Номер 4.148, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.148. Упростите выражения:

1) $1 - \sin^2\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) - \cos^2\left(\frac{x}{4}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{4}\right);$

2) $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2} + 2\gamma\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{2} - 2\gamma\right);$

3) $\cos^2(\varphi+2\beta)+\sin^2(\varphi-2\beta)-1;$

4) $\sin^2(x+2y)+\sin^2(x-2y)-1;$

5) $(\cos\alpha-\cos2\beta)^2+(\sin\alpha+\sin2\beta)^2;$

6) $\frac{\text{ctg}^2\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right) - \cos^2\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right)}{\text{ctg}^2\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right) - \cos^2\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right)};$

7) $\frac{\text{ctg}(270^{\circ} - x)}{1 - \text{tg}^2(x - 180^{\circ})} \cdot \frac{\text{ctg}^2(360^{\circ} - x) - 1}{\text{ctg}(180^{\circ} + x)}.$

1) Упростим выражение $1 - \sin^2\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) - \cos^2\left(\frac{x}{4}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{4}\right)$.
Используем формулы приведения. Синус имеет период $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha - 3\pi) = \sin(\alpha - \pi) = -\sin(\alpha)$. Тогда $\sin\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) = -\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
Следовательно, $\sin^2\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) = \left(-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$.
Выражение принимает вид: $1 - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{4}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{4}\right)$.
Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $1 - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$.
Выражение становится: $\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \left(\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right)\right)$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$: $\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$.
Окончательно получаем: $\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{x}{2}\right)$.
Ответ: $\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{x}{2}\right)$.

2) Упростим выражение $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2} + 2\gamma\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{2} - 2\gamma\right)$.
Воспользуемся формулой разности квадратов синусов: $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$.
Пусть $A = \frac{\alpha}{2} + 2\gamma$ и $B = \frac{\alpha}{2} - 2\gamma$.
Тогда $A+B = \left(\frac{\alpha}{2} + 2\gamma\right) + \left(\frac{\alpha}{2} - 2\gamma\right) = \alpha$.
И $A-B = \left(\frac{\alpha}{2} + 2\gamma\right) - \left(\frac{\alpha}{2} - 2\gamma\right) = 4\gamma$.
Подставляя найденные значения в формулу, получаем: $\sin(4\gamma)\sin(\alpha)$.
Ответ: $\sin(\alpha)\sin(4\gamma)$.

3) Упростим выражение $\cos^2(\phi+2\beta)+\sin^2(\phi-2\beta)-1$.
Перегруппируем слагаемые: $\cos^2(\phi+2\beta) - (1 - \sin^2(\phi-2\beta))$.
По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$, выражение равно $\cos^2(\phi+2\beta) - \cos^2(\phi-2\beta)$.
Применим формулу разности квадратов косинусов $\cos^2 A - \cos^2 B = -\sin(A-B)\sin(A+B)$.
Пусть $A = \phi+2\beta$ и $B = \phi-2\beta$.
Тогда $A+B = (\phi+2\beta) + (\phi-2\beta) = 2\phi$.
И $A-B = (\phi+2\beta) - (\phi-2\beta) = 4\beta$.
Подставляя в формулу, получаем: $-\sin(4\beta)\sin(2\phi)$.
Ответ: $-\sin(2\phi)\sin(4\beta)$.

4) Упростим выражение $\sin^2(x+2y)+\sin^2(x-2y)-1$.
Воспользуемся формулами понижения степени $\sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}$.
$\frac{1-\cos(2(x+2y))}{2} + \frac{1-\cos(2(x-2y))}{2} - 1$
$= \frac{1-\cos(2x+4y) + 1-\cos(2x-4y) - 2}{2}$
$= \frac{-\cos(2x+4y) - \cos(2x-4y)}{2} = -\frac{\cos(2x+4y) + \cos(2x-4y)}{2}$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.
$= -\frac{2\cos\left(\frac{2x+4y+2x-4y}{2}\right)\cos\left(\frac{2x+4y-(2x-4y)}{2}\right)}{2}$
$= -\cos\left(\frac{4x}{2}\right)\cos\left(\frac{8y}{2}\right) = -\cos(2x)\cos(4y)$.
Ответ: $-\cos(2x)\cos(4y)$.

