Номер 4.151, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.151. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения

$\frac{2 \cos^2 x + \cos 4x - 1}{\cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}}$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений выражения, сначала упростим его. Исходное выражение: $E(x) = \displaystyle\frac{2 \cos^2 x + \cos 4x - 1}{\cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}}$.

Упрощение числителя
Используем формулу косинуса двойного угла $2\cos^2\alpha - 1 = \cos(2\alpha)$. Числитель преобразуется к виду:
$2 \cos^2 x + \cos 4x - 1 = (2 \cos^2 x - 1) + \cos 4x = \cos(2x) + \cos(4x)$.

Упрощение знаменателя
Применим формулу разности квадратов $a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$:
$\cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} = (\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2})$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$, получаем, что знаменатель равен $(\cos x) \cdot 1 = \cos x$.

Упрощение всего выражения
Область определения выражения задается условием $\cos x \neq 0$. Подставив упрощенные части, получаем:
$E(x) = \displaystyle\frac{\cos(2x) + \cos(4x)}{\cos x}$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}$ к числителю:
$\cos(4x) + \cos(2x) = 2 \cos(3x) \cos(x)$.
Теперь выражение имеет вид:
$E(x) = \displaystyle\frac{2 \cos(3x) \cos(x)}{\cos x}$.
Так как $\cos x \neq 0$, мы можем сократить дробь:
$E(x) = 2 \cos(3x)$.

Нахождение наименьшего и наибольшего значений
Область значений функции $\cos(\theta)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для функции $E(x) = 2 \cos(3x)$ имеем: $-1 \le \cos(3x) \le 1$.
Умножив все части неравенства на 2, получаем: $-2 \le 2 \cos(3x) \le 2$.
Наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее равно 2. Эти значения достигаются, так как значения $x$, при которых $\cos(3x) = \pm 1$, не приводят к обращению знаменателя $\cos x$ в ноль.

Ответ: наименьшее значение выражения равно -2, наибольшее значение равно 2.