Номер 4.150, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.150. Вычислите:

1) $sin^2 \frac{\pi}{8} + cos^2 \frac{3\pi}{8} + sin^2 \frac{5\pi}{8} + cos^2 \frac{7\pi}{8};$

2) $tg435^\circ+tg375^\circ;$

3) $tg255^\circ-tg195^\circ;$

4) $ctg \left(\frac{13\pi}{12}\right) - ctg \left(\frac{5\pi}{12}\right);$

5) $sin \left(2x + \frac{5\pi}{4}\right)$ при $tgx = \frac{2}{3};$

6) $cos \left(2x + \frac{7\pi}{4}\right)$ при $ctgx = \frac{2}{3};$

7) $sin2x$ при $sinx-cosx=p;$

8) $tg \left(\frac{5\pi}{4} + x\right) + tg \left(\frac{5\pi}{4} - x\right)$ при $tg \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 0,75;$

9) $sin \frac{x+y}{2}$ и $cos \frac{x+y}{2}$ при $sinx + siny = -\frac{21}{65}$, $cosx+cosy = -\frac{27}{65}$, $\frac{5\pi}{2} < x < 3\pi$ и $-\frac{\pi}{2} < y < 0.$

1)

Для вычисления данного выражения воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{7\pi}{8}) + (\cos^2 \frac{3\pi}{8} + \sin^2 \frac{5\pi}{8})$

Рассмотрим первую группу. Используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$:

$\cos \frac{7\pi}{8} = \cos(\pi - \frac{\pi}{8}) = -\cos \frac{\pi}{8}$

Тогда $\cos^2 \frac{7\pi}{8} = (-\cos \frac{\pi}{8})^2 = \cos^2 \frac{\pi}{8}$.

Следовательно, первая группа равна:

$\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1$

Рассмотрим вторую группу. Используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$:

$\sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8}$

Тогда $\sin^2 \frac{5\pi}{8} = \sin^2 \frac{3\pi}{8}$.

Следовательно, вторая группа равна:

$\cos^2 \frac{3\pi}{8} + \sin^2 \frac{3\pi}{8} = 1$

Итоговая сумма равна $1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

2)

Сначала приведем углы к значениям в пределах от 0 до 90 градусов, используя периодичность тангенса (период $180^\circ$ или $360^\circ$):

$\text{tg}435^\circ = \text{tg}(360^\circ + 75^\circ) = \text{tg}75^\circ$

$\text{tg}375^\circ = \text{tg}(360^\circ + 15^\circ) = \text{tg}15^\circ$

Таким образом, выражение сводится к $\text{tg}75^\circ + \text{tg}15^\circ$.

Вычислим значения тангенсов, используя формулы для суммы и разности углов:

$\text{tg}75^\circ = \text{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\text{tg}45^\circ + \text{tg}30^\circ}{1 - \text{tg}45^\circ \text{tg}30^\circ} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

$\text{tg}15^\circ = \text{tg}(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\text{tg}45^\circ - \text{tg}30^\circ}{1 + \text{tg}45^\circ \text{tg}30^\circ} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

Теперь найдем сумму:

$\text{tg}75^\circ + \text{tg}15^\circ = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$

Ответ: 4

3)

Приведем углы к значениям в пределах от 0 до 90 градусов, используя свойство периодичности тангенса (период $180^\circ$):

$\text{tg}255^\circ = \text{tg}(180^\circ + 75^\circ) = \text{tg}75^\circ$

$\text{tg}195^\circ = \text{tg}(180^\circ + 15^\circ) = \text{tg}15^\circ$

Выражение принимает вид $\text{tg}75^\circ - \text{tg}15^\circ$.

Используя значения, вычисленные в предыдущем задании ($\text{tg}75^\circ = 2+\sqrt{3}$ и $\text{tg}15^\circ = 2-\sqrt{3}$):

$\text{tg}75^\circ - \text{tg}15^\circ = (2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

4)

Воспользуемся формулой приведения $\text{ctg}(\pi+\alpha) = \text{ctg}\alpha$:

$\text{ctg}(\frac{13\pi}{12}) = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{12}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{12})$

Выражение принимает вид $\text{ctg}(\frac{\pi}{12}) - \text{ctg}(\frac{5\pi}{12})$.

