Номер 4.147, страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.147. Докажите тождества:

1) $ \frac{\operatorname{tg}2x + \operatorname{ctg}3y}{\operatorname{ctg}2x + \operatorname{tg}3y} = \frac{\operatorname{tg}2x}{\operatorname{tg}3y}; $

2) $ \operatorname{tg}\gamma + \operatorname{ctg}\gamma + \operatorname{tg}3\gamma + \operatorname{ctg}3\gamma = \frac{8 \cos^2 2\gamma}{\sin 6\gamma}; $

3) $ \frac{\sin 2x - \sin 3x + \sin 4x}{\cos 2x - \cos 3x + \cos 4x} = \operatorname{tg}3x; $

4) $ \sin^6 \frac{y}{2} - \cos^6 \frac{y}{2} = \frac{\sin^2 y - 4}{4} \cdot \cos y; $

5) $ \cos \left( \frac{3\pi}{2} + 4\alpha \right) + \sin (3\pi - 8\alpha) - \sin (4\pi - 12\alpha) = 4 \cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha; $

6) $ (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = 4\sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}; $

7) $ \frac{1 - \operatorname{tg} (90^\circ + \beta)}{1 + \operatorname{ctg} (360^\circ - \beta)} = \frac{\operatorname{tg} (180^\circ + \beta) + 1}{\operatorname{ctg} (270^\circ - \beta) - 1}; $

8) $ \frac{1 - 2\sin^2 x}{1 + \sin 2x} = \frac{1 - \operatorname{tg}x}{1 + \operatorname{tg}x}; $

9) $ \cos 4\beta - \sin 4\beta \operatorname{ctg} 2\beta = \cos 2\beta - 2\cos^2 \beta; $

10) $ \cos^2 y - \sin^2 2y = \cos^2 y (1 - 4\sin^2 y). $

1) Докажем тождество $\frac{\operatorname{tg} 2x + \operatorname{ctg} 3y}{\operatorname{ctg} 2x + \operatorname{tg} 3y} = \frac{\operatorname{tg} 2x}{\operatorname{tg} 3y}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя определения котангенса: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$.

$\frac{\operatorname{tg} 2x + \operatorname{ctg} 3y}{\operatorname{ctg} 2x + \operatorname{tg} 3y} = \frac{\operatorname{tg} 2x + \frac{1}{\operatorname{tg} 3y}}{\frac{1}{\operatorname{tg} 2x} + \operatorname{tg} 3y}$

Приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель дроби:

$\frac{\frac{\operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3y + 1}{\operatorname{tg} 3y}}{\frac{1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3y}{\operatorname{tg} 2x}}$

Разделим дроби, умножив верхнюю на перевернутую нижнюю:

$\frac{\operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3y + 1}{\operatorname{tg} 3y} \cdot \frac{\operatorname{tg} 2x}{1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3y}$

Сократим одинаковые множители $(1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3y)$:

$\frac{\operatorname{tg} 2x}{\operatorname{tg} 3y}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\operatorname{tg} \gamma + \operatorname{ctg} \gamma + \operatorname{tg} 3\gamma + \operatorname{ctg} 3\gamma = \frac{8 \cos^2 2\gamma}{\sin 6\gamma}$.

Сгруппируем слагаемые в левой части и воспользуемся формулой $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{\sin 2\alpha}$.

$(\operatorname{tg} \gamma + \operatorname{ctg} \gamma) + (\operatorname{tg} 3\gamma + \operatorname{ctg} 3\gamma) = \frac{2}{\sin 2\gamma} + \frac{2}{\sin(2 \cdot 3\gamma)} = \frac{2}{\sin 2\gamma} + \frac{2}{\sin 6\gamma}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2\sin 6\gamma + 2\sin 2\gamma}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma} = \frac{2(\sin 6\gamma + \sin 2\gamma)}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma}$

Применим формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$:

$\sin 6\gamma + \sin 2\gamma = 2 \sin \frac{6\gamma+2\gamma}{2} \cos \frac{6\gamma-2\gamma}{2} = 2 \sin 4\gamma \cos 2\gamma$

Подставим обратно в выражение:

$\frac{2(2 \sin 4\gamma \cos 2\gamma)}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma} = \frac{4 \sin 4\gamma \cos 2\gamma}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma}$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 4\gamma = 2 \sin 2\gamma \cos 2\gamma$:

$\frac{4 (2 \sin 2\gamma \cos 2\gamma) \cos 2\gamma}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma} = \frac{8 \sin 2\gamma \cos^2 2\gamma}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma}$

Сократим $\sin 2\gamma$:

$\frac{8 \cos^2 2\gamma}{\sin 6\gamma}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{\sin 2x - \sin 3x + \sin 4x}{\cos 2x - \cos 3x + \cos 4x} = \operatorname{tg} 3x$.

