Страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.155. Если A, B, C – углы треугольника, то докажите тождества:

1) $tgA+tgB+tgC=tgA tgB tgC$;

2) $cosA+cosB+cosC=1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$;

3) $cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA cosB cosC$;

4) $sin^2A+sin^2B+sin^2C=2+2cosA cosB cosC$.

1) Поскольку A, B и C — углы треугольника, их сумма равна $\pi$: $A + B + C = \pi$. Отсюда следует, что $A + B = \pi - C$.
Возьмем тангенс от обеих частей этого равенства: $\tan(A + B) = \tan(\pi - C)$.
Используем формулу тангенса суммы углов $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ и свойство тангенса $\tan(\pi - z) = -\tan z$. Получаем: $\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C$.
Это тождество справедливо, если ни один из углов не равен $\pi/2$, то есть треугольник не является прямоугольным. В таком случае знаменатели не обращаются в ноль и тангенсы определены.
Умножим обе части на знаменатель $(1 - \tan A \tan B)$: $\tan A + \tan B = -\tan C (1 - \tan A \tan B)$.
Раскроем скобки в правой части: $\tan A + \tan B = -\tan C + \tan A \tan B \tan C$.
Перенесем $-\tan C$ в левую часть, чтобы получить доказываемое тождество: $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $\cos A + \cos B + \cos C = ( \cos A + \cos B ) + \cos C = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} + \cos C$.
Из условия $A+B+C = \pi$ следует, что $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi - C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$. Используя формулу приведения, получаем $\cos\frac{A+B}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \sin\frac{C}{2}$.
Подставим это в наше выражение: $2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} + \cos C$.
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos C = 1 - 2\sin^2\frac{C}{2}$: $2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} + (1 - 2\sin^2\frac{C}{2}) = 1 + 2\sin\frac{C}{2}(\cos\frac{A-B}{2} - \sin\frac{C}{2})$.
Теперь преобразуем $\sin\frac{C}{2}$. Из $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}$ следует, что $\sin\frac{C}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}) = \cos\frac{A+B}{2}$.
Подставим это в скобки: $1 + 2\sin\frac{C}{2}(\cos\frac{A-B}{2} - \cos\frac{A+B}{2})$.
Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$ к выражению в скобках: $\cos\frac{A-B}{2} - \cos\frac{A+B}{2} = -2\sin\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\sin\frac{\frac{A-B}{2}-\frac{A+B}{2}}{2} = -2\sin\frac{A}{2}\sin(-\frac{B}{2}) = 2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}$.
Подставим результат в основное выражение: $1 + 2\sin\frac{C}{2}(2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}) = 1 + 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть, используя формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$: $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = \frac{1+\cos(2A)}{2} + \frac{1+\cos(2B)}{2} + \cos^2 C = 1 + \frac{1}{2}(\cos(2A) + \cos(2B)) + \cos^2 C$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $\cos(2A) + \cos(2B) = 2\cos(A+B)\cos(A-B)$.
Подставим это в выражение: $1 + \frac{1}{2}(2\cos(A+B)\cos(A-B)) + \cos^2 C = 1 + \cos(A+B)\cos(A-B) + \cos^2 C$.
Из условия $A+B+C = \pi$ следует, что $A+B = \pi - C$, и, следовательно, $\cos(A+B) = \cos(\pi-C) = -\cos C$.
Подставим это: $1 - \cos C \cos(A-B) + \cos^2 C$.
Сгруппируем слагаемые и вынесем $-\cos C$ за скобки: $1 - \cos C(\cos(A-B) - \cos C)$.
Заменим $\cos C$ в скобках. Поскольку $C = \pi - (A+B)$, то $\cos C = \cos(\pi-(A+B)) = -\cos(A+B)$. $1 - \cos C(\cos(A-B) - (-\cos(A+B))) = 1 - \cos C(\cos(A-B) + \cos(A+B))$.
Используем формулу преобразования суммы косинусов $\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2\cos A \cos B$: $1 - \cos C(2\cos A \cos B) = 1 - 2\cos A \cos B \cos C$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Это тождество можно доказать, используя предыдущее. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = (1-\cos^2 A) + (1-\cos^2 B) + (1-\cos^2 C) = 3 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)$.
Используя результат из пункта 3), $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2\cos A \cos B \cos C$: $3 - (1 - 2\cos A \cos B \cos C) = 3 - 1 + 2\cos A \cos B \cos C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C$.
Проведем также независимое доказательство. Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$:
$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \frac{1-\cos(2A)}{2} + \frac{1-\cos(2B)}{2} + \sin^2 C = 1 - \frac{1}{2}(\cos(2A) + \cos(2B)) + \sin^2 C$.
Применим формулу суммы косинусов: $1 - \frac{1}{2}(2\cos(A+B)\cos(A-B)) + \sin^2 C = 1 - \cos(A+B)\cos(A-B) + \sin^2 C$.
Так как $A+B = \pi - C$, то $\cos(A+B) = -\cos C$. $1 - (-\cos C)\cos(A-B) + \sin^2 C = 1 + \cos C \cos(A-B) + \sin^2 C$.
Заменим $\sin^2 C = 1 - \cos^2 C$: $1 + \cos C \cos(A-B) + 1 - \cos^2 C = 2 + \cos C(\cos(A-B) - \cos C)$.
Заменим $\cos C$ в скобках на $-\cos(A+B)$: $2 + \cos C(\cos(A-B) - (-\cos(A+B))) = 2 + \cos C(\cos(A-B) + \cos(A+B))$.
Используем формулу $2\cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$: $2 + \cos C(2\cos A \cos B) = 2 + 2\cos A \cos B \cos C$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4.156. Преобразуйте в произведение:

