Номер 4.149, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.149. Разложите на множители:

1) $\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + \text{ctg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + 2$;

2) $\text{sin}4\beta - 2\text{cos}^22\beta + 1$;

3) $\text{cos}^{-4}y - \text{sin}^{-4}y$;

4) $\frac{\text{tg}^4\beta - \text{tg}^6\beta}{\text{ctg}^4\beta - \text{ctg}^2\beta}$;

5) $\frac{\text{sin}\varphi - 2\text{cos}3\varphi - \text{sin}5\varphi}{-\text{cos}\varphi - 2\text{sin}3\varphi + \text{cos}5\varphi}$;

6) $\frac{\text{sin}4\varphi + \text{sin}5\varphi + \text{sin}6\varphi}{\text{cos}4\varphi + \text{cos}5\varphi + \text{cos}6\varphi}$;

7) $\text{sin}5\varphi - \text{sin}6\varphi - \text{sin}7\varphi + \text{sin}8\varphi$;

8) $\text{cos}3\varphi - \text{cos}4\varphi - \text{cos}5\varphi + \text{cos}6\varphi$;

9) $\text{sin}2\alpha + \text{sin}4\alpha + \text{sin}6\alpha$;

10) $3 + 4\text{cos}4\alpha + \text{cos}8\alpha$.

1) Преобразуем выражение, представив тангенс и котангенс через синус и косинус:
$\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + \text{ctg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + 2 = \frac{\sin(\beta/2)}{\cos(\beta/2)} + \frac{\cos(\beta/2)}{\sin(\beta/2)} + 2$
Приведем к общему знаменателю первые два слагаемых:
$\frac{\sin^2(\beta/2) + \cos^2(\beta/2)}{\sin(\beta/2)\cos(\beta/2)} + 2$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$:
$\frac{1}{\sin(\beta/2)\cos(\beta/2)} + 2$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1 + 2\sin(\beta/2)\cos(\beta/2)}{\sin(\beta/2)\cos(\beta/2)}$
В числителе используем тождество $1 = \sin^2(\beta/2) + \cos^2(\beta/2)$, что позволяет нам увидеть формулу квадрата суммы:
$\frac{\sin^2(\beta/2) + \cos^2(\beta/2) + 2\sin(\beta/2)\cos(\beta/2)}{\sin(\beta/2)\cos(\beta/2)} = \frac{(\sin(\beta/2) + \cos(\beta/2))^2}{\sin(\beta/2)\cos(\beta/2)}$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin\beta = 2\sin(\beta/2)\cos(\beta/2)$, можно также записать ответ в другом виде:
$\frac{2(1 + \sin\beta)}{\sin\beta}$
Ответ: $\frac{(\sin(\beta/2) + \cos(\beta/2))^2}{\sin(\beta/2)\cos(\beta/2)}$

2) Сгруппируем второе и третье слагаемые и вынесем минус за скобки:
$\sin(4\beta) - 2\cos^2(2\beta) + 1 = \sin(4\beta) - (2\cos^2(2\beta) - 1)$
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2A) = 2\cos^2(A) - 1$, где $A = 2\beta$:
$\sin(4\beta) - \cos(4\beta)$
Для разложения на множители этой разности используем метод вспомогательного угла:
$\sin(4\beta) - \cos(4\beta) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(4\beta) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(4\beta)\right)$
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получаем:
$\sqrt{2}\left(\sin(4\beta)\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(4\beta)\sin(\frac{\pi}{4})\right)$
Применяя формулу синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$, получаем:
$\sqrt{2}\sin\left(4\beta - \frac{\pi}{4}\right)$
Ответ: $\sqrt{2}\sin\left(4\beta - \frac{\pi}{4}\right)$

3) Представим выражение в виде дробей:
$\cos^{-4}y - \sin^{-4}y = \frac{1}{\cos^4 y} - \frac{1}{\sin^4 y}$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\sin^4 y - \cos^4 y}{\cos^4 y \sin^4 y}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов:
$\sin^4 y - \cos^4 y = (\sin^2 y - \cos^2 y)(\sin^2 y + \cos^2 y)$
Используя тождества $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ и $\cos^2 y - \sin^2 y = \cos(2y)$, получаем для числителя:
$-(\cos^2 y - \sin^2 y)(1) = -\cos(2y)$
Преобразуем знаменатель, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2y) = 2\sin y \cos y$:
$\cos^4 y \sin^4 y = (\sin y \cos y)^4 = \left(\frac{\sin(2y)}{2}\right)^4 = \frac{\sin^4(2y)}{16}$
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{-\cos(2y)}{\frac{\sin^4(2y)}{16}} = -\frac{16\cos(2y)}{\sin^4(2y)}$
Ответ: $-\frac{16\cos(2y)}{\sin^4(2y)}$

4) Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
$\frac{\text{tg}^4\beta - \text{tg}^6\beta}{\text{ctg}^4\beta - \text{ctg}^2\beta} = \frac{\text{tg}^4\beta(1 - \text{tg}^2\beta)}{\text{ctg}^2\beta(\text{ctg}^2\beta - 1)}$
Используем тождество $\text{ctg}\beta = \frac{1}{\text{tg}\beta}$ для преобразования знаменателя:
$\text{ctg}^2\beta(\text{ctg}^2\beta - 1) = \frac{1}{\text{tg}^2\beta}\left(\frac{1}{\text{tg}^2\beta} - 1\right) = \frac{1}{\text{tg}^2\beta}\left(\frac{1 - \text{tg}^2\beta}{\text{tg}^2\beta}\right) = \frac{1 - \text{tg}^2\beta}{\text{tg}^4\beta}$
Подставим преобразованный знаменатель в исходное выражение:
$\frac{\text{tg}^4\beta(1 - \text{tg}^2\beta)}{\frac{1 - \text{tg}^2\beta}{\text{tg}^4\beta}}$
Сократим общий множитель $(1 - \text{tg}^2\beta)$:
$\frac{\text{tg}^4\beta}{1/\text{tg}^4\beta} = \text{tg}^4\beta \cdot \text{tg}^4\beta = \text{tg}^8\beta$
Ответ: $\text{tg}^8\beta$

5) Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы преобразования суммы в произведение.
Числитель: $(\sin\varphi - \sin(5\varphi)) - 2\cos(3\varphi)$.
Используем $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:
$2\cos\left(\frac{\varphi+5\varphi}{2}\right)\sin\left(\frac{\varphi-5\varphi}{2}\right) - 2\cos(3\varphi) = 2\cos(3\varphi)\sin(-2\varphi) - 2\cos(3\varphi) = -2\cos(3\varphi)\sin(2\varphi) - 2\cos(3\varphi) = -2\cos(3\varphi)(\sin(2\varphi) + 1)$
Знаменатель: $(\cos(5\varphi) - \cos\varphi) - 2\sin(3\varphi)$.
Используем $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:
$-2\sin\left(\frac{5\varphi+\varphi}{2}\right)\sin\left(\frac{5\varphi-\varphi}{2}\right) - 2\sin(3\varphi) = -2\sin(3\varphi)\sin(2\varphi) - 2\sin(3\varphi) = -2\sin(3\varphi)(\sin(2\varphi) + 1)$
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{-2\cos(3\varphi)(\sin(2\varphi) + 1)}{-2\sin(3\varphi)(\sin(2\varphi) + 1)} = \frac{\cos(3\varphi)}{\sin(3\varphi)} = \text{ctg}(3\varphi)$
Ответ: $\text{ctg}(3\varphi)$

6) Сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе.
Числитель: $(\sin(4\varphi) + \sin(6\varphi)) + \sin(5\varphi)$.
Используем $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:
$2\sin\left(\frac{4\varphi+6\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{4\varphi-6\varphi}{2}\right) + \sin(5\varphi) = 2\sin(5\varphi)\cos(-\varphi) + \sin(5\varphi) = 2\sin(5\varphi)\cos\varphi + \sin(5\varphi) = \sin(5\varphi)(2\cos\varphi + 1)$
Знаменатель: $(\cos(4\varphi) + \cos(6\varphi)) + \cos(5\varphi)$.
Используем $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:
$2\cos\left(\frac{4\varphi+6\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{4\varphi-6\varphi}{2}\right) + \cos(5\varphi) = 2\cos(5\varphi)\cos(-\varphi) + \cos(5\varphi) = 2\cos(5\varphi)\cos\varphi + \cos(5\varphi) = \cos(5\varphi)(2\cos\varphi + 1)$
Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{\sin(5\varphi)(2\cos\varphi + 1)}{\cos(5\varphi)(2\cos\varphi + 1)} = \frac{\sin(5\varphi)}{\cos(5\varphi)} = \text{tg}(5\varphi)$
Ответ: $\text{tg}(5\varphi)$

