Страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.150. Вычислите:

1) $sin^2 \frac{\pi}{8} + cos^2 \frac{3\pi}{8} + sin^2 \frac{5\pi}{8} + cos^2 \frac{7\pi}{8};$

2) $tg435^\circ+tg375^\circ;$

3) $tg255^\circ-tg195^\circ;$

4) $ctg \left(\frac{13\pi}{12}\right) - ctg \left(\frac{5\pi}{12}\right);$

5) $sin \left(2x + \frac{5\pi}{4}\right)$ при $tgx = \frac{2}{3};$

6) $cos \left(2x + \frac{7\pi}{4}\right)$ при $ctgx = \frac{2}{3};$

7) $sin2x$ при $sinx-cosx=p;$

8) $tg \left(\frac{5\pi}{4} + x\right) + tg \left(\frac{5\pi}{4} - x\right)$ при $tg \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 0,75;$

9) $sin \frac{x+y}{2}$ и $cos \frac{x+y}{2}$ при $sinx + siny = -\frac{21}{65}$, $cosx+cosy = -\frac{27}{65}$, $\frac{5\pi}{2} < x < 3\pi$ и $-\frac{\pi}{2} < y < 0.$

1)

Для вычисления данного выражения воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{7\pi}{8}) + (\cos^2 \frac{3\pi}{8} + \sin^2 \frac{5\pi}{8})$

Рассмотрим первую группу. Используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$:

$\cos \frac{7\pi}{8} = \cos(\pi - \frac{\pi}{8}) = -\cos \frac{\pi}{8}$

Тогда $\cos^2 \frac{7\pi}{8} = (-\cos \frac{\pi}{8})^2 = \cos^2 \frac{\pi}{8}$.

Следовательно, первая группа равна:

$\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1$

Рассмотрим вторую группу. Используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$:

$\sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8}$

Тогда $\sin^2 \frac{5\pi}{8} = \sin^2 \frac{3\pi}{8}$.

Следовательно, вторая группа равна:

$\cos^2 \frac{3\pi}{8} + \sin^2 \frac{3\pi}{8} = 1$

Итоговая сумма равна $1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

2)

Сначала приведем углы к значениям в пределах от 0 до 90 градусов, используя периодичность тангенса (период $180^\circ$ или $360^\circ$):

$\text{tg}435^\circ = \text{tg}(360^\circ + 75^\circ) = \text{tg}75^\circ$

$\text{tg}375^\circ = \text{tg}(360^\circ + 15^\circ) = \text{tg}15^\circ$

Таким образом, выражение сводится к $\text{tg}75^\circ + \text{tg}15^\circ$.

Вычислим значения тангенсов, используя формулы для суммы и разности углов:

$\text{tg}75^\circ = \text{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\text{tg}45^\circ + \text{tg}30^\circ}{1 - \text{tg}45^\circ \text{tg}30^\circ} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

$\text{tg}15^\circ = \text{tg}(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\text{tg}45^\circ - \text{tg}30^\circ}{1 + \text{tg}45^\circ \text{tg}30^\circ} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

Теперь найдем сумму:

$\text{tg}75^\circ + \text{tg}15^\circ = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$

Ответ: 4

3)

Приведем углы к значениям в пределах от 0 до 90 градусов, используя свойство периодичности тангенса (период $180^\circ$):

$\text{tg}255^\circ = \text{tg}(180^\circ + 75^\circ) = \text{tg}75^\circ$

$\text{tg}195^\circ = \text{tg}(180^\circ + 15^\circ) = \text{tg}15^\circ$

Выражение принимает вид $\text{tg}75^\circ - \text{tg}15^\circ$.

Используя значения, вычисленные в предыдущем задании ($\text{tg}75^\circ = 2+\sqrt{3}$ и $\text{tg}15^\circ = 2-\sqrt{3}$):

$\text{tg}75^\circ - \text{tg}15^\circ = (2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

4)

Воспользуемся формулой приведения $\text{ctg}(\pi+\alpha) = \text{ctg}\alpha$:

$\text{ctg}(\frac{13\pi}{12}) = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{12}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{12})$

Выражение принимает вид $\text{ctg}(\frac{\pi}{12}) - \text{ctg}(\frac{5\pi}{12})$.