Заметим, что $\frac{\pi}{12} = 15^\circ$ и $\frac{5\pi}{12} = 75^\circ$.

Нам нужно вычислить $\text{ctg}15^\circ - \text{ctg}75^\circ$.

Так как $\text{ctg}\alpha = 1/\text{tg}\alpha$, используя значения из задания 2:

$\text{ctg}15^\circ = \frac{1}{\text{tg}15^\circ} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

$\text{ctg}75^\circ = \frac{1}{\text{tg}75^\circ} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$

Найдем разность:

$\text{ctg}15^\circ - \text{ctg}75^\circ = (2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

5)

Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

$\sin(2x + \frac{5\pi}{4}) = \sin(2x)\cos(\frac{5\pi}{4}) + \cos(2x)\sin(\frac{5\pi}{4})$

Найдем значения косинуса и синуса для угла $\frac{5\pi}{4}$:

$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$\sin(2x)(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos(2x)(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin(2x) + \cos(2x))$

Теперь выразим $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$ через $\text{tg}x = \frac{2}{3}$ по формулам универсальной тригонометрической подстановки:

$\sin(2x) = \frac{2\text{tg}x}{1+\text{tg}^2x} = \frac{2 \cdot \frac{2}{3}}{1+(\frac{2}{3})^2} = \frac{\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{9}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{13}{9}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{13} = \frac{12}{13}$

$\cos(2x) = \frac{1-\text{tg}^2x}{1+\text{tg}^2x} = \frac{1-(\frac{2}{3})^2}{1+(\frac{2}{3})^2} = \frac{1-\frac{4}{9}}{1+\frac{4}{9}} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{13}{9}} = \frac{5}{13}$

Подставим найденные значения в итоговое выражение:

$-\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{12}{13} + \frac{5}{13}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{17}{13}) = -\frac{17\sqrt{2}}{26}$

Ответ: $-\frac{17\sqrt{2}}{26}$

6)

Из условия $\text{ctg}x = \frac{2}{3}$ следует, что $\text{tg}x = \frac{1}{\text{ctg}x} = \frac{3}{2}$.

Используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

$\cos(2x + \frac{7\pi}{4}) = \cos(2x)\cos(\frac{7\pi}{4}) - \sin(2x)\sin(\frac{7\pi}{4})$

Найдем значения косинуса и синуса для угла $\frac{7\pi}{4}$:

$\cos(\frac{7\pi}{4}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{7\pi}{4}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$\cos(2x)(\frac{\sqrt{2}}{2}) - \sin(2x)(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos(2x) + \sin(2x))$

Выразим $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$ через $\text{tg}x = \frac{3}{2}$:

$\sin(2x) = \frac{2\text{tg}x}{1+\text{tg}^2x} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{1+(\frac{3}{2})^2} = \frac{3}{1+\frac{9}{4}} = \frac{3}{\frac{13}{4}} = \frac{12}{13}$

$\cos(2x) = \frac{1-\text{tg}^2x}{1+\text{tg}^2x} = \frac{1-(\frac{3}{2})^2}{1+(\frac{3}{2})^2} = \frac{1-\frac{9}{4}}{1+\frac{9}{4}} = \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{13}{4}} = -\frac{5}{13}$

Подставим найденные значения в итоговое выражение:

$\frac{\sqrt{2}}{2}(-\frac{5}{13} + \frac{12}{13}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{7}{13}) = \frac{7\sqrt{2}}{26}$

Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{26}$

7)

Дано равенство $\sin x - \cos x = p$.

Чтобы найти $\sin 2x$, возведем обе части данного равенства в квадрат:

$(\sin x - \cos x)^2 = p^2$

$\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = p^2$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получим:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) - 2\sin x \cos x = p^2$

$1 - \sin 2x = p^2$

Выразим $\sin 2x$:

$\sin 2x = 1 - p^2$

Ответ: $1-p^2$

8)

Сначала найдем $\text{tg}x$ из условия $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + x) = 0,75$.

