Номер 4.145, страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.145. Разложите на множители:

1) $ \sin\gamma+\sin2\gamma+\sin3\gamma+\sin4\gamma $;

2) $ \cos2\gamma-\cos4\gamma-\cos6\gamma+\cos8\gamma $.

1) Сгруппируем слагаемые в выражении $ \sin{\gamma} + \sin{2\gamma} + \sin{3\gamma} + \sin{4\gamma} $ следующим образом: $ (\sin{4\gamma} + \sin{\gamma}) + (\sin{3\gamma} + \sin{2\gamma}) $.
Применим формулу суммы синусов $ \sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2 \sin{\frac{\alpha+\beta}{2}} \cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $ к каждой группе.
Для первой группы $ (\sin{4\gamma} + \sin{\gamma}) $:
$ \sin{4\gamma} + \sin{\gamma} = 2 \sin{\frac{4\gamma+\gamma}{2}} \cos{\frac{4\gamma-\gamma}{2}} = 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \cos{\frac{3\gamma}{2}} $.
Для второй группы $ (\sin{3\gamma} + \sin{2\gamma}) $:
$ \sin{3\gamma} + \sin{2\gamma} = 2 \sin{\frac{3\gamma+2\gamma}{2}} \cos{\frac{3\gamma-2\gamma}{2}} = 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \cos{\frac{\gamma}{2}} $.
Подставим полученные выражения в исходное:
$ 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \cos{\frac{3\gamma}{2}} + 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \cos{\frac{\gamma}{2}} $.
Вынесем общий множитель $ 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} $ за скобки:
$ 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \left( \cos{\frac{3\gamma}{2}} + \cos{\frac{\gamma}{2}} \right) $.
Теперь применим формулу суммы косинусов $ \cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2 \cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} \cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $ к выражению в скобках:
$ \cos{\frac{3\gamma}{2}} + \cos{\frac{\gamma}{2}} = 2 \cos{\frac{\frac{3\gamma}{2}+\frac{\gamma}{2}}{2}} \cos{\frac{\frac{3\gamma}{2}-\frac{\gamma}{2}}{2}} = 2 \cos{\frac{2\gamma}{2}} \cos{\frac{\gamma}{2}} = 2 \cos{\gamma} \cos{\frac{\gamma}{2}} $.
Подставим это обратно и получим окончательный результат:
$ 2 \sin{\frac{5\gamma}{2}} \left( 2 \cos{\gamma} \cos{\frac{\gamma}{2}} \right) = 4 \cos{\frac{\gamma}{2}} \cos{\gamma} \sin{\frac{5\gamma}{2}} $.
Ответ: $ 4 \cos{\frac{\gamma}{2}} \cos{\gamma} \sin{\frac{5\gamma}{2}} $.

2) Сгруппируем слагаемые в выражении $ \cos{2\gamma} - \cos{4\gamma} - \cos{6\gamma} + \cos{8\gamma} $ следующим образом: $ (\cos{8\gamma} + \cos{2\gamma}) - (\cos{6\gamma} + \cos{4\gamma}) $.
Применим формулу суммы косинусов $ \cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2 \cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} \cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.
Для первой группы $ (\cos{8\gamma} + \cos{2\gamma}) $:
$ \cos{8\gamma} + \cos{2\gamma} = 2 \cos{\frac{8\gamma+2\gamma}{2}} \cos{\frac{8\gamma-2\gamma}{2}} = 2 \cos{5\gamma} \cos{3\gamma} $.
Для второй группы $ (\cos{6\gamma} + \cos{4\gamma}) $:
$ \cos{6\gamma} + \cos{4\gamma} = 2 \cos{\frac{6\gamma+4\gamma}{2}} \cos{\frac{6\gamma-4\gamma}{2}} = 2 \cos{5\gamma} \cos{\gamma} $.
Подставим полученные выражения в исходное:
$ 2 \cos{5\gamma} \cos{3\gamma} - 2 \cos{5\gamma} \cos{\gamma} $.
Вынесем общий множитель $ 2 \cos{5\gamma} $ за скобки:
$ 2 \cos{5\gamma} \left( \cos{3\gamma} - \cos{\gamma} \right) $.
Теперь применим формулу разности косинусов $ \cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2 \sin{\frac{\alpha+\beta}{2}} \sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $ к выражению в скобках:
$ \cos{3\gamma} - \cos{\gamma} = -2 \sin{\frac{3\gamma+\gamma}{2}} \sin{\frac{3\gamma-\gamma}{2}} = -2 \sin{2\gamma} \sin{\gamma} $.
Подставим это обратно и получим окончательный результат:
$ 2 \cos{5\gamma} \left( -2 \sin{2\gamma} \sin{\gamma} \right) = -4 \sin{\gamma} \sin{2\gamma} \cos{5\gamma} $.
Ответ: $ -4 \sin{\gamma} \sin{2\gamma} \cos{5\gamma} $.