1) $ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $

2) $ \cos2\varphi + \sin2\varphi \cdot \text{tg}\varphi $

3) $ 2 + \text{tg}2\varphi + \text{ctg}2\varphi $

4) $ 1 - 0,25\sin^2 2\varphi - \cos^2 2\varphi \cos^4 \varphi $

1)

Для преобразования суммы тангенсов воспользуемся формулой $tg(\alpha) + tg(\beta) = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}$.
Пусть $\alpha = x + \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{4}$.
Тогда сумма аргументов $\alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{4}) + (x - \frac{\pi}{4}) = 2x$.
Подставим значения в формулу:
$tg(x + \frac{\pi}{4}) + tg(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(2x)}{\cos(x + \frac{\pi}{4})\cos(x - \frac{\pi}{4})}$.
Знаменатель можно упростить, используя формулу произведения косинусов $\cos(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$. Разность аргументов $\alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{4}) - (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$.
$\cos(x + \frac{\pi}{4})\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + 0) = \frac{1}{2}\cos(2x)$.
Подставим упрощенный знаменатель обратно в выражение:
$\frac{\sin(2x)}{\frac{1}{2}\cos(2x)} = 2\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 2tg(2x)$.

Ответ: $2tg(2x)$.

2)

Заменим $tg(\phi)$ на отношение синуса к косинусу:
$\cos(2\phi) + \sin(2\phi)tg(\phi) = \cos(2\phi) + \sin(2\phi)\frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)}$.
Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{\cos(2\phi)\cos(\phi) + \sin(2\phi)\sin(\phi)}{\cos(\phi)}$.
Числитель представляет собой правую часть формулы косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$, где $\alpha = 2\phi$ и $\beta = \phi$.
$\frac{\cos(2\phi - \phi)}{\cos(\phi)} = \frac{\cos(\phi)}{\cos(\phi)} = 1$.

Ответ: $1$.

3)

