Номер 4.154, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.154. Докажите тождества:

1) $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}2\alpha-\operatorname{tg}3\alpha = -\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}2\alpha \operatorname{tg}3\alpha;$

2) $\frac{1}{\operatorname{tg}3x - \operatorname{tg}x} - \frac{1}{\operatorname{ctg}3x - \operatorname{ctg}x} = \operatorname{ctg}2x;$

3) $\sin\alpha+\sin3\alpha+\sin5\alpha+\sin7\alpha=4\cos\alpha \cos2\alpha \sin4\alpha;$

4) $\sin^6\alpha-\cos^6\alpha=\cos2\alpha(0{,}25\sin2\alpha-1).$

1)

Докажем тождество $\tg\alpha+\tg2\alpha-\tg3\alpha= -\tg\alpha \tg2\alpha \tg3\alpha$.

Рассмотрим $\tg3\alpha$, представив $3\alpha$ как сумму $\alpha+2\alpha$.

Используем формулу тангенса суммы: $\tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$.

$\tg3\alpha = \tg(\alpha+2\alpha) = \frac{\tg\alpha + \tg2\alpha}{1 - \tg\alpha \tg2\alpha}$.

При условии, что $1 - \tg\alpha \tg2\alpha \neq 0$, умножим обе части на знаменатель:

$\tg3\alpha(1 - \tg\alpha \tg2\alpha) = \tg\alpha + \tg2\alpha$.

Раскроем скобки в левой части:

$\tg3\alpha - \tg3\alpha \tg\alpha \tg2\alpha = \tg\alpha + \tg2\alpha$.

Перегруппируем члены, чтобы получить требуемое выражение:

$\tg\alpha + \tg2\alpha - \tg3\alpha = - \tg\alpha \tg2\alpha \tg3\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество $\frac{1}{\tg3x - \tg x} - \frac{1}{\ctg3x - \ctg x} = \ctg2x$.

Преобразуем левую часть. Сначала рассмотрим каждое слагаемое отдельно, выразив тангенсы и котангенсы через синусы и косинусы.

Первое слагаемое:

$\frac{1}{\tg3x - \tg x} = \frac{1}{\frac{\sin3x}{\cos3x} - \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{1}{\frac{\sin3x\cos x - \cos3x\sin x}{\cos3x\cos x}}$.

В знаменателе дроби находится формула синуса разности $\sin(a-b)=\sin a \cos b - \cos a \sin b$.

$\frac{1}{\frac{\sin(3x-x)}{\cos3x\cos x}} = \frac{\cos3x\cos x}{\sin2x}$.

Второе слагаемое:

$\frac{1}{\ctg3x - \ctg x} = \frac{1}{\frac{\cos3x}{\sin3x} - \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{1}{\frac{\cos3x\sin x - \sin3x\cos x}{\sin3x\sin x}}$.

Вынесем знак минус из числителя в знаменателе дроби, чтобы получить формулу синуса разности:

$\frac{1}{-\frac{\sin3x\cos x - \cos3x\sin x}{\sin3x\sin x}} = \frac{1}{-\frac{\sin(3x-x)}{\sin3x\sin x}} = -\frac{\sin3x\sin x}{\sin2x}$.

Теперь вычтем второе преобразованное слагаемое из первого:

$\frac{\cos3x\cos x}{\sin2x} - (-\frac{\sin3x\sin x}{\sin2x}) = \frac{\cos3x\cos x + \sin3x\sin x}{\sin2x}$.

В числителе получилась формула косинуса разности $\cos(a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b$.

$\frac{\cos(3x-x)}{\sin2x} = \frac{\cos2x}{\sin2x} = \ctg2x$.

Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Докажем тождество $\sin\alpha+\sin3\alpha+\sin5\alpha+\sin7\alpha=4\cos\alpha \cos2\alpha \sin4\alpha$.

Сгруппируем слагаемые в левой части и применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

$(\sin7\alpha + \sin\alpha) + (\sin5\alpha + \sin3\alpha)$.

Преобразуем первую группу:

$\sin7\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{7\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos3\alpha$.

Преобразуем вторую группу:

$\sin5\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos\alpha$.

Подставим полученные выражения обратно в сумму:

$2\sin4\alpha\cos3\alpha + 2\sin4\alpha\cos\alpha$.

Вынесем общий множитель $2\sin4\alpha$ за скобки:

$2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)$.

К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

$\cos3\alpha + \cos\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha$.

Подставим это обратно в общее выражение:

$2\sin4\alpha(2\cos2\alpha\cos\alpha) = 4\sin4\alpha\cos2\alpha\cos\alpha$.

Переставив множители, получаем правую часть тождества: $4\cos\alpha\cos2\alpha\sin4\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Докажем тождество $\sin^6\alpha-\cos^6\alpha=\cos2\alpha(0,25\sin^2 2\alpha-1)$.

Преобразуем левую часть. Представим ее как разность кубов: $(\sin^2\alpha)^3 - (\cos^2\alpha)^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha)$.

Преобразуем каждый множитель.

Первый множитель: $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = -\cos2\alpha$.

Второй множитель: $\sin^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha$. Дополним $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$ до полного квадрата суммы.

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Подставим это во второй множитель:

$(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) + \sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin2\alpha$.

Тогда $\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\frac{1}{2}\sin2\alpha)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha = 0,25\sin^2 2\alpha$.

Значит, второй множитель равен $1 - 0,25\sin^2 2\alpha$.

Теперь перемножим преобразованные множители:

$(-\cos2\alpha)(1 - 0,25\sin^2 2\alpha)$.

Внесем знак минус в скобку:

$\cos2\alpha(0,25\sin^2 2\alpha - 1)$.

Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.