gamma} \sin{\frac{5\gamma}{2}} $.
Ответ: $ 4 \cos{\frac{\gamma}{2}} \cos{\gamma} \sin{\frac{5\gamma}{2}} $.

2) Сгруппируем слагаемые в выражении $ \cos{2\gamma} - \cos{4\gamma} - \cos{6\gamma} + \cos{8\gamma} $ следующим образом: $ (\cos{8\gamma} + \cos{2\gamma}) - (\cos{6\gamma} + \cos{4\gamma}) $.
Применим формулу суммы косинусов $ \cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2 \cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} \cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.
Для первой группы $ (\cos{8\gamma} + \cos{2\gamma}) $:
$ \cos{8\gamma} + \cos{2\gamma} = 2 \cos{\frac{8\gamma+2\gamma}{2}} \cos{\frac{8\gamma-2\gamma}{2}} = 2 \cos{5\gamma} \cos{3\gamma} $.
Для второй группы $ (\cos{6\gamma} + \cos{4\gamma}) $:
$ \cos{6\gamma} + \cos{4\gamma} = 2 \cos{\frac{6\gamma+4\gamma}{2}} \cos{\frac{6\gamma-4\gamma}{2}} = 2 \cos{5\gamma} \cos{\gamma} $.
Подставим полученные выражения в исходное:
$ 2 \cos{5\gamma} \cos{3\gamma} - 2 \cos{5\gamma} \cos{\gamma} $.
Вынесем общий множитель $ 2 \cos{5\gamma} $ за скобки:
$ 2 \cos{5\gamma} \left( \cos{3\gamma} - \cos{\gamma} \right) $.
Теперь применим формулу разности косинусов $ \cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2 \sin{\frac{\alpha+\beta}{2}} \sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $ к выражению в скобках:
$ \cos{3\gamma} - \cos{\gamma} = -2 \sin{\frac{3\gamma+\gamma}{2}} \sin{\frac{3\gamma-\gamma}{2}} = -2 \sin{2\gamma} \sin{\gamma} $.
Подставим это обратно и получим окончательный результат:
$ 2 \cos{5\gamma} \left( -2 \sin{2\gamma} \sin{\gamma} \right) = -4 \sin{\gamma} \sin{2\gamma} \cos{5\gamma} $.
Ответ: $ -4 \sin{\gamma} \sin{2\gamma} \cos{5\gamma} $.

4.146. Найдите значение выражений:

1) $\cos2\gamma - \cos6\gamma$, если $\cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{3}};

2) $\sin5\gamma - \sin3\gamma$, если $\sin\gamma = \frac{2}{\sqrt{5}}.$

1) Найти значение выражения $ \cos{2\gamma}-\cos{6\gamma} $, если $ \cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{3}} $.

Для решения этой задачи мы последовательно найдем значения $ \cos{2\gamma} $ и $ \cos{6\gamma} $, используя известные тригонометрические формулы.

Сначала найдем $ \cos{2\gamma} $, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1 $.

$ \cos{2\gamma} = 2\cos^2{\gamma} - 1 = 2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} $.

Далее, найдем $ \cos{6\gamma} $. Мы можем представить $ 6\gamma $ как $ 3 \cdot (2\gamma) $ и использовать формулу косинуса тройного угла $ \cos{3\alpha} = 4\cos^3{\alpha} - 3\cos{\alpha} $. В нашем случае $ \alpha = 2\gamma $.

$ \cos{6\gamma} = \cos(3 \cdot 2\gamma) = 4\cos^3(2\gamma) - 3\cos(2\gamma) $.

Подставим ранее найденное значение $ \cos{2\gamma} = -\frac{1}{3} $ в эту формулу:

$ \cos{6\gamma} = 4\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{27}\right) + 1 = -\frac{4}{27} + \frac{27}{27} = \frac{23}{27} $.

Теперь мы можем вычислить значение исходного выражения:

$ \cos{2\gamma} - \cos{6\gamma} = -\frac{1}{3} - \frac{23}{27} $.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ -\frac{1}{3} - \frac{23}{27} = -\frac{9}{27} - \frac{23}{27} = -\frac{32}{27} $.

Ответ: $ -\frac{32}{27} $.

2) Найти значение выражения $ \sin{5\gamma}-\sin{3\gamma} $, если $ \sin\gamma=\frac{2}{\sqrt{5}} $.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой разности синусов (формулой преобразования разности в произведение):

$ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$ \sin{5\gamma} - \sin{3\gamma} = 2\sin\frac{5\gamma-3\gamma}{2}\cos\frac{5\gamma+3\gamma}{2} = 2\sin\frac{2\gamma}{2}\cos\frac{8\gamma}{2} = 2\sin\gamma\cos{4\gamma} $.