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$2 + tg(2\phi) + ctg(2\phi) = 2 + \frac{\sin(2\phi)}{\cos(2\phi)} + \frac{\cos(2\phi)}{\sin(2\phi)}$.
Сложим дроби, приведя их к общему знаменателю:
$tg(2\phi) + ctg(2\phi) = \frac{\sin^2(2\phi) + \cos^2(2\phi)}{\sin(2\phi)\cos(2\phi)} = \frac{1}{\sin(2\phi)\cos(2\phi)}$.
Используя формулу синуса двойного угла, $\sin(4\phi) = 2\sin(2\phi)\cos(2\phi)$, преобразуем знаменатель: $\sin(2\phi)\cos(2\phi) = \frac{1}{2}\sin(4\phi)$.
Таким образом, $tg(2\phi) + ctg(2\phi) = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(4\phi)} = \frac{2}{\sin(4\phi)}$.
Подставим результат в исходное выражение:
$2 + \frac{2}{\sin(4\phi)} = 2(1 + \frac{1}{\sin(4\phi)}) = 2\frac{\sin(4\phi) + 1}{\sin(4\phi)}$.
Для преобразования числителя используем формулу $1 + \sin(\alpha) = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$.
В нашем случае $\alpha = 4\phi$, поэтому $1 + \sin(4\phi) = 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - 2\phi)$.
Окончательное выражение:
$2\frac{2\cos^2(\frac{\pi}{4} - 2\phi)}{\sin(4\phi)} = \frac{4\cos^2(\frac{\pi}{4} - 2\phi)}{\sin(4\phi)}$.

Ответ: $\frac{4\cos^2(\frac{\pi}{4} - 2\phi)}{\sin(4\phi)}$.

4)

Упростим выражение, начав с члена $0,25\sin^2(2\phi)$.
$0,25\sin^2(2\phi) = \frac{1}{4}(2\sin(\phi)\cos(\phi))^2 = \frac{1}{4}(4\sin^2(\phi)\cos^2(\phi)) = \sin^2(\phi)\cos^2(\phi)$.
Исходное выражение примет вид:
$1 - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) - \cos^2(2\phi)\cos^4(\phi)$.
Заменим $\cos^2(2\phi)$ на $1 - \sin^2(2\phi) = 1 - 4\sin^2(\phi)\cos^2(\phi)$:
$1 - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) - (1 - 4\sin^2(\phi)\cos^2(\phi))\cos^4(\phi)$.
Раскроем скобки:
$1 - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) - \cos^4(\phi) + 4\sin^2(\phi)\cos^6(\phi)$.
Сгруппируем члены: $(1 - \cos^4(\phi)) - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) + 4\sin^2(\phi)\cos^6(\phi)$.
Разложим разность квадратов $1 - \cos^4(\phi) = (1 - \cos^2(\phi))(1 + \cos^2(\phi)) = \sin^2(\phi)(1 + \cos^2(\phi))$.
$\sin^2(\phi)(1 + \cos^2(\phi)) - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) + 4\sin^2(\phi)\cos^6(\phi)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\sin^2(\phi) + \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) + 4\sin^2(\phi)\cos^6(\phi) = \sin^2(\phi) + 4\sin^2(\phi)\cos^6(\phi)$.
Вынесем общий множитель $\sin^2(\phi)$ за скобки:
$\sin^2(\phi)(1 + 4\cos^6(\phi))$.

Ответ: $\sin^2(\phi)(1 + 4\cos^6(\phi))$.

4.157. Докажите справедливость формулы $\cos((n+1)x)=2\cos(nx) \times \cos(x) - \cos((n-1)x)$. Пользуясь этой формулой, представьте выражения $\cos(3x)$ и $\cos(4x)$ в виде многочлена от $\cos(x)$.

Доказательство справедливости формулы $\cos((n+1)x)=2\cos nx \cos x-\cos((n-1)x)$

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть. Воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения косинусов в сумму:

$2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)$

Применим эту формулу к выражению $2\cos(nx)\cos x$, где $\alpha = nx$ и $\beta = x$:

$2\cos(nx)\cos x = \cos(nx+x) + \cos(nx-x) = \cos((n+1)x) + \cos((n-1)x)$

Теперь подставим полученное выражение в правую часть исходного тождества:

$2\cos(nx)\cos x - \cos((n-1)x) = (\cos((n+1)x) + \cos((n-1)x)) - \cos((n-1)x)$

Упрощая, получаем:

$\cos((n+1)x) + \cos((n-1)x) - \cos((n-1)x) = \cos((n+1)x)$

Полученное выражение равно левой части тождества, что и доказывает его справедливость.

Ответ: Справедливость формулы доказана.