Заметим, что $\frac{\pi}{12} = 15^\circ$ и $\frac{5\pi}{12} = 75^\circ$.

Нам нужно вычислить $\text{ctg}15^\circ - \text{ctg}75^\circ$.

Так как $\text{ctg}\alpha = 1/\text{tg}\alpha$, используя значения из задания 2:

$\text{ctg}15^\circ = \frac{1}{\text{tg}15^\circ} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

$\text{ctg}75^\circ = \frac{1}{\text{tg}75^\circ} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$

Найдем разность:

$\text{ctg}15^\circ - \text{ctg}75^\circ = (2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

5)

Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

$\sin(2x + \frac{5\pi}{4}) = \sin(2x)\cos(\frac{5\pi}{4}) + \cos(2x)\sin(\frac{5\pi}{4})$

Найдем значения косинуса и синуса для угла $\frac{5\pi}{4}$:

$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$\sin(2x)(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos(2x)(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin(2x) + \cos(2x))$

Теперь выразим $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$ через $\text{tg}x = \frac{2}{3}$ по формулам универсальной тригонометрической подстановки:

$\sin(2x) = \frac{2\text{tg}x}{1+\text{tg}^2x} = \frac{2 \cdot \frac{2}{3}}{1+(\frac{2}{3})^2} = \frac{\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{9}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{13}{9}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{13} = \frac{12}{13}$

$\cos(2x) = \frac{1-\text{tg}^2x}{1+\text{tg}^2x} = \frac{1-(\frac{2}{3})^2}{1+(\frac{2}{3})^2} = \frac{1-\frac{4}{9}}{1+\frac{4}{9}} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{13}{9}} = \frac{5}{13}$

Подставим найденные значения в итоговое выражение:

$-\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{12}{13} + \frac{5}{13}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{17}{13}) = -\frac{17\sqrt{2}}{26}$

Ответ: $-\frac{17\sqrt{2}}{26}$

6)

Из условия $\text{ctg}x = \frac{2}{3}$ следует, что $\text{tg}x = \frac{1}{\text{ctg}x} = \frac{3}{2}$.

Используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

$\cos(2x + \frac{7\pi}{4}) = \cos(2x)\cos(\frac{7\pi}{4}) - \sin(2x)\sin(\frac{7\pi}{4})$

Найдем значения косинуса и синуса для угла $\frac{7\pi}{4}$:

$\cos(\frac{7\pi}{4}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{7\pi}{4}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$\cos(2x)(\frac{\sqrt{2}}{2}) - \sin(2x)(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos(2x) + \sin(2x))$

Выразим $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$ через $\text{tg}x = \frac{3}{2}$:

$\sin(2x) = \frac{2\text{tg}x}{1+\text{tg}^2x} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{1+(\frac{3}{2})^2} = \frac{3}{1+\frac{9}{4}} = \frac{3}{\frac{13}{4}} = \frac{12}{13}$

$\cos(2x) = \frac{1-\text{tg}^2x}{1+\text{tg}^2x} = \frac{1-(\frac{3}{2})^2}{1+(\frac{3}{2})^2} = \frac{1-\frac{9}{4}}{1+\frac{9}{4}} = \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{13}{4}} = -\frac{5}{13}$

Подставим найденные значения в итоговое выражение:

$\frac{\sqrt{2}}{2}(-\frac{5}{13} + \frac{12}{13}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{7}{13}) = \frac{7\sqrt{2}}{26}$

Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{26}$

7)

Дано равенство $\sin x - \cos x = p$.

Чтобы найти $\sin 2x$, возведем обе части данного равенства в квадрат:

$(\sin x - \cos x)^2 = p^2$

$\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = p^2$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получим:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) - 2\sin x \cos x = p^2$

$1 - \sin 2x = p^2$

Выразим $\sin 2x$:

$\sin 2x = 1 - p^2$

Ответ: $1-p^2$

8)

Сначала найдем $\text{tg}x$ из условия $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + x) = 0,75$.