Нам дано $ \sin\gamma = \frac{2}{\sqrt{5}} $. Нам нужно найти значение $ \cos{4\gamma} $. Сделаем это в два шага: сначала найдем $ \cos{2\gamma} $, а затем $ \cos{4\gamma} $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2\alpha $:

$ \cos{2\gamma} = 1 - 2\sin^2\gamma = 1 - 2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{4}{5} = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5} $.

Теперь найдем $ \cos{4\gamma} $, снова используя формулу косинуса двойного угла, где $ \alpha = 2\gamma $: $ \cos(2 \cdot 2\gamma) = 2\cos^2(2\gamma) - 1 $.

$ \cos{4\gamma} = 2\cos^2(2\gamma) - 1 = 2\left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - \frac{25}{25} = -\frac{7}{25} $.

Теперь подставим найденные значения $ \sin\gamma $ и $ \cos{4\gamma} $ в преобразованное выражение:

$ 2\sin\gamma\cos{4\gamma} = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \left(-\frac{7}{25}\right) = -\frac{28}{25\sqrt{5}} $.

Для завершения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ -\frac{28}{25\sqrt{5}} = -\frac{28 \cdot \sqrt{5}}{25\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = -\frac{28\sqrt{5}}{25 \cdot 5} = -\frac{28\sqrt{5}}{125} $.

Ответ: $ -\frac{28\sqrt{5}}{125} $.

4.147. Докажите тождества:

1) $ \frac{\operatorname{tg}2x + \operatorname{ctg}3y}{\operatorname{ctg}2x + \operatorname{tg}3y} = \frac{\operatorname{tg}2x}{\operatorname{tg}3y}; $

2) $ \operatorname{tg}\gamma + \operatorname{ctg}\gamma + \operatorname{tg}3\gamma + \operatorname{ctg}3\gamma = \frac{8 \cos^2 2\gamma}{\sin 6\gamma}; $

3) $ \frac{\sin 2x - \sin 3x + \sin 4x}{\cos 2x - \cos 3x + \cos 4x} = \operatorname{tg}3x; $

4) $ \sin^6 \frac{y}{2} - \cos^6 \frac{y}{2} = \frac{\sin^2 y - 4}{4} \cdot \cos y; $

5) $ \cos \left( \frac{3\pi}{2} + 4\alpha \right) + \sin (3\pi - 8\alpha) - \sin (4\pi - 12\alpha) = 4 \cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha; $

6) $ (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = 4\sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}; $

7) $ \frac{1 - \operatorname{tg} (90^\circ + \beta)}{1 + \operatorname{ctg} (360^\circ - \beta)} = \frac{\operatorname{tg} (180^\circ + \beta) + 1}{\operatorname{ctg} (270^\circ - \beta) - 1}; $

8) $ \frac{1 - 2\sin^2 x}{1 + \sin 2x} = \frac{1 - \operatorname{tg}x}{1 + \operatorname{tg}x}; $

9) $ \cos 4\beta - \sin 4\beta \operatorname{ctg} 2\beta = \cos 2\beta - 2\cos^2 \beta; $

10) $ \cos^2 y - \sin^2 2y = \cos^2 y (1 - 4\sin^2 y). $

1) Докажем тождество $\frac{\operatorname{tg} 2x + \operatorname{ctg} 3y}{\operatorname{ctg} 2x + \operatorname{tg} 3y} = \frac{\operatorname{tg} 2x}{\operatorname{tg} 3y}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя определения котангенса: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$.

$\frac{\operatorname{tg} 2x + \operatorname{ctg} 3y}{\operatorname{ctg} 2x + \operatorname{tg} 3y} = \frac{\operatorname{tg} 2x + \frac{1}{\operatorname{tg} 3y}}{\frac{1}{\operatorname{tg} 2x} + \operatorname{tg} 3y}$

Приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель дроби:

$\frac{\frac{\operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3y + 1}{\operatorname{tg} 3y}}{\frac{1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3y}{\operatorname{tg} 2x}}$

Разделим дроби, умножив верхнюю на перевернутую нижнюю:

$\frac{\operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3y + 1}{\operatorname{tg} 3y} \cdot \frac{\operatorname{tg} 2x}{1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3y}$

Сократим одинаковые множители $(1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3y)$:

$\frac{\operatorname{tg} 2x}{\operatorname{tg} 3y}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\operatorname{tg} \gamma + \operatorname{ctg} \gamma + \operatorname{tg} 3\gamma + \operatorname{ctg} 3\gamma = \frac{8 \cos^2 2\gamma}{\sin 6\gamma}$.

Сгруппируем слагаемые в левой части и воспользуемся формулой $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{\sin 2\alpha}$.