Представление выражения $\cos3x$ в виде многочлена от $\cos x$

Воспользуемся доказанной формулой, подставив в нее $n=2$:

$\cos((2+1)x) = 2\cos(2x)\cos x - \cos((2-1)x)$

$\cos(3x) = 2\cos(2x)\cos x - \cos x$

Для дальнейшего преобразования используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$. Подставим ее в наше выражение:

$\cos(3x) = 2(2\cos^2x - 1)\cos x - \cos x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\cos(3x) = 4\cos^3x - 2\cos x - \cos x$

$\cos(3x) = 4\cos^3x - 3\cos x$

Ответ: $\cos(3x) = 4\cos^3x - 3\cos x$.

Представление выражения $\cos4x$ в виде многочлена от $\cos x$

Снова воспользуемся исходной формулой, но теперь подставим $n=3$:

$\cos((3+1)x) = 2\cos(3x)\cos x - \cos((3-1)x)$

$\cos(4x) = 2\cos(3x)\cos x - \cos(2x)$

Теперь подставим выражения для $\cos(3x)$ и $\cos(2x)$, которые мы уже знаем:

$\cos(3x) = 4\cos^3x - 3\cos x$

$\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$

Выполним подстановку:

$\cos(4x) = 2(4\cos^3x - 3\cos x)\cos x - (2\cos^2x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\cos(4x) = 8\cos^4x - 6\cos^2x - 2\cos^2x + 1$

$\cos(4x) = 8\cos^4x - 8\cos^2x + 1$

Ответ: $\cos(4x) = 8\cos^4x - 8\cos^2x + 1$.

4.158. Докажите тождества:

1) $\frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \text{tg}^4\alpha;$

2) $\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha = \frac{5 + 3 \cos 4\alpha}{8};$

3) $16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha+5\sin\alpha=\sin5\alpha;$

4) $\cos^8\alpha-\sin^8\alpha=0,25\cos2\alpha(3+\cos4\alpha).$

1) Докажем тождество $\frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \text{tg}^4\alpha$.

Преобразуем числитель и знаменатель левой части, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha - 1$.

Преобразование числителя:

$3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 3 - 4 \cos 2\alpha + (2\cos^2 2\alpha - 1) = 2\cos^2 2\alpha - 4\cos 2\alpha + 2 = 2(\cos^2 2\alpha - 2\cos 2\alpha + 1) = 2(\cos 2\alpha - 1)^2$.

Используем формулу $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$, из которой следует, что $\cos 2\alpha - 1 = -2\sin^2\alpha$.

Тогда числитель равен: $2(-2\sin^2\alpha)^2 = 2(4\sin^4\alpha) = 8\sin^4\alpha$.

Преобразование знаменателя:

$3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 3 + 4 \cos 2\alpha + (2\cos^2 2\alpha - 1) = 2\cos^2 2\alpha + 4\cos 2\alpha + 2 = 2(\cos^2 2\alpha + 2\cos 2\alpha + 1) = 2(\cos 2\alpha + 1)^2$.

Используем формулу $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$, из которой следует, что $\cos 2\alpha + 1 = 2\cos^2\alpha$.

Тогда знаменатель равен: $2(2\cos^2\alpha)^2 = 2(4\cos^4\alpha) = 8\cos^4\alpha$.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{8\sin^4\alpha}{8\cos^4\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} = \text{tg}^4\alpha$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha = \frac{5 + 3 \cos 4\alpha}{8}$.

Преобразуем левую часть, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a=\cos^2\alpha$ и $b=\sin^2\alpha$.

$\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha = (\cos^2\alpha)^3 + (\sin^2\alpha)^3 = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)(\cos^4\alpha - \cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha)$.

Так как $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, выражение упрощается до:

$\cos^4\alpha - \cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha$.

Дополним до полного квадрата: $(\cos^4\alpha + 2\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha) - 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 - 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha = 1 - 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$. Тогда $\cos^2\alpha\sin^2\alpha = (\frac{1}{2}\sin 2\alpha)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha$.

Подставляем обратно: $1 - 3 \cdot \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2\alpha$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Для $x=2\alpha$ получаем $\sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2}$.