Используя формулу приведения $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}\alpha$, получаем:

$-\text{ctg}x = 0,75 = \frac{3}{4}$

Отсюда $\text{ctg}x = -\frac{3}{4}$, и $\text{tg}x = \frac{1}{\text{ctg}x} = -\frac{4}{3}$.

Теперь преобразуем искомое выражение $\text{tg}(\frac{5\pi}{4} + x) + \text{tg}(\frac{5\pi}{4} - x)$.

Используем формулы тангенса суммы и разности. Заметим, что $\text{tg}(\frac{5\pi}{4}) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

$\text{tg}(\frac{5\pi}{4} + x) = \frac{\text{tg}(\frac{5\pi}{4}) + \text{tg}x}{1 - \text{tg}(\frac{5\pi}{4})\text{tg}x} = \frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x}$

$\text{tg}(\frac{5\pi}{4} - x) = \frac{\text{tg}(\frac{5\pi}{4}) - \text{tg}x}{1 + \text{tg}(\frac{5\pi}{4})\text{tg}x} = \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x} + \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x} = \frac{(1 + \text{tg}x)^2 + (1 - \text{tg}x)^2}{(1 - \text{tg}x)(1 + \text{tg}x)} = \frac{(1+2\text{tg}x+\text{tg}^2x) + (1-2\text{tg}x+\text{tg}^2x)}{1-\text{tg}^2x} = \frac{2+2\text{tg}^2x}{1-\text{tg}^2x}$

Подставим значение $\text{tg}x = -\frac{4}{3}$. Тогда $\text{tg}^2x = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.

$\frac{2+2(\frac{16}{9})}{1-\frac{16}{9}} = \frac{2(1+\frac{16}{9})}{1-\frac{16}{9}} = \frac{2(\frac{25}{9})}{-\frac{7}{9}} = \frac{2 \cdot 25}{-7} = -\frac{50}{7}$

Ответ: $-\frac{50}{7}$

9)

Используем формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$\sin x + \sin y = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) = -\frac{21}{65}$

$\cos x + \cos y = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) = -\frac{27}{65}$

Разделим первое уравнение на второе (это возможно, так как правые части не равны нулю):

$\frac{2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})}{2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})} = \frac{-21/65}{-27/65}$

$\text{tg}(\frac{x+y}{2}) = \frac{21}{27} = \frac{7}{9}$

Теперь определим, в какой четверти находится угол $\frac{x+y}{2}$. Из условий задачи:

$\frac{5\pi}{2} < x < 3\pi$

$-\frac{\pi}{2} < y < 0$

Сложим эти неравенства:

$\frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < x+y < 3\pi + 0 \implies \frac{4\pi}{2} < x+y < 3\pi \implies 2\pi < x+y < 3\pi$

Разделим неравенство на 2:

$\pi < \frac{x+y}{2} < \frac{3\pi}{2}$

Это соответствует третьей координатной четверти, где и синус, и косинус отрицательны.

Зная $\text{tg}(\frac{x+y}{2}) = \frac{7}{9}$, найдем синус и косинус. Пусть $\alpha = \frac{x+y}{2}$.

Из тождества $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:

$\cos^2\alpha = \frac{1}{1+\text{tg}^2\alpha} = \frac{1}{1+(\frac{7}{9})^2} = \frac{1}{1+\frac{49}{81}} = \frac{1}{\frac{130}{81}} = \frac{81}{130}$

Так как $\alpha$ в третьей четверти, $\cos\alpha < 0$, поэтому:

$\cos(\frac{x+y}{2}) = -\sqrt{\frac{81}{130}} = -\frac{9}{\sqrt{130}} = -\frac{9\sqrt{130}}{130}$

Найдем синус: $\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$.