5) Упростим выражение $(\cos\alpha-\cos2\beta)^2+(\sin\alpha+\sin2\beta)^2$.
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности:
$= (\cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos2\beta + \cos^2 2\beta) + (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin2\beta + \sin^2 2\beta)$.
Сгруппируем слагаемые:
$= (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2 2\beta + \sin^2 2\beta) - 2\cos\alpha\cos2\beta + 2\sin\alpha\sin2\beta$.
Применим основное тригонометрическое тождество: $= 1 + 1 - 2(\cos\alpha\cos2\beta - \sin\alpha\sin2\beta)$.
Используем формулу косинуса суммы $\cos(A+B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B$:
$= 2 - 2\cos(\alpha+2\beta) = 2(1 - \cos(\alpha+2\beta))$.
Применим формулу $1-\cos\theta=2\sin^2\frac{\theta}{2}$:
$= 2 \cdot 2\sin^2\left(\frac{\alpha+2\beta}{2}\right) = 4\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)$.
Ответ: $4\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)$.

6) Упростим выражение $\frac{\text{ctg}^2\left(\beta+\frac{\pi}{2}\right)-\cos^2\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)}{\text{ctg}^2\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)-\cos^2\left(\beta+\frac{\pi}{2}\right)}$.
Применим формулы приведения:
$\text{ctg}\left(\beta+\frac{\pi}{2}\right) = -\tan\beta$
$\cos\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right) = \sin\beta$
$\text{ctg}\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right) = -\tan\beta$
$\cos\left(\beta+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\beta$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(-\tan\beta)^2 - (\sin\beta)^2}{(-\tan\beta)^2 - (-\sin\beta)^2} = \frac{\tan^2\beta - \sin^2\beta}{\tan^2\beta - \sin^2\beta}$.
Так как числитель и знаменатель равны (и не равны нулю в области определения), дробь равна 1.
Ответ: $1$.

7) Упростим выражение $\frac{\text{ctg}(270^\circ - x)}{1-\text{tg}^2(x - 180^\circ)} \cdot \frac{\text{ctg}^2(360^\circ - x)-1}{\text{ctg}(180^\circ + x)}$.
Применим формулы приведения:
$\text{ctg}(270^\circ - x) = \tan(x)$
$\text{tg}(x - 180^\circ) = \text{tg}(x)$ (период тангенса $180^\circ$)
$\text{ctg}(360^\circ - x) = \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$
$\text{ctg}(180^\circ + x) = \text{ctg}(x)$ (период котангенса $180^\circ$)
Подставляем в выражение:
$\frac{\tan(x)}{1-\tan^2(x)} \cdot \frac{(-\text{ctg}(x))^2-1}{\text{ctg}(x)} = \frac{\tan(x)}{1-\tan^2(x)} \cdot \frac{\text{ctg}^2(x)-1}{\text{ctg}(x)}$.
Используем формулы двойного угла для тангенса $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ и котангенса $\text{ctg}(2\alpha) = \frac{\text{ctg}^2\alpha-1}{2\text{ctg}\alpha}$.
Из этих формул следует: $\frac{\tan(x)}{1-\tan^2(x)} = \frac{1}{2}\tan(2x)$ и $\frac{\text{ctg}^2(x)-1}{\text{ctg}(x)} = 2\text{ctg}(2x)$.
Произведение равно: $\left(\frac{1}{2}\tan(2x)\right) \cdot (2\text{ctg}(2x)) = \tan(2x)\text{ctg}(2x) = 1$.
Ответ: $1$.