Подставляем в наше выражение:

$1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} = 1 - \frac{3 - 3\cos 4\alpha}{8} = \frac{8 - (3 - 3\cos 4\alpha)}{8} = \frac{8 - 3 + 3\cos 4\alpha}{8} = \frac{5 + 3\cos 4\alpha}{8}$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $16\sin^5\alpha - 20\sin^3\alpha + 5\sin\alpha = \sin 5\alpha$.

Для доказательства преобразуем правую часть. Воспользуемся формулой Муавра: $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$. При $n=5$ имеем:

$\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha = (\cos\alpha + i\sin\alpha)^5$.

Раскроем правую часть по формуле бинома Ньютона:

$(\cos\alpha + i\sin\alpha)^5 = \cos^5\alpha + 5\cos^4\alpha(i\sin\alpha) + 10\cos^3\alpha(i\sin\alpha)^2 + 10\cos^2\alpha(i\sin\alpha)^3 + 5\cos\alpha(i\sin\alpha)^4 + (i\sin\alpha)^5$.

Упростим, учитывая, что $i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i$:

$(\cos^5\alpha - 10\cos^3\alpha\sin^2\alpha + 5\cos\alpha\sin^4\alpha) + i(5\cos^4\alpha\sin\alpha - 10\cos^2\alpha\sin^3\alpha + \sin^5\alpha)$.

Приравнивая мнимые части, получаем выражение для $\sin 5\alpha$:

$\sin 5\alpha = 5\cos^4\alpha\sin\alpha - 10\cos^2\alpha\sin^3\alpha + \sin^5\alpha$.

Выразим $\cos^2\alpha$ через $\sin^2\alpha$ по формуле $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:

$\sin 5\alpha = 5(1-\sin^2\alpha)^2\sin\alpha - 10(1-\sin^2\alpha)\sin^3\alpha + \sin^5\alpha$.

Раскроем скобки:

$\sin 5\alpha = 5\sin\alpha(1 - 2\sin^2\alpha + \sin^4\alpha) - (10\sin^3\alpha - 10\sin^5\alpha) + \sin^5\alpha$

$\sin 5\alpha = 5\sin\alpha - 10\sin^3\alpha + 5\sin^5\alpha - 10\sin^3\alpha + 10\sin^5\alpha + \sin^5\alpha$.

Приведем подобные члены:

$\sin 5\alpha = 16\sin^5\alpha - 20\sin^3\alpha + 5\sin\alpha$.

Правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\cos^8\alpha - \sin^8\alpha = 0,25\cos 2\alpha (3 + \cos 4\alpha)$.

Преобразуем левую часть, применяя формулу разности квадратов:

$\cos^8\alpha - \sin^8\alpha = (\cos^4\alpha - \sin^4\alpha)(\cos^4\alpha + \sin^4\alpha)$.

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Первый множитель: $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = (\cos 2\alpha) \cdot 1 = \cos 2\alpha$.

Второй множитель: $\cos^4\alpha + \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2(\sin\alpha\cos\alpha)^2 = 1 - 2(\frac{\sin 2\alpha}{2})^2 = 1 - \frac{2\sin^2 2\alpha}{4} = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha$.

Таким образом, левая часть равна: $\cos 2\alpha \left(1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha\right)$.

Теперь преобразуем правую часть тождества, заменив $0,25$ на $\frac{1}{4}$ и используя формулу $\cos 4\alpha = 1 - 2\sin^2 2\alpha$:

$\frac{1}{4}\cos 2\alpha (3 + \cos 4\alpha) = \frac{1}{4}\cos 2\alpha (3 + (1 - 2\sin^2 2\alpha)) = \frac{1}{4}\cos 2\alpha (4 - 2\sin^2 2\alpha)$.

Вынесем 4 за скобки в последнем выражении:

$\frac{1}{4}\cos 2\alpha \cdot 4\left(1 - \frac{2}{4}\sin^2 2\alpha\right) = \cos 2\alpha \left(1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha\right)$.

Левая и правая части тождества равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4.159. Докажите, что выражение $\cos^2\alpha+\cos^2\varphi+\cos^2(\alpha-\varphi)-2\cos\alpha\times\cos\varphi\cdot\cos(\alpha-\varphi)$ не зависит от $\alpha$ и $\varphi$.