$\sin(\frac{x+y}{2}) = \frac{7}{9} \cdot (-\frac{9}{\sqrt{130}}) = -\frac{7}{\sqrt{130}} = -\frac{7\sqrt{130}}{130}$

Ответ: $\sin(\frac{x+y}{2}) = -\frac{7\sqrt{130}}{130}$, $\cos(\frac{x+y}{2}) = -\frac{9\sqrt{130}}{130}$

4.151. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения

$\frac{2 \cos^2 x + \cos 4x - 1}{\cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}}$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений выражения, сначала упростим его. Исходное выражение: $E(x) = \displaystyle\frac{2 \cos^2 x + \cos 4x - 1}{\cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}}$.

Упрощение числителя
Используем формулу косинуса двойного угла $2\cos^2\alpha - 1 = \cos(2\alpha)$. Числитель преобразуется к виду:
$2 \cos^2 x + \cos 4x - 1 = (2 \cos^2 x - 1) + \cos 4x = \cos(2x) + \cos(4x)$.

Упрощение знаменателя
Применим формулу разности квадратов $a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$:
$\cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} = (\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2})$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$, получаем, что знаменатель равен $(\cos x) \cdot 1 = \cos x$.

Упрощение всего выражения
Область определения выражения задается условием $\cos x \neq 0$. Подставив упрощенные части, получаем:
$E(x) = \displaystyle\frac{\cos(2x) + \cos(4x)}{\cos x}$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}$ к числителю:
$\cos(4x) + \cos(2x) = 2 \cos(3x) \cos(x)$.
Теперь выражение имеет вид:
$E(x) = \displaystyle\frac{2 \cos(3x) \cos(x)}{\cos x}$.
Так как $\cos x \neq 0$, мы можем сократить дробь:
$E(x) = 2 \cos(3x)$.

Нахождение наименьшего и наибольшего значений
Область значений функции $\cos(\theta)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для функции $E(x) = 2 \cos(3x)$ имеем: $-1 \le \cos(3x) \le 1$.
Умножив все части неравенства на 2, получаем: $-2 \le 2 \cos(3x) \le 2$.
Наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее равно 2. Эти значения достигаются, так как значения $x$, при которых $\cos(3x) = \pm 1$, не приводят к обращению знаменателя $\cos x$ в ноль.

Ответ: наименьшее значение выражения равно -2, наибольшее значение равно 2.

4.152. Вычислите:

1) $\sin 18^\circ$; 2) $\sin 42^\circ$; 3) $\sin 15^\circ$; 4) $\sin \frac{3\pi}{10} \cdot \sin \frac{\pi}{10}$.

4.153. Упростите выражение!

1)Чтобы вычислить $ \sin 18^\circ $, обозначим $ x = 18^\circ $. Тогда $ 5x = 90^\circ $.
Это равенство можно записать как $ 2x + 3x = 90^\circ $, откуда $ 2x = 90^\circ - 3x $.
Возьмем синус от обеих частей равенства: $ \sin(2x) = \sin(90^\circ - 3x) $.
Используя формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) $, получаем: $ \sin(2x) = \cos(3x) $.
Теперь применим формулы двойного и тройного углов:
$ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $
$ \cos(3x) = 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) $
Подставим их в наше равенство:
$ 2 \sin(x) \cos(x) = 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) $.
Поскольку $ x = 18^\circ $, $ \cos(18^\circ) \neq 0 $, мы можем разделить обе части на $ \cos(x) $:
$ 2 \sin(x) = 4 \cos^2(x) - 3 $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) $:
$ 2 \sin(x) = 4(1 - \sin^2(x)) - 3 $
$ 2 \sin(x) = 4 - 4 \sin^2(x) - 3 $
$ 4 \sin^2(x) + 2 \sin(x) - 1 = 0 $.
Сделаем замену $ y = \sin(x) $ и решим квадратное уравнение $ 4y^2 + 2y - 1 = 0 $:
$ D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 4 + 16 = 20 $.
$ y = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} $.
Так как $ x = 18^\circ $ находится в первой четверти, $ \sin(18^\circ) > 0 $. Следовательно, мы выбираем положительный корень.
$ \sin(18^\circ) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5}-1}{4} $.