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

$\frac{(\sin 4x + \sin 2x) - \sin 3x}{(\cos 4x + \cos 2x) - \cos 3x}$

Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin 4x + \sin 2x = 2 \sin \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} = 2 \sin 3x \cos x$

$\cos 4x + \cos 2x = 2 \cos \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} = 2 \cos 3x \cos x$

Подставим в дробь:

$\frac{2 \sin 3x \cos x - \sin 3x}{2 \cos 3x \cos x - \cos 3x}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\frac{\sin 3x (2 \cos x - 1)}{\cos 3x (2 \cos x - 1)}$

Сократим $(2 \cos x - 1)$:

$\frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \operatorname{tg} 3x$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\sin^6 \frac{y}{2} - \cos^6 \frac{y}{2} = \frac{\sin^2 y - 4}{4} \cos y$.

Представим левую часть как разность кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = \sin^2 \frac{y}{2}$ и $b = \cos^2 \frac{y}{2}$:

$(\sin^2 \frac{y}{2} - \cos^2 \frac{y}{2})(\sin^4 \frac{y}{2} + \sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2} + \cos^4 \frac{y}{2})$

Преобразуем первый множитель: $\sin^2 \frac{y}{2} - \cos^2 \frac{y}{2} = -(\cos^2 \frac{y}{2} - \sin^2 \frac{y}{2}) = -\cos y$.

Преобразуем второй множитель: $\sin^4 \frac{y}{2} + \cos^4 \frac{y}{2} = (\sin^2 \frac{y}{2} + \cos^2 \frac{y}{2})^2 - 2\sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2} = 1 - 2\sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2}$.

Тогда второй множитель равен $(1 - 2\sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2}) + \sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2} = 1 - \sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2}$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin y = 2 \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2}$, откуда $\sin^2 y = 4 \sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2}$, следовательно $\sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2} = \frac{\sin^2 y}{4}$.

Второй множитель равен $1 - \frac{\sin^2 y}{4} = \frac{4 - \sin^2 y}{4}$.

Перемножим полученные выражения:

$(-\cos y) \left( \frac{4 - \sin^2 y}{4} \right) = \frac{-(4 - \sin^2 y)}{4} \cos y = \frac{\sin^2 y - 4}{4} \cos y$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5) Докажем тождество $\cos(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha) + \sin(3\pi - 8\alpha) - \sin(4\pi - 12\alpha) = 4 \cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha$.

Упростим левую часть с помощью формул приведения:

$\cos(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha) = \sin 4\alpha$

$\sin(3\pi - 8\alpha) = \sin(\pi - 8\alpha) = \sin 8\alpha$

$\sin(4\pi - 12\alpha) = \sin(-12\alpha) = -\sin 12\alpha$

Левая часть принимает вид:

$\sin 4\alpha + \sin 8\alpha - (-\sin 12\alpha) = \sin 12\alpha + \sin 8\alpha + \sin 4\alpha$

Сгруппируем слагаемые $(\sin 8\alpha + \sin 4\alpha)$ и применим формулу суммы синусов:

$\sin 8\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin \frac{8\alpha+4\alpha}{2} \cos \frac{8\alpha-4\alpha}{2} = 2 \sin 6\alpha \cos 2\alpha$

Выражение принимает вид:

$\sin 12\alpha + 2 \sin 6\alpha \cos 2\alpha$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 12\alpha = 2 \sin 6\alpha \cos 6\alpha$:

$2 \sin 6\alpha \cos 6\alpha + 2 \sin 6\alpha \cos 2\alpha$

Вынесем общий множитель $2 \sin 6\alpha$:

$2 \sin 6\alpha (\cos 6\alpha + \cos 2\alpha)$

Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$:

$\cos 6\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos \frac{6\alpha+2\alpha}{2} \cos \frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha$

Подставим обратно:

$2 \sin 6\alpha (2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha) = 4 \sin 6\alpha \cos 4\alpha \cos 2\alpha$