Чтобы доказать, что выражение не зависит от $α$ и $φ$, необходимо его упростить и показать, что оно равно константе.

Обозначим данное выражение через $E$:
$E = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi + \cos^2(\alpha - \varphi) - 2\cos\alpha \cos\varphi \cos(\alpha - \varphi)$.

Сгруппируем последние два слагаемых, вынеся $\cos(\alpha - \varphi)$ за скобки: $E = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi + \cos(\alpha - \varphi)[\cos(\alpha - \varphi) - 2\cos\alpha \cos\varphi]$.

Теперь преобразуем выражение в квадратных скобках, используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \varphi) = \cos\alpha \cos\varphi + \sin\alpha \sin\varphi$: $[\cos(\alpha - \varphi) - 2\cos\alpha \cos\varphi] = [\cos\alpha \cos\varphi + \sin\alpha \sin\varphi - 2\cos\alpha \cos\varphi] = [\sin\alpha \sin\varphi - \cos\alpha \cos\varphi]$.

Подставим полученный результат обратно в выражение для $E$: $E = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi + (\cos\alpha \cos\varphi + \sin\alpha \sin\varphi)(\sin\alpha \sin\varphi - \cos\alpha \cos\varphi)$.

Произведение в конце выражения имеет вид $(x+y)(y-x)$, что по формуле разности квадратов равно $y^2 - x^2$. В нашем случае $x = \cos\alpha \cos\varphi$ и $y = \sin\alpha \sin\varphi$. Таким образом: $(\cos\alpha \cos\varphi + \sin\alpha \sin\varphi)(\sin\alpha \sin\varphi - \cos\alpha \cos\varphi) = (\sin\alpha \sin\varphi)^2 - (\cos\alpha \cos\varphi)^2 = \sin^2\alpha \sin^2\varphi - \cos^2\alpha \cos^2\varphi$.

Подставим это в выражение для $E$: $E = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi + \sin^2\alpha \sin^2\varphi - \cos^2\alpha \cos^2\varphi$.

Перегруппируем слагаемые для дальнейшего упрощения: $E = (\cos^2\alpha - \cos^2\alpha \cos^2\varphi) + (\cos^2\varphi + \sin^2\alpha \sin^2\varphi)$.

В первой скобке вынесем общий множитель $\cos^2\alpha$: $E = \cos^2\alpha(1 - \cos^2\varphi) + \cos^2\varphi + \sin^2\alpha \sin^2\varphi$.

Применим основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2\varphi = \sin^2\varphi$: $E = \cos^2\alpha \sin^2\varphi + \cos^2\varphi + \sin^2\alpha \sin^2\varphi$.

Снова сгруппируем слагаемые, на этот раз содержащие $\sin^2\varphi$: $E = (\cos^2\alpha \sin^2\varphi + \sin^2\alpha \sin^2\varphi) + \cos^2\varphi$.

Вынесем $\sin^2\varphi$ за скобки: $E = \sin^2\varphi(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \cos^2\varphi$.

Применим тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$: $E = \sin^2\varphi \cdot 1 + \cos^2\varphi = \sin^2\varphi + \cos^2\varphi$.

И, наконец, еще раз применив основное тригонометрическое тождество, получаем: $E = 1$.

Так как в результате упрощений мы получили константу 1, которая не зависит от значений $α$ и $φ$, утверждение доказано.

Ответ: Выражение тождественно равно 1, следовательно, оно не зависит от $α$ и $φ$.

4.160. Если A, B, C – углы треугольника, то докажите тождества:

1) $\sin(2nA) + \sin(2nB) + \sin(2nC) = (-1)^{n+1}4\sin(nA)\sin(nB)\sin(nC);$

2) $\sin((2n+1)A) + \sin((2n+1)B) + \sin((2n+1)C) = (-1)^n 4\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right) \times A \cos\left(\frac{2n+1}{2}\right) B \cos\left(\frac{2n+1}{2}\right) C.$

1) $\sin2nA+\sin2nB+\sin2nC=(-1)^{n+1}4\sin nA \sin nB \sin nC$

Поскольку A, B, и C являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$, то есть $A+B+C=\pi$. Из этого следует, что $A+B = \pi-C$.

