Номер 4.144, страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.144. Напишите в виде произведения:

1) $\sqrt{3}-2\cos\varphi$;

2) $2\sin\varphi-\sqrt{3}$;

3) $\sqrt{2}+2\cos\varphi$;

4) $0,5-\sin\varphi$.

1) Чтобы преобразовать выражение $\sqrt{3}-2\cos\varphi$ в произведение, вынесем множитель 2 за скобки:

$2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\varphi)$

Представим число $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как значение косинуса. Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это в выражение:

$2(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\varphi)$

Теперь воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha=\frac{\pi}{6}$ и $\beta=\varphi$.

$2 \cdot (-2\sin\frac{\frac{\pi}{6}+\varphi}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{6}-\varphi}{2}) = -4\sin(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\varphi}{2})$

Так как синус является нечетной функцией ($\sin(-x) = -\sin(x)$), мы можем записать $\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\varphi}{2}) = -\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{12})$. Тогда выражение примет вид:

$-4\sin(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})[-\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{12})] = 4\sin(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{12})$

Ответ: $4\sin(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{12})$.

2) Для преобразования выражения $2\sin\varphi-\sqrt{3}$ вынесем 2 за скобки:

$2(\sin\varphi - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Заменим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на значение синуса, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$2(\sin\varphi - \sin\frac{\pi}{3})$

Применим формулу разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha=\varphi$ и $\beta=\frac{\pi}{3}$.

$2 \cdot (2\cos\frac{\varphi+\frac{\pi}{3}}{2}\sin\frac{\varphi-\frac{\pi}{3}}{2}) = 4\cos(\frac{\varphi}{2}+\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{6})$

Ответ: $4\cos(\frac{\varphi}{2}+\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{6})$.

3) Для преобразования выражения $\sqrt{2}+2\cos\varphi$ вынесем множитель 2 за скобки:

$2(\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\varphi)$

Представим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ как значение косинуса, $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$2(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\varphi)$

Применим формулу суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В данном случае $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и $\beta=\varphi$.

$2 \cdot (2\cos\frac{\frac{\pi}{4}+\varphi}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{4}-\varphi}{2}) = 4\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\varphi}{2})\cos(\frac{\pi}{8}-\frac{\varphi}{2})$

Ответ: $4\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\varphi}{2})\cos(\frac{\pi}{8}-\frac{\varphi}{2})$.

4) Рассмотрим выражение $0,5-\sin\varphi$. Представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$, а затем как значение синуса: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Выражение принимает вид: $\sin\frac{\pi}{6} - \sin\varphi$.

Применим формулу разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha=\frac{\pi}{6}$ и $\beta=\varphi$.

$2\cos\frac{\frac{\pi}{6}+\varphi}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{6}-\varphi}{2} = 2\cos(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\varphi}{2})$

Ответ: $2\cos(\frac{\pi}{12}+\frac{\varphi}{2})\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\varphi}{2})$.