Переставим множители: $4 \cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6) Докажем тождество $(\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим формулы разности косинусов и разности синусов к выражениям в скобках:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

Подставим в левую часть тождества:

$\left(-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2 + \left(2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2$

Возведем в квадрат:

$4 \sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2} \sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2} + 4 \cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2} \sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2}$

Вынесем общий множитель $4 \sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2}$ за скобки:

$4 \sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2} \left(\sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2} + \cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2}\right)$

Выражение в скобках равно 1 по основному тригонометрическому тождеству:

$4 \sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2} \cdot 1 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

7) Докажем тождество $\frac{1 - \operatorname{tg}(90^\circ + \beta)}{1 + \operatorname{ctg}(360^\circ - \beta)} = \frac{\operatorname{tg}(180^\circ + \beta) + 1}{\operatorname{ctg}(270^\circ - \beta) - 1}$.

Преобразуем левую и правую части отдельно, используя формулы приведения.

Левая часть:

$\operatorname{tg}(90^\circ + \beta) = -\operatorname{ctg} \beta$

$\operatorname{ctg}(360^\circ - \beta) = \operatorname{ctg}(-\beta) = -\operatorname{ctg} \beta$

$\frac{1 - (-\operatorname{ctg} \beta)}{1 + (-\operatorname{ctg} \beta)} = \frac{1 + \operatorname{ctg} \beta}{1 - \operatorname{ctg} \beta}$

Правая часть:

$\operatorname{tg}(180^\circ + \beta) = \operatorname{tg} \beta$

$\operatorname{ctg}(270^\circ - \beta) = \operatorname{tg} \beta$

$\frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{\operatorname{tg} \beta - 1}$

Теперь докажем, что $\frac{1 + \operatorname{ctg} \beta}{1 - \operatorname{ctg} \beta} = \frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{\operatorname{tg} \beta - 1}$.

Преобразуем выражение слева, заменив $\operatorname{ctg} \beta = \frac{1}{\operatorname{tg} \beta}$:

$\frac{1 + \frac{1}{\operatorname{tg} \beta}}{1 - \frac{1}{\operatorname{tg} \beta}} = \frac{\frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{\operatorname{tg} \beta}}{\frac{\operatorname{tg} \beta - 1}{\operatorname{tg} \beta}} = \frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{\operatorname{tg} \beta - 1}$

Преобразованная левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

8) Докажем тождество $\frac{1 - 2\sin^2 x}{1 + \sin 2x} = \frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x}$.

Преобразуем левую часть. В числителе используем формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2 x = \cos 2x$.

В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

$1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.

Дробь принимает вид:

$\frac{\cos 2x}{(\sin x + \cos x)^2}$

Применим еще одну формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

$\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2}$

Сократим на $(\cos x + \sin x)$:

$\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$

Разделим числитель и знаменатель на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$\frac{\frac{\cos x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

9) Докажем тождество $\cos 4\beta - \sin 4\beta \operatorname{ctg} 2\beta = \cos 2\beta - 2\cos^2\beta$.

Преобразуем левую часть. Заменим $\operatorname{ctg} 2\beta = \frac{\cos 2\beta}{\sin 2\beta}$ и $\sin 4\beta = 2 \sin 2\beta \cos 2\beta$.

$\cos 4\beta - (2 \sin 2\beta \cos 2\beta) \frac{\cos 2\beta}{\sin 2\beta}$

Сократим $\sin 2\beta$:

$\cos 4\beta - 2 \cos^2 2\beta$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4\beta = 2 \cos^2 2\beta - 1$:

$(2 \cos^2 2\beta - 1) - 2 \cos^2 2\beta = -1$.

Теперь преобразуем правую часть. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\beta = 2\cos^2\beta - 1$.

$(2\cos^2\beta - 1) - 2\cos^2\beta = -1$.

Так как левая и правая части равны -1, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

10) Докажем тождество $\cos^2 y - \sin^2 2y = \cos^2 y (1 - 4\sin^2 y)$.

Преобразуем левую часть, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2y = 2 \sin y \cos y$.

$\cos^2 y - (2 \sin y \cos y)^2$

Возведем в квадрат выражение в скобках:

$\cos^2 y - 4 \sin^2 y \cos^2 y$

Вынесем общий множитель $\cos^2 y$ за скобки:

$\cos^2 y (1 - 4 \sin^2 y)$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.