Мы начнем с преобразования левой части тождества. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$LHS = (\sin2nA + \sin2nB) + \sin2nC = 2\sin\frac{2nA+2nB}{2}\cos\frac{2nA-2nB}{2} + \sin2nC$

$LHS = 2\sin(n(A+B))\cos(n(A-B)) + \sin2nC$

Используем соотношение $A+B = \pi-C$ для аргумента синуса:

$\sin(n(A+B)) = \sin(n(\pi-C)) = \sin(n\pi-nC)$

Применим формулу приведения: $\sin(n\pi - x) = \sin(n\pi)\cos x - \cos(n\pi)\sin x = 0 - (-1)^n\sin x = (-1)^{n+1}\sin x$.

Таким образом, $\sin(n(A+B)) = (-1)^{n+1}\sin nC$.

Подставим это обратно в выражение для левой части. Также используем формулу синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x \cos x$ для $\sin2nC$:

$LHS = 2(-1)^{n+1}\sin nC \cos(n(A-B)) + 2\sin nC \cos nC$

Вынесем общий множитель $2\sin nC$ за скобки:

$LHS = 2\sin nC [(-1)^{n+1}\cos(n(A-B)) + \cos nC]$

Теперь преобразуем $\cos nC$, используя $C=\pi-(A+B)$:

$\cos nC = \cos(n(\pi-(A+B))) = \cos(n\pi-n(A+B))$

По формуле приведения $\cos(n\pi - x) = \cos(n\pi)\cos x + \sin(n\pi)\sin x = (-1)^n\cos x$.

Следовательно, $\cos nC = (-1)^n\cos(n(A+B))$.

Подставим это в наше выражение:

$LHS = 2\sin nC [(-1)^{n+1}\cos(n(A-B)) + (-1)^n\cos(n(A+B))]$

Вынесем $(-1)^{n+1}$ из скобок:

$LHS = 2(-1)^{n+1}\sin nC [\cos(n(A-B)) - \cos(n(A+B))]$

Применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos(n(A-B)) - \cos(n(A+B)) = -2\sin\frac{n(A-B)+n(A+B)}{2}\sin\frac{n(A-B)-n(A+B)}{2}$

$= -2\sin(nA)\sin(-nB) = 2\sin(nA)\sin(nB)$

Подставляя это обратно, получаем:

$LHS = 2(-1)^{n+1}\sin nC (2\sin nA \sin nB) = (-1)^{n+1}4\sin nA \sin nB \sin nC$

Таким образом, левая часть равна правой, и тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) $\sin(2n+1)A+\sin(2n+1)B+\sin(2n+1)C=(-1)^n4\cos\frac{(2n+1)A}{2}\cos\frac{(2n+1)B}{2}\cos\frac{(2n+1)C}{2}$

Обозначим $k = 2n+1$ для упрощения записи. Тождество принимает вид:

$\sin kA + \sin kB + \sin kC = (-1)^n4\cos\frac{kA}{2}\cos\frac{kB}{2}\cos\frac{kC}{2}$

Из условия $A+B+C=\pi$ следует, что $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.

Преобразуем левую часть (LHS), используя формулу суммы синусов и синуса двойного угла:

$LHS = (\sin kA + \sin kB) + \sin kC = 2\sin\frac{k(A+B)}{2}\cos\frac{k(A-B)}{2} + 2\sin\frac{kC}{2}\cos\frac{kC}{2}$

Преобразуем член $\sin\frac{k(A+B)}{2}$, используя $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$:

$\sin\frac{k(A+B)}{2} = \sin(k(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2})) = \sin(\frac{k\pi}{2}-\frac{kC}{2})$

Так как $k=2n+1$, $\frac{k\pi}{2} = \frac{(2n+1)\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$.