2)Для вычисления $ \sin 42^\circ $ представим $ 42^\circ $ как разность известных углов, например, $ 42^\circ = 60^\circ - 18^\circ $.
Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.
$ \sin(42^\circ) = \sin(60^\circ - 18^\circ) = \sin 60^\circ \cos 18^\circ - \cos 60^\circ \sin 18^\circ $.
Мы знаем значения для $ 60^\circ $: $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.
Из пункта 1) мы знаем, что $ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $.
Найдем $ \cos 18^\circ $ из основного тригонометрического тождества. Поскольку $ 18^\circ $ в первой четверти, $ \cos 18^\circ > 0 $.
$ \cos^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{16 - 6 + 2\sqrt{5}}{16} = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16} $.
$ \cos 18^\circ = \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} $.
Подставим все значения в формулу:
$ \sin 42^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} - (\sqrt{5}-1)}{8} = \frac{\sqrt{30 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{5} + 1}{8} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{30 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{5} + 1}{8} $.

3)Чтобы вычислить $ \sin 15^\circ $, представим $ 15^\circ $ как разность табличных углов $ 45^\circ $ и $ 30^\circ $: $ 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ $.
Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.
$ \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ $.
Значения тригонометрических функций для $ 30^\circ $ и $ 45^\circ $ известны:
$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставим эти значения в формулу:
$ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.

4)Вычислим произведение $ \sin\frac{3\pi}{10} \cdot \sin\frac{\pi}{10} $.
Сначала переведем углы из радиан в градусы. Зная, что $ \pi = 180^\circ $:
$ \frac{\pi}{10} = \frac{180^\circ}{10} = 18^\circ $
$ \frac{3\pi}{10} = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ $
Таким образом, нам нужно вычислить $ \sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ $.
Из пункта 1) мы знаем, что $ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $.
Найдем значение $ \sin 54^\circ $. Используем формулу приведения: $ \sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ $.
Теперь найдем $ \cos 36^\circ $ через $ \sin 18^\circ $ по формуле косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $:
$ \cos 36^\circ = \cos(2 \cdot 18^\circ) = 1 - 2\sin^2 18^\circ = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = 1 - 2\frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} = \frac{8 - (6 - 2\sqrt{5})}{8} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} $.
Итак, $ \sin 54^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4} $.
Теперь перемножим значения:
$ \sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} $.
Это произведение соответствует формуле разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:
$ \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4 \cdot 4} = \frac{5-1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

4.153. Упростите выражения:

1) $\sin^3 2\alpha \cdot \cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha \cdot \sin 6\alpha$;

2) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha+\beta)$;

3) $9\sin \alpha \cos 3\alpha + 9\sin \alpha \cos \alpha - 3\sin 3\alpha \cos 3\alpha - 3\sin 3\alpha \cos \alpha$;

4) $4(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - 4(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 1$.

1) $sin^3{2\alpha} \cdot cos{6\alpha} + cos^3{2\alpha} \cdot sin{6\alpha}$

Для упрощения этого выражения введем замену $x = 2\alpha$. Тогда выражение примет вид:$sin^3x \cdot cos{3x} + cos^3x \cdot sin{3x}$
Воспользуемся формулами для синуса и косинуса тройного угла в виде для понижения степени:
$sin^3x = \frac{3sinx - sin(3x)}{4}$
$cos^3x = \frac{3cosx + cos(3x)}{4}$
Подставим эти формулы в наше выражение:
$\frac{3sinx - sin(3x)}{4} \cdot cos(3x) + \frac{3cosx + cos(3x)}{4} \cdot sin(3x)$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки и раскроем скобки внутри:
$\frac{1}{4} (3sinx \cdot cos(3x) - sin(3x)cos(3x) + 3cosx \cdot sin(3x) + cos(3x)sin(3x))$
Члены $- sin(3x)cos(3x)$ и $+ cos(3x)sin(3x)$ взаимно уничтожаются. Остается:
$\frac{1}{4} (3sinx \cdot cos(3x) + 3cosx \cdot sin(3x))$
Вынесем 3 за скобки:
$\frac{3}{4} (sinx \cdot cos(3x) + cosx \cdot sin(3x))$
Выражение в скобках является формулой синуса суммы: $sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB$.
$\frac{3}{4} sin(x + 3x) = \frac{3}{4} sin(4x)$
Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $x = 2\alpha$:
$\frac{3}{4} sin(4 \cdot 2\alpha) = \frac{3}{4} sin(8\alpha)$
Ответ: $\frac{3}{4}sin(8\alpha)$

