Номер 4.153, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.153. Упростите выражения:

1) $\sin^3 2\alpha \cdot \cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha \cdot \sin 6\alpha$;

2) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha+\beta)$;

3) $9\sin \alpha \cos 3\alpha + 9\sin \alpha \cos \alpha - 3\sin 3\alpha \cos 3\alpha - 3\sin 3\alpha \cos \alpha$;

4) $4(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - 4(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 1$.

1) $sin^3{2\alpha} \cdot cos{6\alpha} + cos^3{2\alpha} \cdot sin{6\alpha}$

Для упрощения этого выражения введем замену $x = 2\alpha$. Тогда выражение примет вид:$sin^3x \cdot cos{3x} + cos^3x \cdot sin{3x}$
Воспользуемся формулами для синуса и косинуса тройного угла в виде для понижения степени:
$sin^3x = \frac{3sinx - sin(3x)}{4}$
$cos^3x = \frac{3cosx + cos(3x)}{4}$
Подставим эти формулы в наше выражение:
$\frac{3sinx - sin(3x)}{4} \cdot cos(3x) + \frac{3cosx + cos(3x)}{4} \cdot sin(3x)$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки и раскроем скобки внутри:
$\frac{1}{4} (3sinx \cdot cos(3x) - sin(3x)cos(3x) + 3cosx \cdot sin(3x) + cos(3x)sin(3x))$
Члены $- sin(3x)cos(3x)$ и $+ cos(3x)sin(3x)$ взаимно уничтожаются. Остается:
$\frac{1}{4} (3sinx \cdot cos(3x) + 3cosx \cdot sin(3x))$
Вынесем 3 за скобки:
$\frac{3}{4} (sinx \cdot cos(3x) + cosx \cdot sin(3x))$
Выражение в скобках является формулой синуса суммы: $sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB$.
$\frac{3}{4} sin(x + 3x) = \frac{3}{4} sin(4x)$
Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $x = 2\alpha$:
$\frac{3}{4} sin(4 \cdot 2\alpha) = \frac{3}{4} sin(8\alpha)$
Ответ: $\frac{3}{4}sin(8\alpha)$

2) $sin^2\alpha+sin^2\beta+2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$

Воспользуемся формулами понижения степени $sin^2x = \frac{1-cos(2x)}{2}$:
$\frac{1-cos(2\alpha)}{2} + \frac{1-cos(2\beta)}{2} + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$
$= \frac{1}{2} - \frac{cos(2\alpha)}{2} + \frac{1}{2} - \frac{cos(2\beta)}{2} + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$
$= 1 - \frac{1}{2}(cos(2\alpha)+cos(2\beta)) + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$
Применим формулу суммы косинусов $cosA+cosB = 2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$:
$= 1 - \frac{1}{2}(2cos(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta)) + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$
$= 1 - cos(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta) + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$
Вынесем $cos(\alpha+\beta)$ за скобки:
$= 1 + cos(\alpha+\beta)(2sin\alpha sin\beta - cos(\alpha-\beta))$
Раскроем $cos(\alpha-\beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$:
$= 1 + cos(\alpha+\beta)(2sin\alpha sin\beta - (cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta))$
$= 1 + cos(\alpha+\beta)(sin\alpha sin\beta - cos\alpha cos\beta)$
$= 1 - cos(\alpha+\beta)(cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)$
Выражение в скобках - это формула косинуса суммы $cos(\alpha+\beta)$:
$= 1 - cos(\alpha+\beta) \cdot cos(\alpha+\beta) = 1 - cos^2(\alpha+\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x+cos^2x=1$, получаем:
$1 - cos^2(\alpha+\beta) = sin^2(\alpha+\beta)$
Ответ: $sin^2(\alpha+\beta)$

3) $9sin\alpha cos3\alpha+9sin\alpha cos\alpha-3sin3\alpha cos3\alpha-3sin3\alpha cos\alpha$

Сгруппируем слагаемые. Сначала те, что содержат $cos3\alpha$, а затем те, что содержат $cos\alpha$:
$(9sin\alpha cos3\alpha - 3sin3\alpha cos3\alpha) + (9sin\alpha cos\alpha - 3sin3\alpha cos\alpha)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$cos3\alpha(9sin\alpha - 3sin3\alpha) + cos\alpha(9sin\alpha - 3sin3\alpha)$
Теперь вынесем общий множитель $(9sin\alpha - 3sin3\alpha)$:
$(9sin\alpha - 3sin3\alpha)(cos3\alpha + cos\alpha)$
Упростим каждый из множителей в скобках отдельно.
Первый множитель: $9sin\alpha - 3sin3\alpha$. Используем формулу $sin3\alpha = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$.
$9sin\alpha - 3(3sin\alpha - 4sin^3\alpha) = 9sin\alpha - 9sin\alpha + 12sin^3\alpha = 12sin^3\alpha$
Второй множитель: $cos3\alpha + cos\alpha$. Используем формулу суммы косинусов.
$cos3\alpha + cos\alpha = 2cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2cos(2\alpha)cos\alpha$
Теперь перемножим упрощенные множители:
$(12sin^3\alpha) \cdot (2cos(2\alpha)cos\alpha) = 24sin^3\alpha cos\alpha cos(2\alpha)$
Преобразуем выражение, используя формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$:
$12 \cdot (2sin\alpha cos\alpha) \cdot sin^2\alpha \cdot cos(2\alpha) = 12sin(2\alpha)sin^2\alpha cos(2\alpha)$
Сгруппируем $sin(2\alpha)$ и $cos(2\alpha)$:
$6 \cdot (2sin(2\alpha)cos(2\alpha)) \cdot sin^2\alpha = 6sin(4\alpha)sin^2\alpha$
Ответ: $6sin(4\alpha)sin^2\alpha$

4) $4(sin^4\alpha+cos^4\alpha)-4(sin^6\alpha+cos^6\alpha)-1$

Упростим выражения в скобках, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$.
Для $sin^4\alpha+cos^4\alpha$:
$sin^4\alpha+cos^4\alpha = (sin^2\alpha+cos^2\alpha)^2 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha = 1^2 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha$
Для $sin^6\alpha+cos^6\alpha$:
$sin^6\alpha+cos^6\alpha = (sin^2\alpha)^3+(cos^2\alpha)^3 = (sin^2\alpha+cos^2\alpha)(sin^4\alpha-sin^2\alpha cos^2\alpha+cos^4\alpha)$
$= 1 \cdot ((sin^4\alpha+cos^4\alpha) - sin^2\alpha cos^2\alpha) = (1 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha) - sin^2\alpha cos^2\alpha = 1 - 3sin^2\alpha cos^2\alpha$
Подставим полученные выражения в исходное:
$4(1 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha) - 4(1 - 3sin^2\alpha cos^2\alpha) - 1$
Раскроем скобки:
$4 - 8sin^2\alpha cos^2\alpha - 4 + 12sin^2\alpha cos^2\alpha - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$(4-4-1) + (-8sin^2\alpha cos^2\alpha + 12sin^2\alpha cos^2\alpha) = -1 + 4sin^2\alpha cos^2\alpha$
Преобразуем второе слагаемое:
$4sin^2\alpha cos^2\alpha = (2sin\alpha cos\alpha)^2 = (sin(2\alpha))^2 = sin^2(2\alpha)$
Выражение принимает вид:
$-1 + sin^2(2\alpha) = sin^2(2\alpha) - 1 = -(1 - sin^2(2\alpha))$
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем:
$-(cos^2(2\alpha)) = -cos^2(2\alpha)$
Ответ: $-cos^2(2\alpha)$