$(\operatorname{tg} \gamma + \operatorname{ctg} \gamma) + (\operatorname{tg} 3\gamma + \operatorname{ctg} 3\gamma) = \frac{2}{\sin 2\gamma} + \frac{2}{\sin(2 \cdot 3\gamma)} = \frac{2}{\sin 2\gamma} + \frac{2}{\sin 6\gamma}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2\sin 6\gamma + 2\sin 2\gamma}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma} = \frac{2(\sin 6\gamma + \sin 2\gamma)}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma}$

Применим формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$:

$\sin 6\gamma + \sin 2\gamma = 2 \sin \frac{6\gamma+2\gamma}{2} \cos \frac{6\gamma-2\gamma}{2} = 2 \sin 4\gamma \cos 2\gamma$

Подставим обратно в выражение:

$\frac{2(2 \sin 4\gamma \cos 2\gamma)}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma} = \frac{4 \sin 4\gamma \cos 2\gamma}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma}$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 4\gamma = 2 \sin 2\gamma \cos 2\gamma$:

$\frac{4 (2 \sin 2\gamma \cos 2\gamma) \cos 2\gamma}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma} = \frac{8 \sin 2\gamma \cos^2 2\gamma}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma}$

Сократим $\sin 2\gamma$:

$\frac{8 \cos^2 2\gamma}{\sin 6\gamma}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{\sin 2x - \sin 3x + \sin 4x}{\cos 2x - \cos 3x + \cos 4x} = \operatorname{tg} 3x$.

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

$\frac{(\sin 4x + \sin 2x) - \sin 3x}{(\cos 4x + \cos 2x) - \cos 3x}$

Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin 4x + \sin 2x = 2 \sin \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} = 2 \sin 3x \cos x$

$\cos 4x + \cos 2x = 2 \cos \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} = 2 \cos 3x \cos x$

Подставим в дробь:

$\frac{2 \sin 3x \cos x - \sin 3x}{2 \cos 3x \cos x - \cos 3x}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\frac{\sin 3x (2 \cos x - 1)}{\cos 3x (2 \cos x - 1)}$

Сократим $(2 \cos x - 1)$:

$\frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \operatorname{tg} 3x$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\sin^6 \frac{y}{2} - \cos^6 \frac{y}{2} = \frac{\sin^2 y - 4}{4} \cos y$.

Представим левую часть как разность кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = \sin^2 \frac{y}{2}$ и $b = \cos^2 \frac{y}{2}$:

$(\sin^2 \frac{y}{2} - \cos^2 \frac{y}{2})(\sin^4 \frac{y}{2} + \sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2} + \cos^4 \frac{y}{2})$

Преобразуем первый множитель: $\sin^2 \frac{y}{2} - \cos^2 \frac{y}{2} = -(\cos^2 \frac{y}{2} - \sin^2 \frac{y}{2}) = -\cos y$.

Преобразуем второй множитель: $\sin^4 \frac{y}{2} + \cos^4 \frac{y}{2} = (\sin^2 \frac{y}{2} + \cos^2 \frac{y}{2})^2 - 2\sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2} = 1 - 2\sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2}$.

Тогда второй множитель равен $(1 - 2\sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2}) + \sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2} = 1 - \sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2}$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin y = 2 \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2}$, откуда $\sin^2 y = 4 \sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2}$, следовательно $\sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2} = \frac{\sin^2 y}{4}$.

Второй множитель равен $1 - \frac{\sin^2 y}{4} = \frac{4 - \sin^2 y}{4}$.

Перемножим полученные выражения:

$(-\cos y) \left( \frac{4 - \sin^2 y}{4} \right) = \frac{-(4 - \sin^2 y)}{4} \cos y = \frac{\sin^2 y - 4}{4} \cos y$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5) Докажем тождество $\cos(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha) + \sin(3\pi - 8\alpha) - \sin(4\pi - 12\alpha) = 4 \cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha$.

Упростим левую часть с помощью формул приведения:

$\cos(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha) = \sin 4\alpha$

$\sin(3\pi - 8\alpha) = \sin(\pi - 8\alpha) = \sin 8\alpha$

$\sin(4\pi - 12\alpha) = \sin(-12\alpha) = -\sin 12\alpha$

Левая часть принимает вид:

$\sin 4\alpha + \sin 8\alpha - (-\sin 12\alpha) = \sin 12\alpha + \sin 8\alpha + \sin 4\alpha$

Сгруппируем слагаемые $(\sin 8\alpha + \sin 4\alpha)$ и применим формулу суммы синусов:

$\sin 8\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin \frac{8\alpha+4\alpha}{2} \cos \frac{8\alpha-4\alpha}{2} = 2 \sin 6\alpha \cos 2\alpha$

Выражение принимает вид:

$\sin 12\alpha + 2 \sin 6\alpha \cos 2\alpha$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 12\alpha = 2 \sin 6\alpha \cos 6\alpha$:

$2 \sin 6\alpha \cos 6\alpha + 2 \sin 6\alpha \cos 2\alpha$

Вынесем общий множитель $2 \sin 6\alpha$:

$2 \sin 6\alpha (\cos 6\alpha + \cos 2\alpha)$

Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$:

$\cos 6\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos \frac{6\alpha+2\alpha}{2} \cos \frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha$

Подставим обратно:

$2 \sin 6\alpha (2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha) = 4 \sin 6\alpha \cos 4\alpha \cos 2\alpha$

Переставим множители: $4 \cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6) Докажем тождество $(\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим формулы разности косинусов и разности синусов к выражениям в скобках:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

Подставим в левую часть тождества:

$\left(-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2 + \left(2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2$

Возведем в квадрат:

$4 \sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2} \sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2} + 4 \cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2} \sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2}$

Вынесем общий множитель $4 \sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2}$ за скобки:

$4 \sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2} \left(\sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2} + \cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2}\right)$

Выражение в скобках равно 1 по основному тригонометрическому тождеству:

$4 \sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2} \cdot 1 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

7) Докажем тождество $\frac{1 - \operatorname{tg}(90^\circ + \beta)}{1 + \operatorname{ctg}(360^\circ - \beta)} = \frac{\operatorname{tg}(180^\circ + \beta) + 1}{\operatorname{ctg}(270^\circ - \beta) - 1}$.

Преобразуем левую и правую части отдельно, используя формулы приведения.

Левая часть:

$\operatorname{tg}(90^\circ + \beta) = -\operatorname{ctg} \beta$

$\operatorname{ctg}(360^\circ - \beta) = \operatorname{ctg}(-\beta) = -\operatorname{ctg} \beta$

$\frac{1 - (-\operatorname{ctg} \beta)}{1 + (-\operatorname{ctg} \beta)} = \frac{1 + \operatorname{ctg} \beta}{1 - \operatorname{ctg} \beta}$

Правая часть:

$\operatorname{tg}(180^\circ + \beta) = \operatorname{tg} \beta$

$\operatorname{ctg}(270^\circ - \beta) = \operatorname{tg} \beta$

$\frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{\operatorname{tg} \beta - 1}$

Теперь докажем, что $\frac{1 + \operatorname{ctg} \beta}{1 - \operatorname{ctg} \beta} = \frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{\operatorname{tg} \beta - 1}$.

Преобразуем выражение слева, заменив $\operatorname{ctg} \beta = \frac{1}{\operatorname{tg} \beta}$:

$\frac{1 + \frac{1}{\operatorname{tg} \beta}}{1 - \frac{1}{\operatorname{tg} \beta}} = \frac{\frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{\operatorname{tg} \beta}}{\frac{\operatorname{tg} \beta - 1}{\operatorname{tg} \beta}} = \frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{\operatorname{tg} \beta - 1}$

Преобразованная левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

8) Докажем тождество $\frac{1 - 2\sin^2 x}{1 + \sin 2x} = \frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x}$.

Преобразуем левую часть. В числителе используем формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2 x = \cos 2x$.

В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

$1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.

Дробь принимает вид:

$\frac{\cos 2x}{(\sin x + \cos x)^2}$

Применим еще одну формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

$\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2}$

Сократим на $(\cos x + \sin x)$:

$\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$

Разделим числитель и знаменатель на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$\frac{\frac{\cos x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

9) Докажем тождество $\cos 4\beta - \sin 4\beta \operatorname{ctg} 2\beta = \cos 2\beta - 2\cos^2\beta$.

Преобразуем левую часть. Заменим $\operatorname{ctg} 2\beta = \frac{\cos 2\beta}{\sin 2\beta}$ и $\sin 4\beta = 2 \sin 2\beta \cos 2\beta$.

$\cos 4\beta - (2 \sin 2\beta \cos 2\beta) \frac{\cos 2\beta}{\sin 2\beta}$

Сократим $\sin 2\beta$:

$\cos 4\beta - 2 \cos^2 2\beta$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4\beta = 2 \cos^2 2\beta - 1$:

$(2 \cos^2 2\beta - 1) - 2 \cos^2 2\beta = -1$.

Теперь преобразуем правую часть. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\beta = 2\cos^2\beta - 1$.

$(2\cos^2\beta - 1) - 2\cos^2\beta = -1$.

Так как левая и правая части равны -1, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

10) Докажем тождество $\cos^2 y - \sin^2 2y = \cos^2 y (1 - 4\sin^2 y)$.

Преобразуем левую часть, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2y = 2 \sin y \cos y$.

$\cos^2 y - (2 \sin y \cos y)^2$

Возведем в квадрат выражение в скобках:

$\cos^2 y - 4 \sin^2 y \cos^2 y$

Вынесем общий множитель $\cos^2 y$ за скобки:

$\cos^2 y (1 - 4 \sin^2 y)$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.