Номер 4.157, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.157. Докажите справедливость формулы $\cos((n+1)x)=2\cos(nx) \times \cos(x) - \cos((n-1)x)$. Пользуясь этой формулой, представьте выражения $\cos(3x)$ и $\cos(4x)$ в виде многочлена от $\cos(x)$.

Доказательство справедливости формулы $\cos((n+1)x)=2\cos nx \cos x-\cos((n-1)x)$

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть. Воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения косинусов в сумму:

$2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)$

Применим эту формулу к выражению $2\cos(nx)\cos x$, где $\alpha = nx$ и $\beta = x$:

$2\cos(nx)\cos x = \cos(nx+x) + \cos(nx-x) = \cos((n+1)x) + \cos((n-1)x)$

Теперь подставим полученное выражение в правую часть исходного тождества:

$2\cos(nx)\cos x - \cos((n-1)x) = (\cos((n+1)x) + \cos((n-1)x)) - \cos((n-1)x)$

Упрощая, получаем:

$\cos((n+1)x) + \cos((n-1)x) - \cos((n-1)x) = \cos((n+1)x)$

Полученное выражение равно левой части тождества, что и доказывает его справедливость.

Ответ: Справедливость формулы доказана.

Представление выражения $\cos3x$ в виде многочлена от $\cos x$

Воспользуемся доказанной формулой, подставив в нее $n=2$:

$\cos((2+1)x) = 2\cos(2x)\cos x - \cos((2-1)x)$

$\cos(3x) = 2\cos(2x)\cos x - \cos x$

Для дальнейшего преобразования используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$. Подставим ее в наше выражение:

$\cos(3x) = 2(2\cos^2x - 1)\cos x - \cos x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\cos(3x) = 4\cos^3x - 2\cos x - \cos x$

$\cos(3x) = 4\cos^3x - 3\cos x$

Ответ: $\cos(3x) = 4\cos^3x - 3\cos x$.

Представление выражения $\cos4x$ в виде многочлена от $\cos x$

Снова воспользуемся исходной формулой, но теперь подставим $n=3$:

$\cos((3+1)x) = 2\cos(3x)\cos x - \cos((3-1)x)$

$\cos(4x) = 2\cos(3x)\cos x - \cos(2x)$

Теперь подставим выражения для $\cos(3x)$ и $\cos(2x)$, которые мы уже знаем:

$\cos(3x) = 4\cos^3x - 3\cos x$

$\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$

Выполним подстановку:

$\cos(4x) = 2(4\cos^3x - 3\cos x)\cos x - (2\cos^2x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\cos(4x) = 8\cos^4x - 6\cos^2x - 2\cos^2x + 1$

$\cos(4x) = 8\cos^4x - 8\cos^2x + 1$

Ответ: $\cos(4x) = 8\cos^4x - 8\cos^2x + 1$.