Используя формулу приведения $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}\alpha$, получаем:

$-\text{ctg}x = 0,75 = \frac{3}{4}$

Отсюда $\text{ctg}x = -\frac{3}{4}$, и $\text{tg}x = \frac{1}{\text{ctg}x} = -\frac{4}{3}$.

Теперь преобразуем искомое выражение $\text{tg}(\frac{5\pi}{4} + x) + \text{tg}(\frac{5\pi}{4} - x)$.

Используем формулы тангенса суммы и разности. Заметим, что $\text{tg}(\frac{5\pi}{4}) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

$\text{tg}(\frac{5\pi}{4} + x) = \frac{\text{tg}(\frac{5\pi}{4}) + \text{tg}x}{1 - \text{tg}(\frac{5\pi}{4})\text{tg}x} = \frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x}$

$\text{tg}(\frac{5\pi}{4} - x) = \frac{\text{tg}(\frac{5\pi}{4}) - \text{tg}x}{1 + \text{tg}(\frac{5\pi}{4})\text{tg}x} = \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x} + \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x} = \frac{(1 + \text{tg}x)^2 + (1 - \text{tg}x)^2}{(1 - \text{tg}x)(1 + \text{tg}x)} = \frac{(1+2\text{tg}x+\text{tg}^2x) + (1-2\text{tg}x+\text{tg}^2x)}{1-\text{tg}^2x} = \frac{2+2\text{tg}^2x}{1-\text{tg}^2x}$

Подставим значение $\text{tg}x = -\frac{4}{3}$. Тогда $\text{tg}^2x = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.

$\frac{2+2(\frac{16}{9})}{1-\frac{16}{9}} = \frac{2(1+\frac{16}{9})}{1-\frac{16}{9}} = \frac{2(\frac{25}{9})}{-\frac{7}{9}} = \frac{2 \cdot 25}{-7} = -\frac{50}{7}$

Ответ: $-\frac{50}{7}$

9)

Используем формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$\sin x + \sin y = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) = -\frac{21}{65}$

$\cos x + \cos y = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) = -\frac{27}{65}$

Разделим первое уравнение на второе (это возможно, так как правые части не равны нулю):

$\frac{2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})}{2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})} = \frac{-21/65}{-27/65}$

$\text{tg}(\frac{x+y}{2}) = \frac{21}{27} = \frac{7}{9}$

Теперь определим, в какой четверти находится угол $\frac{x+y}{2}$. Из условий задачи:

$\frac{5\pi}{2} < x < 3\pi$

$-\frac{\pi}{2} < y < 0$

Сложим эти неравенства:

$\frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < x+y < 3\pi + 0 \implies \frac{4\pi}{2} < x+y < 3\pi \implies 2\pi < x+y < 3\pi$

Разделим неравенство на 2:

$\pi < \frac{x+y}{2} < \frac{3\pi}{2}$

Это соответствует третьей координатной четверти, где и синус, и косинус отрицательны.

Зная $\text{tg}(\frac{x+y}{2}) = \frac{7}{9}$, найдем синус и косинус. Пусть $\alpha = \frac{x+y}{2}$.

Из тождества $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:

$\cos^2\alpha = \frac{1}{1+\text{tg}^2\alpha} = \frac{1}{1+(\frac{7}{9})^2} = \frac{1}{1+\frac{49}{81}} = \frac{1}{\frac{130}{81}} = \frac{81}{130}$

Так как $\alpha$ в третьей четверти, $\cos\alpha < 0$, поэтому:

$\cos(\frac{x+y}{2}) = -\sqrt{\frac{81}{130}} = -\frac{9}{\sqrt{130}} = -\frac{9\sqrt{130}}{130}$

Найдем синус: $\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$.

$\sin(\frac{x+y}{2}) = \frac{7}{9} \cdot (-\frac{9}{\sqrt{130}}) = -\frac{7}{\sqrt{130}} = -\frac{7\sqrt{130}}{130}$

Ответ: $\sin(\frac{x+y}{2}) = -\frac{7\sqrt{130}}{130}$, $\cos(\frac{x+y}{2}) = -\frac{9\sqrt{130}}{130}$