7) Сгруппируем слагаемые: $(\sin(8\varphi) - \sin(6\varphi)) - (\sin(7\varphi) - \sin(5\varphi))$.
Применим формулу $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ к каждой группе:
$\sin(8\varphi) - \sin(6\varphi) = 2\cos(7\varphi)\sin(\varphi)$
$\sin(7\varphi) - \sin(5\varphi) = 2\cos(6\varphi)\sin(\varphi)$
Подставим обратно в выражение:
$2\cos(7\varphi)\sin(\varphi) - 2\cos(6\varphi)\sin(\varphi) = 2\sin(\varphi)(\cos(7\varphi) - \cos(6\varphi))$
Применим формулу $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ к выражению в скобках:
$\cos(7\varphi) - \cos(6\varphi) = -2\sin\left(\frac{13\varphi}{2}\right)\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)$
Окончательно получаем:
$2\sin(\varphi)\left(-2\sin\left(\frac{13\varphi}{2}\right)\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right) = -4\sin(\varphi)\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin\left(\frac{13\varphi}{2}\right)$
Ответ: $-4\sin(\varphi)\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin\left(\frac{13\varphi}{2}\right)$

8) Сгруппируем слагаемые: $(\cos(6\varphi) + \cos(3\varphi)) - (\cos(5\varphi) + \cos(4\varphi))$.
Применим формулу $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ к каждой группе:
$\cos(6\varphi) + \cos(3\varphi) = 2\cos\left(\frac{9\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{3\varphi}{2}\right)$
$\cos(5\varphi) + \cos(4\varphi) = 2\cos\left(\frac{9\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)$
Подставим обратно в выражение:
$2\cos\left(\frac{9\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{3\varphi}{2}\right) - 2\cos\left(\frac{9\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{9\varphi}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{3\varphi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)$
Применим формулу $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ к выражению в скобках:
$\cos\left(\frac{3\varphi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) = -2\sin\left(\frac{3\varphi/2+\varphi/2}{2}\right)\sin\left(\frac{3\varphi/2-\varphi/2}{2}\right) = -2\sin(\varphi)\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)$
Окончательно получаем:
$2\cos\left(\frac{9\varphi}{2}\right)\left(-2\sin(\varphi)\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right) = -4\sin(\varphi)\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{9\varphi}{2}\right)$
Ответ: $-4\sin(\varphi)\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{9\varphi}{2}\right)$

9) Сгруппируем первое и третье слагаемые: $(\sin(2\alpha) + \sin(6\alpha)) + \sin(4\alpha)$.
Применим формулу $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:
$2\sin\left(\frac{2\alpha+6\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{2\alpha-6\alpha}{2}\right) + \sin(4\alpha) = 2\sin(4\alpha)\cos(-2\alpha) + \sin(4\alpha)$
Так как $\cos(-x) = \cos(x)$, получаем:
$2\sin(4\alpha)\cos(2\alpha) + \sin(4\alpha)$
Вынесем общий множитель $\sin(4\alpha)$ за скобки:
$\sin(4\alpha)(2\cos(2\alpha) + 1)$
Ответ: $\sin(4\alpha)(2\cos(2\alpha) + 1)$

10)
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2A) = 2\cos^2A - 1$. Для $\cos(8\alpha)$ имеем $A=4\alpha$, так что $\cos(8\alpha) = 2\cos^2(4\alpha) - 1$.
Подставим это в исходное выражение:
$3 + 4\cos(4\alpha) + (2\cos^2(4\alpha) - 1) = 2\cos^2(4\alpha) + 4\cos(4\alpha) + 2$
Вынесем 2 за скобки:
$2(\cos^2(4\alpha) + 2\cos(4\alpha) + 1)$
Выражение в скобках является полным квадратом $(\cos(4\alpha) + 1)^2$:
$2(\cos(4\alpha) + 1)^2$
Теперь используем формулу понижения степени (или косинуса двойного угла) $1 + \cos(2A) = 2\cos^2A$. Для $A=2\alpha$, имеем $1 + \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha)$.
Подставим это в наше выражение:
$2(2\cos^2(2\alpha))^2 = 2(4\cos^4(2\alpha)) = 8\cos^4(2\alpha)$
Ответ: $8\cos^4(2\alpha)$