2) $sin^2\alpha+sin^2\beta+2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$

Воспользуемся формулами понижения степени $sin^2x = \frac{1-cos(2x)}{2}$:
$\frac{1-cos(2\alpha)}{2} + \frac{1-cos(2\beta)}{2} + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$
$= \frac{1}{2} - \frac{cos(2\alpha)}{2} + \frac{1}{2} - \frac{cos(2\beta)}{2} + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$
$= 1 - \frac{1}{2}(cos(2\alpha)+cos(2\beta)) + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$
Применим формулу суммы косинусов $cosA+cosB = 2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$:
$= 1 - \frac{1}{2}(2cos(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta)) + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$
$= 1 - cos(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta) + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha+\beta)$
Вынесем $cos(\alpha+\beta)$ за скобки:
$= 1 + cos(\alpha+\beta)(2sin\alpha sin\beta - cos(\alpha-\beta))$
Раскроем $cos(\alpha-\beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$:
$= 1 + cos(\alpha+\beta)(2sin\alpha sin\beta - (cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta))$
$= 1 + cos(\alpha+\beta)(sin\alpha sin\beta - cos\alpha cos\beta)$
$= 1 - cos(\alpha+\beta)(cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)$
Выражение в скобках - это формула косинуса суммы $cos(\alpha+\beta)$:
$= 1 - cos(\alpha+\beta) \cdot cos(\alpha+\beta) = 1 - cos^2(\alpha+\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x+cos^2x=1$, получаем:
$1 - cos^2(\alpha+\beta) = sin^2(\alpha+\beta)$
Ответ: $sin^2(\alpha+\beta)$

3) $9sin\alpha cos3\alpha+9sin\alpha cos\alpha-3sin3\alpha cos3\alpha-3sin3\alpha cos\alpha$

Сгруппируем слагаемые. Сначала те, что содержат $cos3\alpha$, а затем те, что содержат $cos\alpha$:
$(9sin\alpha cos3\alpha - 3sin3\alpha cos3\alpha) + (9sin\alpha cos\alpha - 3sin3\alpha cos\alpha)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$cos3\alpha(9sin\alpha - 3sin3\alpha) + cos\alpha(9sin\alpha - 3sin3\alpha)$
Теперь вынесем общий множитель $(9sin\alpha - 3sin3\alpha)$:
$(9sin\alpha - 3sin3\alpha)(cos3\alpha + cos\alpha)$
Упростим каждый из множителей в скобках отдельно.
Первый множитель: $9sin\alpha - 3sin3\alpha$. Используем формулу $sin3\alpha = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$.
$9sin\alpha - 3(3sin\alpha - 4sin^3\alpha) = 9sin\alpha - 9sin\alpha + 12sin^3\alpha = 12sin^3\alpha$
Второй множитель: $cos3\alpha + cos\alpha$. Используем формулу суммы косинусов.
$cos3\alpha + cos\alpha = 2cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2cos(2\alpha)cos\alpha$
Теперь перемножим упрощенные множители:
$(12sin^3\alpha) \cdot (2cos(2\alpha)cos\alpha) = 24sin^3\alpha cos\alpha cos(2\alpha)$
Преобразуем выражение, используя формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$:
$12 \cdot (2sin\alpha cos\alpha) \cdot sin^2\alpha \cdot cos(2\alpha) = 12sin(2\alpha)sin^2\alpha cos(2\alpha)$
Сгруппируем $sin(2\alpha)$ и $cos(2\alpha)$:
$6 \cdot (2sin(2\alpha)cos(2\alpha)) \cdot sin^2\alpha = 6sin(4\alpha)sin^2\alpha$
Ответ: $6sin(4\alpha)sin^2\alpha$

