Номер 4.146, страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.146. Найдите значение выражений:

1) $\cos2\gamma - \cos6\gamma$, если $\cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{3}};

2) $\sin5\gamma - \sin3\gamma$, если $\sin\gamma = \frac{2}{\sqrt{5}}.$

1) Найти значение выражения $ \cos{2\gamma}-\cos{6\gamma} $, если $ \cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{3}} $.

Для решения этой задачи мы последовательно найдем значения $ \cos{2\gamma} $ и $ \cos{6\gamma} $, используя известные тригонометрические формулы.

Сначала найдем $ \cos{2\gamma} $, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1 $.

$ \cos{2\gamma} = 2\cos^2{\gamma} - 1 = 2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} $.

Далее, найдем $ \cos{6\gamma} $. Мы можем представить $ 6\gamma $ как $ 3 \cdot (2\gamma) $ и использовать формулу косинуса тройного угла $ \cos{3\alpha} = 4\cos^3{\alpha} - 3\cos{\alpha} $. В нашем случае $ \alpha = 2\gamma $.

$ \cos{6\gamma} = \cos(3 \cdot 2\gamma) = 4\cos^3(2\gamma) - 3\cos(2\gamma) $.

Подставим ранее найденное значение $ \cos{2\gamma} = -\frac{1}{3} $ в эту формулу:

$ \cos{6\gamma} = 4\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{27}\right) + 1 = -\frac{4}{27} + \frac{27}{27} = \frac{23}{27} $.

Теперь мы можем вычислить значение исходного выражения:

$ \cos{2\gamma} - \cos{6\gamma} = -\frac{1}{3} - \frac{23}{27} $.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ -\frac{1}{3} - \frac{23}{27} = -\frac{9}{27} - \frac{23}{27} = -\frac{32}{27} $.

Ответ: $ -\frac{32}{27} $.

2) Найти значение выражения $ \sin{5\gamma}-\sin{3\gamma} $, если $ \sin\gamma=\frac{2}{\sqrt{5}} $.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой разности синусов (формулой преобразования разности в произведение):

$ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$ \sin{5\gamma} - \sin{3\gamma} = 2\sin\frac{5\gamma-3\gamma}{2}\cos\frac{5\gamma+3\gamma}{2} = 2\sin\frac{2\gamma}{2}\cos\frac{8\gamma}{2} = 2\sin\gamma\cos{4\gamma} $.

Нам дано $ \sin\gamma = \frac{2}{\sqrt{5}} $. Нам нужно найти значение $ \cos{4\gamma} $. Сделаем это в два шага: сначала найдем $ \cos{2\gamma} $, а затем $ \cos{4\gamma} $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2\alpha $:

$ \cos{2\gamma} = 1 - 2\sin^2\gamma = 1 - 2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{4}{5} = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5} $.

Теперь найдем $ \cos{4\gamma} $, снова используя формулу косинуса двойного угла, где $ \alpha = 2\gamma $: $ \cos(2 \cdot 2\gamma) = 2\cos^2(2\gamma) - 1 $.

$ \cos{4\gamma} = 2\cos^2(2\gamma) - 1 = 2\left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - \frac{25}{25} = -\frac{7}{25} $.

Теперь подставим найденные значения $ \sin\gamma $ и $ \cos{4\gamma} $ в преобразованное выражение:

$ 2\sin\gamma\cos{4\gamma} = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \left(-\frac{7}{25}\right) = -\frac{28}{25\sqrt{5}} $.

Для завершения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ -\frac{28}{25\sqrt{5}} = -\frac{28 \cdot \sqrt{5}}{25\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = -\frac{28\sqrt{5}}{25 \cdot 5} = -\frac{28\sqrt{5}}{125} $.

Ответ: $ -\frac{28\sqrt{5}}{125} $.