$\sin(n\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{kC}{2}) = \sin(n\pi)\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{kC}{2}) + \cos(n\pi)\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{kC}{2}) = 0 + (-1)^n\cos\frac{kC}{2} = (-1)^n\cos\frac{kC}{2}$

Подставим это в выражение для LHS:

$LHS = 2(-1)^n\cos\frac{kC}{2}\cos\frac{k(A-B)}{2} + 2\sin\frac{kC}{2}\cos\frac{kC}{2}$

Вынесем $2\cos\frac{kC}{2}$ за скобки:

$LHS = 2\cos\frac{kC}{2}[(-1)^n\cos\frac{k(A-B)}{2} + \sin\frac{kC}{2}]$

Теперь преобразуем $\sin\frac{kC}{2}$, используя $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}$:

$\sin\frac{kC}{2} = \sin(k(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2})) = \sin(\frac{k\pi}{2}-\frac{k(A+B)}{2})$

По аналогии с предыдущим преобразованием, это выражение равно $(-1)^n\cos\frac{k(A+B)}{2}$.

Подставим это обратно:

$LHS = 2\cos\frac{kC}{2}[(-1)^n\cos\frac{k(A-B)}{2} + (-1)^n\cos\frac{k(A+B)}{2}]$

Вынесем $(-1)^n$ за скобки:

$LHS = 2(-1)^n\cos\frac{kC}{2}[\cos\frac{k(A-B)}{2} + \cos\frac{k(A+B)}{2}]$

Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos\frac{k(A-B)}{2} + \cos\frac{k(A+B)}{2} = 2\cos\frac{\frac{k(A-B)}{2}+\frac{k(A+B)}{2}}{2}\cos\frac{\frac{k(A-B)}{2}-\frac{k(A+B)}{2}}{2}$

$= 2\cos(\frac{kA}{2})\cos(\frac{-kB}{2}) = 2\cos\frac{kA}{2}\cos\frac{kB}{2}$

Подставляя результат в выражение для LHS, получаем:

$LHS = 2(-1)^n\cos\frac{kC}{2}(2\cos\frac{kA}{2}\cos\frac{kB}{2}) = (-1)^n4\cos\frac{kA}{2}\cos\frac{kB}{2}\cos\frac{kC}{2}$

Заменив $k$ обратно на $2n+1$, мы получаем правую часть исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано.

4.161. Найдите наименьшее значение выражения $\frac{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha}{\cos 4\alpha + 1}$ при $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Для нахождения наименьшего значения выражения преобразуем его числитель и знаменатель по отдельности.

1. Упростим числитель $\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha$:

$\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используя формулы двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = 2\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 2\text{ctg}(2\alpha)$

2. Упростим знаменатель $\cos 4\alpha + 1$:

Используя формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$, применив ее для $x = 2\alpha$, получим:

$\cos 4\alpha + 1 = 2\cos^2(2\alpha)$

3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{2\text{ctg}(2\alpha)}{2\cos^2(2\alpha)} = \frac{\text{ctg}(2\alpha)}{\cos^2(2\alpha)} = \frac{\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}}{\cos^2(2\alpha)}$

При условии $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, имеем $0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$, следовательно $\cos(2\alpha) > 0$. Мы можем сократить дробь на $\cos(2\alpha)$:

$\frac{1}{\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}$

Снова воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$, из которой следует $\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha)$.

Таким образом, исходное выражение равно:

$\frac{1}{\frac{1}{2}\sin(4\alpha)} = \frac{2}{\sin(4\alpha)}$

4. Найдем наименьшее значение полученного выражения.

Нам нужно найти наименьшее значение функции $f(\alpha) = \frac{2}{\sin(4\alpha)}$ при условии $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Выражение $\frac{2}{\sin(4\alpha)}$ принимает наименьшее значение, когда его знаменатель $\sin(4\alpha)$ принимает наибольшее значение, так как числитель является положительной константой.

Определим область значений для аргумента синуса, $4\alpha$:

Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, то умножив все части неравенства на 4, получим $0 < 4\alpha < \pi$.

На интервале $(0, \pi)$ функция синус принимает значения от 0 до 1. Наибольшее значение функции $\sin(x)$ на этом интервале равно 1 и достигается при $x = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, наибольшее значение $\sin(4\alpha)$ равно 1, оно достигается при $4\alpha = \frac{\pi}{2}$, то есть при $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Это значение $\alpha$ удовлетворяет условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Итак, наименьшее значение всего выражения равно:

$\frac{2}{\max(\sin(4\alpha))} = \frac{2}{1} = 2$

Ответ: 2