4) $4(sin^4\alpha+cos^4\alpha)-4(sin^6\alpha+cos^6\alpha)-1$

Упростим выражения в скобках, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$.
Для $sin^4\alpha+cos^4\alpha$:
$sin^4\alpha+cos^4\alpha = (sin^2\alpha+cos^2\alpha)^2 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha = 1^2 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha$
Для $sin^6\alpha+cos^6\alpha$:
$sin^6\alpha+cos^6\alpha = (sin^2\alpha)^3+(cos^2\alpha)^3 = (sin^2\alpha+cos^2\alpha)(sin^4\alpha-sin^2\alpha cos^2\alpha+cos^4\alpha)$
$= 1 \cdot ((sin^4\alpha+cos^4\alpha) - sin^2\alpha cos^2\alpha) = (1 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha) - sin^2\alpha cos^2\alpha = 1 - 3sin^2\alpha cos^2\alpha$
Подставим полученные выражения в исходное:
$4(1 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha) - 4(1 - 3sin^2\alpha cos^2\alpha) - 1$
Раскроем скобки:
$4 - 8sin^2\alpha cos^2\alpha - 4 + 12sin^2\alpha cos^2\alpha - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$(4-4-1) + (-8sin^2\alpha cos^2\alpha + 12sin^2\alpha cos^2\alpha) = -1 + 4sin^2\alpha cos^2\alpha$
Преобразуем второе слагаемое:
$4sin^2\alpha cos^2\alpha = (2sin\alpha cos\alpha)^2 = (sin(2\alpha))^2 = sin^2(2\alpha)$
Выражение принимает вид:
$-1 + sin^2(2\alpha) = sin^2(2\alpha) - 1 = -(1 - sin^2(2\alpha))$
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем:
$-(cos^2(2\alpha)) = -cos^2(2\alpha)$
Ответ: $-cos^2(2\alpha)$

4.154. Докажите тождества:

1) $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}2\alpha-\operatorname{tg}3\alpha = -\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}2\alpha \operatorname{tg}3\alpha;$

2) $\frac{1}{\operatorname{tg}3x - \operatorname{tg}x} - \frac{1}{\operatorname{ctg}3x - \operatorname{ctg}x} = \operatorname{ctg}2x;$

3) $\sin\alpha+\sin3\alpha+\sin5\alpha+\sin7\alpha=4\cos\alpha \cos2\alpha \sin4\alpha;$

4) $\sin^6\alpha-\cos^6\alpha=\cos2\alpha(0{,}25\sin2\alpha-1).$

1)

Докажем тождество $\tg\alpha+\tg2\alpha-\tg3\alpha= -\tg\alpha \tg2\alpha \tg3\alpha$.

Рассмотрим $\tg3\alpha$, представив $3\alpha$ как сумму $\alpha+2\alpha$.

Используем формулу тангенса суммы: $\tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$.

$\tg3\alpha = \tg(\alpha+2\alpha) = \frac{\tg\alpha + \tg2\alpha}{1 - \tg\alpha \tg2\alpha}$.

При условии, что $1 - \tg\alpha \tg2\alpha \neq 0$, умножим обе части на знаменатель:

$\tg3\alpha(1 - \tg\alpha \tg2\alpha) = \tg\alpha + \tg2\alpha$.

Раскроем скобки в левой части:

$\tg3\alpha - \tg3\alpha \tg\alpha \tg2\alpha = \tg\alpha + \tg2\alpha$.

Перегруппируем члены, чтобы получить требуемое выражение:

$\tg\alpha + \tg2\alpha - \tg3\alpha = - \tg\alpha \tg2\alpha \tg3\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество $\frac{1}{\tg3x - \tg x} - \frac{1}{\ctg3x - \ctg x} = \ctg2x$.

Преобразуем левую часть. Сначала рассмотрим каждое слагаемое отдельно, выразив тангенсы и котангенсы через синусы и косинусы.

Первое слагаемое:

$\frac{1}{\tg3x - \tg x} = \frac{1}{\frac{\sin3x}{\cos3x} - \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{1}{\frac{\sin3x\cos x - \cos3x\sin x}{\cos3x\cos x}}$.

В знаменателе дроби находится формула синуса разности $\sin(a-b)=\sin a \cos b - \cos a \sin b$.

$\frac{1}{\frac{\sin(3x-x)}{\cos3x\cos x}} = \frac{\cos3x\cos x}{\sin2x}$.

Второе слагаемое:

$\frac{1}{\ctg3x - \ctg x} = \frac{1}{\frac{\cos3x}{\sin3x} - \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{1}{\frac{\cos3x\sin x - \sin3x\cos x}{\sin3x\sin x}}$.

Вынесем знак минус из числителя в знаменателе дроби, чтобы получить формулу синуса разности:

$\frac{1}{-\frac{\sin3x\cos x - \cos3x\sin x}{\sin3x\sin x}} = \frac{1}{-\frac{\sin(3x-x)}{\sin3x\sin x}} = -\frac{\sin3x\sin x}{\sin2x}$.

Теперь вычтем второе преобразованное слагаемое из первого:

$\frac{\cos3x\cos x}{\sin2x} - (-\frac{\sin3x\sin x}{\sin2x}) = \frac{\cos3x\cos x + \sin3x\sin x}{\sin2x}$.

В числителе получилась формула косинуса разности $\cos(a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b$.

$\frac{\cos(3x-x)}{\sin2x} = \frac{\cos2x}{\sin2x} = \ctg2x$.

Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Докажем тождество $\sin\alpha+\sin3\alpha+\sin5\alpha+\sin7\alpha=4\cos\alpha \cos2\alpha \sin4\alpha$.

Сгруппируем слагаемые в левой части и применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

$(\sin7\alpha + \sin\alpha) + (\sin5\alpha + \sin3\alpha)$.

Преобразуем первую группу:

$\sin7\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{7\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos3\alpha$.

Преобразуем вторую группу:

$\sin5\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos\alpha$.

Подставим полученные выражения обратно в сумму:

$2\sin4\alpha\cos3\alpha + 2\sin4\alpha\cos\alpha$.

Вынесем общий множитель $2\sin4\alpha$ за скобки:

$2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)$.

К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

$\cos3\alpha + \cos\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha$.

Подставим это обратно в общее выражение:

$2\sin4\alpha(2\cos2\alpha\cos\alpha) = 4\sin4\alpha\cos2\alpha\cos\alpha$.

Переставив множители, получаем правую часть тождества: $4\cos\alpha\cos2\alpha\sin4\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Докажем тождество $\sin^6\alpha-\cos^6\alpha=\cos2\alpha(0,25\sin^2 2\alpha-1)$.

Преобразуем левую часть. Представим ее как разность кубов: $(\sin^2\alpha)^3 - (\cos^2\alpha)^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha)$.

Преобразуем каждый множитель.

Первый множитель: $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = -\cos2\alpha$.

Второй множитель: $\sin^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha$. Дополним $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$ до полного квадрата суммы.

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Подставим это во второй множитель:

$(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) + \sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin2\alpha$.

Тогда $\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\frac{1}{2}\sin2\alpha)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha = 0,25\sin^2 2\alpha$.

Значит, второй множитель равен $1 - 0,25\sin^2 2\alpha$.

Теперь перемножим преобразованные множители:

$(-\cos2\alpha)(1 - 0,25\sin^2 2\alpha)$.

Внесем знак минус в скобку:

$\cos2\alpha(0,25\sin^2 2\alpha - 1)$.

Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.